Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость icon

Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость



Смотрите также:
5 Общие вопросы теории разностных схем. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость...
Задача Коши
Задача Дирихле...
5. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса...
О повышении эффективности полинейного рекуррентного метода решения разностных эллиптических...
Корректность эволюционных уравнений в неклассической теории пологих оболочек с переменной массой...
Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500...
Полугодовой спецкурс для студентов 3-5 курса и аспирантов «Устойчивость плоскопараллельных...
Задача Коши для уравнений и систем уравнений с частными производными произвольного порядка...
Разработка интегратора для решения систем дифференциальных уравнений в рамках концепции...
Задачи: проанализировать литературу по данной теме...
"Построение конечно-разностных формул на границе дискретной области счёта"...



скачать
Лекции

1.

Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

В лекции рассматриваются методы исследования устойчивости разностных схем для линейных эволюционных уравнений в частных производных (гиперболического и параболического типов) Обсуждается применение спектрального признака устойчивости, энергетического признака, условия Куранта, Фридрихса и Леви для гиперболических уравнений. Формулируется и доказывается теорема (В. С. Рябенького - П. Лакса) о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости для линейных разностных схем

2.

^ Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности

В лекции рассматриваются разностные схемы для решения линейного уравнения теплопроводности, нелинейного уравнения теплопроводности. Приводится пример интегро - интерполяционного метода для построения разностных схем. Отдельно рассматриваются экономичные схемы решения многомерных задач для уравнения теплопроводности — переменных направлений, дробных шагов, Дугласа - Ганна

3.

^ Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)

В лекции дается понятие о простейших разностных схемах для решения линейного уравнения переноса. Приводится вид некоторых часто употребляемых схем. Обсуждаются способы конструирования гибридных разностных схем. Обсуждаются вопросы обобщения на квазилинейный случай. Дается первоначальное представление о способах регуляризации решений с большими градиентами. Вводится понятие схем с уменьшением полной вариации (TVD). Рассматриваются основные идеи метода конструирования разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов

4.

Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики

Лекция не обязательна при первом прочтении книги. В лекции приводятся некоторые часто употребляемые численные методы решения уравнений газовой динамики. Особое внимание уделено идее конструирования разностных схем из семейства сеточно - характеристических

5.

^ Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений

Лекция продолжает тему предыдущей лекции и также является необязательной. В ней рассматриваются некоторые идеи, нашедшие свое применение для построения разностных схем решения задач механики сплошной среды. Рассматриваются способы построения гибридных схем для задач с большими градиентами решения, описываются идеи TVD - и ENO - схем. Вкратце описываются разностные схемы, построенные на основе решения задачи о распаде произвольного газодинамического разрыва (схемы С.К. Годунова)

6.

^ Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона

В лекции разбираются постановка простейшей разностной задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольной области (схема "крест"). Дается обзор методов решения сеточных уравнений. Вкратце описываются идеи современных методов решения эллиптических уравнений в области произвольной геометрии — многосеточный метод и метод построения мажорантных разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов

^ 7.

Понятие о методах конечных элементов

Лекция дает первое представление о классе методов конечных элементов. Приводятся вариационная и проекционная постановки задачи. Рассматривается применение МКЭ к стационарным и нестационарным задачам. Вкратце обсуждаются вопросы устойчивости методов конечных элементов при решении нестационарных задач. Рассматривается общая схема применения методов конечных элементов к решению многомерных задач математической физики

^ 8.

Методы расщепления

Лекция знакомит с идеями построения экономичных разностных схем для уравнений математической физики, основанных на методах покомпонентного расщепления (локально - одномерные схемы) и на принципах расщепления по физическим процессам

9.

Применение вариационных принципов для построения разностных схем

В необязательной лекции приводятся примеры использования вариационных принципов Лагранжа и Гамильтона для построения разностных схем на основе вариации дискретного аналога лагранжиана (гамильтониана) системы. В Приложении на примере решения конкретной задачи по проектированию установки рассмотрены основные схемы распараллеливания численных методов


В лекции рассматриваются методы исследования устойчивости разностных схем для линейных эволюционных уравнений в частных производных (гиперболического и параболического типов) Обсуждается применение спектрального признака устойчивости, энергетического признака, условия Куранта, Фридрихса и Леви для гиперболических уравнений. Формулируется и доказывается теорема (В. С. Рябенького - П. Лакса) о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости для линейных разностных схем
^

1. Лекция: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость


Содержание

  • 1.1 Постановка некоторых задач для уравнений математической физики

  • 1.2 Основные определения — сходимость, аппроксимация, устойчивость

    • 1.2.1. Основные определения.

    • 1.2.2. Необходимое условие сходимости разностной схемы Куранта, Фридрихса, Леви (условие КФЛ)

  • 1.3. Элементы теории устойчивости разностных схем

  • 1.4. Задачи

  • 1.5. Задачи для самостоятельного решения
^

1.1 Постановка некоторых задач для уравнений математической физики


Напомним некоторые корректные постановки задач для уравнений в частных производных , которые будут встречаться в дальнейшем.

^ Задача Коши для уравнения теплопроводности.

Найти функцию u(t , x) в области , удовлетворяющую уравнению



и начальным данным u(0, x) = u0(x), где u0(x) — заданная функция.

^ Смешанная задача для уравнения теплопроводности.

Найти функцию u(t , x) в области , удовлетворяющую уравнению



начальным данным u(0, x) = u0(x) и краевым условиям, записанным в общей форме



^ Смешанная задача для уравнения переноса.

Найти функцию u(t , x) в области , удовлетворяющую уравнению (для определенности положим c > 0):



начальным данным Коши

u(0, x) = u0(x), t = 0

и левому краевому условию



Смешанная задача для волнового уравнения.

Найти функцию u(t , x) в области , удовлетворяющую уравнению



с начальными данными



и краевыми условиями

Эллиптическая краевая задача (уравнение Пуассона).

Найти функцию u(x , y) в области , удовлетворяющую уравнению



и краевым условиям , ,

Простейший способ построения численных решений для уравнений в частных производных — метод сеток. В дальнейшем, наряду с методом сеток, будем рассматривать и другие подходы к численному решению задач , например, вариационные, методы конечных элементов.

Рассмотрим постановку разностной задачи в методе сеток на примере одномерного уравнения теплопроводности.

Для решения одномерной смешанной задачи для уравнений в частных производных параболического типа область определения искомой функции покрывается расчетной сеткой с узлами в точках {tn, xm}, n = 0, ... , N, m = 0, ... , M , tn = nτ, xm = mh, τ = T/N, h = X/M , где τ, h — шаги сетки по времени и пространству соответственно. Приближенным решением задачи назовем сеточную функцию . Верхний индекс в такой форме записи сеточной функции традиционно указывает на номер слоя по времени, нижний (нижние) — на номер узла сетки по пространственной координате (рис. 1.1).

Рассмотрим подходы к построению численных алгоритмов для приближенного решения уравнений в частных производных.




Рис. 1.1. 

Явная разностная схема для приближенного решения уравнения теплопроводности во внутренних узлах сетки (не принадлежащим границе сеточной области) имеет вид



Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений для определения значений сеточной функции внутри расчетной области, дополненная соответствующими начальными и граничными условиями для этой сеточной функции. Шаблон схемы, представляющий собой конфигурацию расчетных узлов в области интегрирования, используемых на каждом элементарном шаге вычислений , показан на рис. 1.2.




Рис. 1.2. 

Эта схема аппроксимирует дифференциальное уравнение во внутренних точках (узлах) области интегрирования, т.е. при n = 1 , ... , N - 1, m = 1 , ... , M - 1. Проведем аппроксимацию начальных данных и краевых условий:



для определенности положим

Расчет ведется по рекуррентной формуле на каждом временном слое от n = 1 до n = N от m = 1 до m = M - 1 во внутренних узлах; слой n = 0(t = t0) соответствует начальным данным, лучи m = 0(x = x0) и m = M(x = xM) — левому и правому краевым условиям.

Запишем явную схему в виде



По этой формуле последовательно, на каждом слое вычисляется сеточная функция во внутренних узлах области интегрирования.

Для завершения расчета слоя t = tn + 1 необходимо вычислить и для чего разрешаем левое и правое краевые условия относительно этих величин:



где и уже вычислены ранее. Реализация одного шага по времени занимает O(M) арифметических операций , всех слоев — O(NM) операций.

Явными схемами называются такие разностные схемы для эволюционных уравнений , когда данные на следующем слое по времени находятся непосредственно из данных на предыдущем слое без решения алгебраических систем уравнений. Если же на верхнем временном слое для определения значений сеточной функции необходимо решать систему алгебраических уравнений , то схема называется неявной.

Простейшая неявная разностная схема имеет вид (для простоты положим a = 1)



ее шаблон (рис. 1.3).




Рис. 1.3. 

На каждом временном слое имеем СЛАУ с трехдиагональной матрицей; алгоритм ее решения — прогонка.

Неявную схему представим в виде



откуда несложно получить прогоночное соотношение на каждом слое по времени.




Скачать 77,97 Kb.
оставить комментарий
Дата02.10.2011
Размер77,97 Kb.
ТипИсследование, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх