Конспект лекций Бийск 2007 удк 621. 377. 037. 3 icon

Конспект лекций Бийск 2007 удк 621. 377. 037. 3


Смотрите также:
Конспект лекций удк 651. 5 Ббк 60. 844 Конспект лекций по курсу «Делопроизводство»...
Конспект лекций удк 651. 5 Ббк 60. 844 Конспект лекций по курсу «Делопроизводство»...
Конспект лекций Красноярск 2009 удк 627. 352...
Конспект лекций соответствует требованиям Государственного образова­тельного стандарта высшего...
Конспект лекций для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения Челябинск...
Конспект лекций для студентов специальности 090804 "Физическая и биомедицинская электроника"...
Конспект лекций для студентов заочного факультета всех специальностей Все цитаты...
Курс лекций Санкт-Петербург 2007 удк 342. 9 Ббк 67. 401 Б83 Рецензенты...
Конспект лекций Омск 2002 удк 629. 424. 01...
Удк 621. 398: 621. 317: 519...
Методические указания Томск 2007 удк 621. 38...
Конспект лекций по курсу «теория чисел» Методическая разработка...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4   5
скачать


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

имени И.И. Ползунова»


Бийский технологический институт (филиал)


Р.Г. Гареева, В.А. Степанов


Преобразование измерительных сигналов


Конспект лекций


Бийск 2007

УДК 621.377.037.3


Гареева, Р.Г. Преобразование измерительных сигналов: конспект лекций / Р.Г. Гареева, В.А. Степанов.


Алт. гос. тех. ун-т, БТИ.  Бийск.

Изд-во Алт. гос. тех. ун-та, 2007.  92 с.


В конспекте лекций изложены основы теории дискретных сигналов и систем, рассмотрены методы спектрального анализа и фильтрации дискретных сигналов; приведены первоначальные сведения о дискретных фильтрах и алгоритмах их синтеза; значительное внимание уделено основам прикладной теории информации, необходимым при изучении свойств информационных систем.

Каждый раздел пособия сопровождается контрольными вопросами для самопроверки.

Данное издание призвано сократить пробел в доступности учебной литературы по дискретной обработке сигналов.

Настоящее пособие является изданием лекций, читаемых авторами в Бийском технологическом институте в рамках курса «Преобразование измерительных сигналов» для студентов специальности 200106 «Информационно-измерительная техника и технологии» всех форм обучения.


Рассмотрен и одобрен

на заседании кафедры МСИА.

Протокол № 43 от 12.10.2006 г.


Рецензент: к.т.н. В.П. Филиппов (ФГУП «ФНПЦ «Алтай»)


Гареева Р.Г., Степанов В.А., 2007

БТИ АлтГТУ, 2007

^ 1 Обработка и преобразование

дискретных сигналов


Под дискретизацией непрерывного сигнала понимают последовательное выполнение двух операций  дискретизации по времени аналоговой (непрерывной) функции и квантования по уровню дискретных отсчётов [1].

Если аналоговый сигнал имеет вид непрерывной или кусочно-непрерывной функции, то соответствующий ему дискретный сигнал представляет собой последовательность отсчетных значений сигнала в моменты времени (рисунок 1).



а) б)

Рисунок 1 – Непрерывный (а) и дискретный (б) сигналы


Операцию дискретизации по времени можно описать, вводя в рассмотрение функцию, называемую дискретизирующей последовательностью:

.

Модель дискретного сигнала в этом случае можно представить как скалярное произведение аналогового сигнала и дискретизирующей последовательности:






Несмотря на то, что математики используют дискретные величины уже давно (разности, разностные уравнения, сочетания, перестановки), техника для механизации обработки дискретных сигналов появилась сравнительно недавно – в середине XX века. В настоящее время обработка дискретной информации считается обыденным делом. Скорость обработки повышается не только за счет сокращения времени выполнения отдельных операций вычислительной техникой (повышения ее быстродействия), но и за счет сокращения необходимого числа операций для решения поставленной задачи путем совершенствования алгоритмов обработки.


1.1 Дискретное преобразование Фурье


Рассмотрим непрерывный сигнал и соответствующий ему дискретный сигнал . Наблюдение непрерывного сигнала в течение бесконечного времени является математической абстракцией. Практически любой сигнал наблюдается в ограниченном промежутке времени, например, от 0 до Т (рисунок 1а) или от минус до .

Чтобы воспользоваться математическим аппаратом преобразования Фурье, необходимо мысленно продолжить сигнал, периодически его повторяя. В этом случае рассматриваемый сигнал можно описать рядом Фурье. Аналогичную процедуру можно выполнить и над дискретным сигналом (рисунок 1б). При этом соответствующее преобразование Фурье будет называться дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Пусть  непрерывная периодическая функция с периодом , тогда ее можно разложить в комплексный ряд Фурье:



, (1)

где – номер гармоники;

– коэффициенты разложения, определяемые по формуле:

. (2)

Чтобы осуществить дискретизацию функции однозначно, в ее спектре не должно быть составляющих с частотами, превышающими частоту среза , то есть при (рисунок 2), где – целое число, задающее частоту среза: . Частоту можно рассматривать как разрешающую способность, то есть как разность между двумя частотами, которая может быть различима.




Рисунок 2 – Ограниченный дискретный спектр


Шаг дискретизации должен быть выбран в соответствии с теоремой Котельникова [2]:

,

тогда количество дискретных отсчетов за период будет равно

.

Таким образом, непрерывная функция определяется на непрерывном интервале , а дискретная функция – на дискретном интервале , где . Если в качестве аргумента дискретной функции рассматривается номер дискретного отсчета , то для функции интервал определения примет вид .

В соответствии с вышесказанным, коэффициент разложения дискретной функции в комплексный ряд Фурье преобразуется:

.

В конечном итоге, используя формулу трапеций для расчета интеграла, получают формулу прямого дискретного преобразования Фурье (ПДПФ):

, (3)

где – коэффициенты разложения ДПФ, определяющие амплитудный спектр дискретного сигнала;

– дискретные отсчеты функции;

– номер дискретного отсчета (аналог времени в непрерывном случае);

– номер гармоники (аналог частоты в непрерывном случае).

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) имеет вид:

. (4)

Дискретное преобразование Фурье обладает следующими свойствами:

1. ДПФ является линейным преобразованием, то есть сумме сигналов соответствует сумма их ДПФ.

2. Число различных коэффициентов ДПФ равно числу отсчетов за период N.

3. Если функция является действительной, то коэффициенты прямого ДПФ представляют собой комплексные величины.

4. Коэффициент определяется как среднее значение всех дискретных отсчетов:



5. Если N четное, тогда



Если N нечетное, то для удобства расчетов добавляют один нулевой отсчет либо исключают последний отсчет.

6. Коэффициенты разложения с номерами, симметричными относительно величины , образуют комплексно-сопряженные пары (рисунок 3):



.





Рисунок 3 – Комплексно-сопряженные коэффициенты


Коэффициенты разложения с номерами, превышающими величину , соответствуют отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра они не дают новых сведений, при изучении фазовых особенностей сигнала они необходимы.



Пример. Сигнал задан на интервале своей периодичности шестью равноотстоящими отсчетами (рисунок 4). Найти коэффициенты ДПФ такого сигнала.





Рисунок 4 – Дискретные отсчеты сигнала


Воспользуемся основной формулой ПДПФ (3) при :

.

Коэффициенты прямого преобразования будут равны:

,



,

,

.

Последующие коэффициенты находятся на основании свойства 6 для ДПФ:

,

.

Таким образом, располагая дискретным сигналом с числом отсчетов , можно найти постоянную составляющую, а также комплексные амплитуды первой, второй и третьей гармоник исходного непрерывного сигнала. При любом четном число рассчитываемых гармоник составляет половину числа отсчетов, что непосредственно вытекает из теоремы Котельни­кова.


^ 1.2 Восстановление непрерывного сигнала по ДПФ


Если по совокупности дискретных отсчетов некоторого непрерывного сигнала найдены коэффициенты прямого дискретного преобразования Фурье , то по ним можно восстановить исходный сигнал, который был подвергнут дискретизации. Ряд Фурье такого сигнала принимает вид конечной суммы [3, 4]:

(5)


Для доказательства этого коэффициенты ПДПФ представим в полярной форме записи:


(6)

где





для


Учитывая 6-е свойство ДПФ, для симметричного коэффициента справедливо выражение:

. (7)

Для вывода формулы восстановления непрерывного сигнала воспользуемся соотношением ОДПФ:

. (8)

Для произвольного рассмотрим в сумме (8) только два слагаемых с номерами, симметричными относительно , и учтем выражения (6), (7):










Полученный результат обобщим на всю сумму (8):









Для перехода к непрерывному времени преобразуем полученное выражение:





В результате, учитывая, что и , получим:



Для рассмотренного в предыдущем пункте примера восстановленная функция примет вид, приведенный на рисунке 5.





Рисунок 5 – Сигнал, восстановленный по коэффициентам ДПФ


^ 1.3 Алгоритмы вычисления ДПФ


Прямое и обратное дискретные преобразования Фурье могут быть вычислены с помощью одного алгоритма, то есть, имея схему вычислений одного из двух преобразований, второе можно вычислить, прибегая лишь к перестановке данных.

Убедимся в справедливости этого утверждения. Для удобства введем новое обозначение , причем

.


Тогда прямое и обратное ДПФ принимают, соответственно, вид:

, (9)

. (10)


Распишем ПДПФ в виде суммы:

.

В скобках поменяем все слагаемые местами, кроме первого: . (11)

Сравним полученное выражение (11) с выражением для ОДПФ (10):

.

Очевидно, для получения ОДПФ в формуле для ПДПФ необходимо массив данных заменить на массив , в котором все элементы, кроме , необходимо поменять местами по правилу , а затем всю сумму умножить на .

Таким образом, основная схема вычислений дискретных преобразований принимает вид:

(12)

где

Для ПДПФ: ,

.

Для ОДПФ: ,





При известных значениях и выполняется важное соотношение, называемое теоремой Парсеваля (аналог теоремы Рэйли для непрерывного случая [2]):

, (13)

которая утверждает, что средняя сумма энергий всех дискретных отсчетов сигнала равна сумме энергий его спектральных составляющих. Выражение (13) может служить для проверки расчетов коэффициентов прямого и обратного ДПФ.

^ 1.4 «Быстрое» преобразование Фурье


Рассмотрим вновь общую схему вычислений ДПФ:

,

где ,

Данная схема вычислений скрывает факт многократного повторения одинаковых операций, связанных с вычислением функции являющейся периодической с периодом N.

Произведение изменяется в пределах от до . Таким образом, количество полных периодов будет определяться выражением то есть будет равно Следовательно, нет смысла выполнять расчеты функции раза, достаточно просчитать ее только на одном периоде и использовать полученную информацию в дальнейшем. Кроме того, функция даже в пределах одного периода может иметь повторяющиеся значения, отличающиеся только знаком.

Выше уже было доказано, что коэффициенты и образуют комплексно-сопряженные пары, значит, можно использовать это свойство ДПФ в случае, когда и

Алгоритмы вычисления ДПФ, позволяющие достичь сокращения объема вычислений, носят название «быстрых» преобразований Фурье (БПФ).

Общее количество вычислительных операций с комплексными числами по основной схеме ДПФ равно Если длины обрабатываемых массивов данных имеют порядок тысячи и более, то использование обычных алгоритмов дискретного спектрального анализа в реальном масштабе времени становится затруднительным из-за ограниченного быстродействия вычислительных устройств.

«Быстрые» алгоритмы позволяют сократить объем вычислений до величины , при условии, что выполняется условие где (Z – множество целых чисел). Если это условие не выполняется, то добавляют нулевые отсчеты.

Пусть, например, количество дискретных отсчетов равно Выигрыш в вычислениях для «быстрого» алгоритма составит величину:

,

то есть количество вычислительных операций сократилось почти до 1 %. Цель оправдывает средства.

Следует отметить, что БПФ не является новым преобразованием, а представляет собой лишь способ расчета ДПФ. Один из вариантов «быстрого» алгоритма был разработан в США в 1965 г. для реализации на ЭВМ с двоичной системой счисления американскими учеными Кули и Тьюки. После появления «быстрых» алгоритмов были созданы и реализующие их программы. Это позволило широко использовать БПФ для обработки данных, например, в медицине (компьютерная томография), метеорологии (прогнозирование погоды) и т.п.


^ 1.5 Алгоритм Кули – Тьюки


Рассмотрим несколько частных случаев прямого ДПФ для различных значений , учитывая основную формулу:

,

где ,

1. Одноточечное преобразование: . Имеется только один дискретный отсчет , поэтому коэффициент ПДПФ будет определяться соотношением



то есть в одноточечном преобразовании коэффициент Фурье равен самому дискретному отсчету.

^ 2. Двухточечное преобразование: . Имеется два дискретных отсчета , , поэтому коэффициенты ПДПФ будут равны:





.

Для двухточечного преобразования коэффициенты определяются полусуммой и полуразностью значений двух дискретных отсчетов.

Двухточечное преобразование принято изображать в виде графа, носящего название «бабочка» (рисунок 6):





Рисунок 6 – Граф «бабочка»


где , ,

Идея быстрого преобразования состоит в том, что любое многоточечное преобразование сводится к множеству двухточечных преобразований, каждое из которых рассчитывается по правилу «бабочка». Последовательность дискретных отсчетов разбивают на две подпоследовательности , соответственно с четными и нечетными номерами (рисунок 7). При этом: , , .




Рисунок 7 – Разбиение на подпоследовательности


Расчет коэффициентов в этом случае осуществляют по формуле:





,

где





Таким образом, коэффициент ДПФ соответствующий количеству отсчетов N, может быть представлен в виде комбинаций двух коэффициентов ДПФ и соответствующих количеству отсчетов . Каждый из них путем дальнейшего деления на последовательности с четными и нечетными номерами может быть представлен через коэффициенты, соответствующие количеству отсчетов и т.д. Разбиение на четные и нечетные номера ведут до тех пор, пока в каждой подгруппе не останется по два элемента, коэффициенты для которых рассчитывают по правилу двухточечного преобразования.

3. Четырехточечное преобразование: Имеются четыре дискретных отсчета: , , , Раскроем сумму в общей формуле ПДПФ:





и сгруппируем слагаемые с четными и нечетными номерами:

.

С целью выделения двух двухточечных преобразований перепишем выражение во второй круглой скобке путем вынесения общего множителя:


. (14)


Рассчитаем функцию :




Таким образом, справедливы следующие соотношения:




то есть выражения в круглых скобках в (14) представляют собой двухточечные преобразования.

Далее рассчитаем функцию :



Для нее справедливы следующие соотношения:





Таким образом, коэффициенты четырехточечного преобразования примут вид:


(15)

Согласно соотношениям (15), можно построить граф четырехточечного преобразования (рисунок 8):





Рисунок 8 – Граф четырехточечного преобразования


Искомые коэффициенты ДПФ будут найдены по формуле:



где





оставить комментарий
страница1/5
Дата02.10.2011
Размер0,81 Mb.
ТипКонспект, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх