Методические рекомендации к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов» icon

Методические рекомендации к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Методические указания к выполнению лабораторных работ 4 8 по курсу «Сопротивление материалов»...
Методические рекомендации по выполнению курсовых работ для студентов специальности «Экономика и...
Методические рекомендации по выполнению курсовых работ по специальности ярославль...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу «Бухгалтерская (финансовая)...
Методические указания по выполнению и защите курсовых работ Шадринск, 2009 г...
Методические рекомендации по выполнению...
Методические рекомендации по оформлению и нап исанию курсовых работ по специальности...
Методические рекомендации по выполнению...
Методические указания по выполнению и оформлению курсовых работ по дисциплине...
Методические рекомендации по подготовке...
Методические рекомендации по выполнению курсовых и контрольных работ по дисциплине...
Методические рекомендации по подготовке...



Загрузка...
страницы:   1   2
скачать

В.Н. Иванов

Методические рекомендации

к выполнению курсовых работ


по курсу

«Сопротивление материалов»

«Статически неопределимые стержни»

«Геометрические характеристики сечений»

«Расчет трехопорной рамы»





Москва

Издательство Российского университета дружбы народов

2003


В.Н. Иванов

Методические рекомендации

к выполнению курсовых работ


по курсу

«Сопротивление материалов»

«Статически неопределимые стержни»

«Геометрические характеристики сечений»

«Расчет трехопорной рамы»


Москва

Издательство Российского университета дружбы народов

2003

Утверждено
^

РИС Ученого Совета


Российского университета дружбы народов


Иванов В.Н. Методические рекомендации к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов»: «Статически неопределимые стержни», «Геометрические характеристики сечений», «Расчет трехопорной рамы». –М.: Изд-во РУДН, 2003, 65 с.


Предназначены для студентов II-го курса по специальности «Строительство» при выполнении курсовых работ и самостоятельных занятиях при изучении 1-ой части сопротивления материалов по темам: центральное растяжение (сжатие) прямых стержней, геометрические характеристики сечений, определение внутренних усилий в рамах. В рекомендациях даны краткие теоретические основы изучаемых разделов курса сопротивления материалов, необходимые при решении задач и выполнении курсовых работ.

Могут быть использованы студентами других специальностей, при изучении соответствующих разделов курса «сопротивление материалов».


Подготовлено на кафедре сопротивления материалов РУДН.


© Издательство Российского университета дружбы народов, 2003 г.

© В.Н.Иванов, 2003 г.


Введение


Изучение сопротивления материалов требует решения конкретных задач, что позволяет глубже понять теоретические основы дисциплины. В настоящей работе рассмотрены типовые задачи по следующим разделам курса сопротивления материалов:

  1. Расчет статически неопределимых стержней, работающих на растяжение (сжатие).

  2. Определение геометрических характеристик сечений.

  3. Расчет трехопорных рам. Построение эпюр нормальных сил Nx, поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mz.

По перечисленным темам студенты выполняют курсовые работы. Кроме примеров выполнения курсовых работ в методических рекомендациях, даны решения и некоторых других задач по излагаемым темам. Каждый раздел предваряется краткими сведениями из теории, необходимыми при решении рассматриваемых задач.


  1. Расчет статически неопределимых стержней
^

и стержневых систем, испытывающих растяжение



Статически неопределимыми системами называются системы, для которых реакции связей и внутренние усилия не могут быть определены при использовании только уравнений статики (уравнений равновесия).

^ Степенью статической неопределимости стержневой системы называется число лишних неизвестных, определяемых по формуле

Л = Н – У , (1.1)

где Н – общее число неизвестных реакций связей и внутренних усилий; У – число независимых уравнений статики, которое может быть составлено для данной стержневой системы; Л – число лишних неизвестных – степень статической неопределимости.

В зависимости от типа стержневой системы, типов входящих в нее стержневых элементов и видов их соединений, формула (1.1) может конкретизироваться.

Для определения неизвестных в статически неопределимых системах к уравнениям статики добавляются уравнения деформаций системы. Порядок решения статически неопределимых систем следующий:

1. Заданную систему превращают в основную систему.

^ Основной системой называется статически определимая и геометрически неизменяемая система, получаемая из заданной путем отбрасывания лишних связей и замены их неизвестными силами. Для статически неопределимой системы можно построить бесконечное число основных систем.

  1. Составляют уравнения неразрывности деформаций – условия соответствия перемещений в основной системе в местах отброшенных связей перемещениям в тех же точках заданной системы.

  2. Решая систему уравнений неразрывности деформаций, определяют неизвестные усилия, заменяющие действие отброшенных связей.

  3. Проводят полный расчет основной системы - определяют необходимые усилия и перемещения в основной системе от действия заданной нагрузки и найденных неизвестных реакций связей.

Усилия и перемещения, определенные таким образом в точках основной системы будут равны усилиям и перемещениям в соответствующих точках заданной системы.

Сложные статически неопределимые системы, в том числе статически неопределимые фермы (элементы ферм работают на растяжение, сжатие) и статически неопределимые рамы, рассматриваются в курсе строительной механики стержневых систем. В курсе сопротивления материалов рассматриваются обычно простейшие статически неопределимые системы, к которым относятся:

а) прямые стержни постоянного, кусочно-постоянного и переменного сечений, закрепленные с двух сторон, от нагрузки действующей вдоль оси стержня;

б) системы шарнирно соединяемых стержней с возможным включением жестких недеформируемых элементов.


1.1. Статически неопределимый стержень
^

кусочно-постоянного сечения


Рассмотрим стержень кусочно-постоянного сечения, закрепленный с двух концов, под действием продольных сосредоточенных сил Fk и собственного веса - (рис. 1.1).

Требуется: определить реакции в закреплениях, внутренние нормальные силы и напряжения в характерных сечениях, построить эпюры нормальных сил и напряжений вдоль оси стержня, определить перемещение в сечении I–I (рис. 1.1).





На концах стержня А и В, в закреплениях возникают реакции RA и RВ. Следовательно, общее число неизвестных - Н = 2. Для системы сил действующих вдоль одной прямой линии можно составить только одно уравнение равновесие - У -= 1.

Следовательно

Л = Н – У = 2 – 1 = 1.

Таким образом, прямой стержень, закрепленный с двух концов, при силах, действующих на него вдоль его оси, является один раз статически неопределимым.





Основную систему получим, отбросив закрепление нижней опоры в сечении В и заменив действие опоры неизвестной реакцией RB. Условием эквивалентности основной и заданной систем является равенство нулю перемещения точки В, так как в заданной системе эта точка закреплена.

На рис. 1.2 показаны заданная и основная системы и процесс деформирования основной системы от действия заданной нагрузки (сосредоточенных сил F1 и F2 и собственного веса стержня G) и неизвестной реакции RВ. Знак равенства для последовательных схем стержня указывает на эквивалентность напряженно деформированного состояния заданной и основной систем.

Условие неразрывности деформаций – равенство нулю перемещения на опоре В для основной системы, на основе принципа независимости действия сил, запишется в виде

, (1.2)

где - перемещение точки В от действия внешних продольных сил F1 и F2 и собственного веса стержня ; - перемещение сечения ^ В от действия неизвестной реакции RВ.

Для определения внутренних усилий и перемещений в стержне его разбивают на участки. Границами участков являются сечения стержня, где приложены сосредоточенные внешние силы или меняется площадь поперечного сечения стержня. Рассматриваемый стержень состоит из четырех участков. Пронумеруем граничные сечения стержня, присвоив точке В нулевой номер. В этом случае номера участка будет совпадать с номером верхнего сечения участка стержня. Очевидно, в основной системе перемещение верхнего сечения стержня в точке А равно нулю, так как он закреплен. Тогда перемещение точки В равно сумме удлинений участков стержня

, (1.3)

где - удлинение k-го участка.

Для стержня с закрепленным верхнем концом (точка А) каждый участок стержня растягивается силой , равной сумме продольных внешних сил, приложенных не выше нижнего конца рассматриваемого участка стержня, и веса нижележащих участков стержня, а также собственным весом участка стержня

, (1.4,a)

или

. (1.4,б)

Здесь и далее обозначено - нормальные силы в сечениях выше (В) и ниже (Н) i-ой точки (сечения) на бесконечно малую величину; Gk – собственный вес участка (); Аk, аk - площадь и длина k-го участка.

При последовательном проходе характерных сечений от нижнего нулевого сечения к верхнему, внутренние усилия определяются по формулам

; , (1.5)

где - сосредоточенная сила, приложенная в k-ом сечении. Знак принимается в зависимости от направления действия силы (+ при направлении силы вниз).

Значения внутренних усилий различаются на величину сосредоточенной силы приложенной в i-том сечении. При отсутствии продольной внешней силы в сечении эти внутренние усилия равны.

Удлинение участка стержня постоянного сечения длиной аk от действия сосредоточенной силы , приложенной к нижней границе участка, определяется по формуле

. (1.6)

Удлинение k-го участка от собственного веса равно

. (1.7)

Суммируя удлинения участка нормальной силы и собственного веса, с учетом формул (1.4а,б) получим

. (1.8)

В соответствии с исходными данными, вычислим собственные веса участков и всего стержня:

;

;

;

;

;

;

Определяем значения внутренних усилий в характерных сечениях в основной системе от действия внешней нагрузки:

; ;

;

;

;

;

;

;

Проверка: из условий равновесия стержня в целом от действия внешних сил

.

Согласно формулам (1.4 – 1.7) получим

(Н, см);

(Н, см);

(Н, см);

(Н, см);

(Н, см);

Здесь в скобках показаны размерности величин используемых в вычислениях.

Определяем перемещение в основной системе нижнего конца стержня от неизвестной реакции RB



.

Из условия неразрывности (1.2) определяем неизвестную реакцию

,

откуда

Н.

Окончательно, внутренние усилия в заданной системе определяются суммированием внутренних усилий в основной системе от действия внешних нагрузок F(k) и собственного веса и реакции RB

. (1.9)

Вычисляем внутренние усилия в заданной системе:

H;

H;

H;

H;

H;

H;

H;

Проверка: выполнение условие равновесия стержня

.

Отметим, что данная проверка является неполной, она проверяет лишь правильные значения нормальных сил в сечениях при вычисленном значения реакции RB. Если реакция определена не верно, то данная проверка не сможет выявить ошибки. Глобальная проверка правильности вычислений будет проведена ниже.

Для построения эпюры нормальных напряжений вдоль оси стержня, определим значения напряжения в опорных сечениях. При принятой нумерации границ участков напряжения в сечениях определяются пор формулам:

; .

Н/см2 = 163,6 кПа;

кПа;

;

;

;

;

;

.

Как видно из результатов расчета и графиков, приведенных на рис. 1.3, эпюра нормальных напряжений х может иметь по отношению к эпюре нормальных сил Nx дополнительные точки разрыва на границах изменения площади поперечного сечения стержня.

Проверка. Контроль правильности проведенных расчетов может быть проведен проверкой выполнения условий неразрывности деформаций (перемещений), в частности, равенством нулю перемещения в защемлении стержня на опоре В:

, (1.10)

где - площадь эпюры нормальных напряжений.




Таким образом, критерием правильности решения задачи расчета статически неопределимого прямого стержня, защемленного с двух концов, при действии сил, действующих вдоль оси стержня, является равенство нулю площади эпюры нормальных напряжений (с учетом знаков напряжений).

Для оценки точности вычислений подсчитаем независимо площади положительной и отрицательной частей эпюры напряжений:



;

;

;

Относительную погрешность (в процентах) определяем как отношение абсолютного значения полученной невязки (А) к значению А+ (или А)

%.

Отметим особенности эпюр нормальных сил и нормальных напряжений при центральном растяжении (сжатии) прямых стержней (эпюры должны быть построены в масштабе, для чего принимают независимые масштабы внутренних усилий и напряжений и масштаб длин стержня):

а) наклон линий эпюры нормальных сил к оси стержня больше на участках с большей площадью поперечного сечения;

б) наклон линий эпюры нормальных напряжений (для стержней из однородного материала  ^ Е = const, = const) на всех участка одинаков (линии параллельны);

в) эпюра нормальных сил имеет скачки (разрывы) в точках приложения сосредоточенных продольных сил на величину этих сил;

г) эпюра нормальных напряжений имеет дополнительные точки разрыва напряжений в местах изменения поперечных сечений стержня.

Для определения перемещения какого–либо сечения стержня, стержень разрезают в заданном сечении и рассматривают его верхнюю или нижнюю часть, заменяя действие отброшенной части известным из предыдущего расчета нормальным усилием Ni (i - номер сечения, где определяется перемещение). Если в рассматриваемом сечении приложена внешняя сосредоточенная сила, то сечение проводят чуть заглубляясь в выбранную часть стержня, т.е. в верхней части стержня прикладывают нормальную силу , а к нижней - . Вычисление перемещения в сечении для верхней и нижней частей стержня можно использовать для дополнительной проверки правильности проведенных расчетов. Перемещения в рассматриваемом сечении, полученные при рассмотрении верхней и нижней частей, должны совпадать с точностью до знака. Знак перемещения зависит от принятого положительного направления перемещения (оси). В расчетах удобно принимать за положительное направление для рассматриваемой части стержня - направление внешней нормали к сечению. Для верхней и нижней частей стержня эти направления приняты противоположными, соответственно, перемещения для верхней и нижней частей получаются противоположными по знаку.

Рассчитаем перемещение сечения I-I (см. рис. 1.1). Нижняя и верхняя части стержня показаны на рис 1.4,а и б.



Перемещение сечения стержня равно сумме удлинений участков рассматриваемой части стержня.

Согласно рис. 1.4,а получим для верхней части стержня





(Н, см).

Для нижней части стержня (рис. 1.4,б) имеем







= (Н, см).

Как видно из результатов вычислений перемещения сечения I-I, вычисленные для верхней и нижней частей стержня совпадают с точность до знака. В случае различных численных значений относительная точность вычисления перемещения может быть определена по формуле

.

Невязка не должны превышать, принятой в инженерных расчетах величины – 3%.

Заметим, что при вычислении перемещений и не использовалась сила F2. Нет этой силы и на рис. 1.4,а и рис. 4.1,б. В расчетах эта сила учитывается разностью значений внутренних усилий и ().

Вычислим абсолютное значение перемещения в сечении I-I

см.

Замечание: проводя вычисления, нужно следить, чтобы соблюдалось соответствие размерностей всех используемых величин. В частности, .


1.2. Расчет систем стержней, соединенных

с недеформируемым элементом


На рис. 1.5 изображена стержневая система, состоящая из жесткого, недеформируемого стержня АВ, шарнирно опертого в точке А и подкрепленного тремя деформируемыми стержнями. Схема деформирования такой системы определяется возможными перемещениями жесткого элемента. Для рассматриваемой системы (рис.1.5) возможен поворот элемента АВ, как жесткого диска, вокруг шарнира А. При этом стержни, подкрепляющие жесткий элемент, деформируются.

Неизвестными в заданной системе являются усилия в подкрепляющих стержнях - N1, N2, N3 и реакции в шарнире - RA, RВ. Таким образом, число неизвестных Н = 5. Для плоской системы можно составить У = 3 независимых уравнений равновесия. Следовательно, Л = Н – У = 5 – 3 = 2 - система два раза статически неопределима.

Для решения задачи необходимо использовать условия неразрывности деформаций. Для составления этих условий в системе с жестким элементом нужно рассмотреть схему ее деформирования. Схема деформирования рассматриваемой системы представлена на рис. 1.6. При определении перемещений узлов системы принимаются следующие положения:

1/ деформации (перемещения) малы, вследствие чего, точки элементов при их вращении вокруг закрепленных (опорных) точек перемещаются перпендикулярно оси элементов в их первоначальном положении;

2/ после деформирования системы углы между элементами не изменяются.

Для заданной системы (рис. 6.1) точки 1, 2, 3 жесткого элемента АВ перемещаются вертикально. При этом, очевидно, что перемещения этих точек связаны соотношениями:

; . (1.2.1)

Точки деформируемых элементов, соединенных с жестким элементом, перемещаются соответственно в точки . При этом стержни удлиняются (или укорачиваются). Процесс деформирования первого и второго стержней можно разложить на два этапа (рис. 1.6 - узлы 1, 2):

1-й этап - поворот стержней вокруг неподвижных точек О1 и О2 - точки 1, 2 переходят в положение и соответственно;

2-й этап – удлинения (укорочение) стержней - точки , переходят в положение и соответственно.

Из схемы деформирования видно, что удлинения стержней определяются по формулам:

; ; . (1.2.2)




В формулах (1.2.2) удлинения стержней выражены через один общий параметр - u1. Эти формулы являются уравнениями неразрывности рассматриваемой стержневой системы с жестким элементом. Знак минус в формуле деформации 2 2-го стержня соответствует сжатию (укорачиванию) этого элемента.

Удлинениям стержней соответствуют растягивающие (сжимающие) усилия в стержнях:

. (1.2.3)

Используя отношения Nk к N1, выразим усилия в стержнях через один силовой параметр:

; .

И далее, учитывая соотношения (1.2.2) и размеры стержней (см. рис. 1.5), получим:

; ; ;

; ; ; ;

; ; ;

И, следовательно, имеем

;

; (1.2.4)

Для окончательного решения задачи составим уравнение равновесия – равенство нулю момента относительно точки А ( при этом из уравнения исключаются опорные реакции - VA и HA)

; ;

; ; ;

С учетом формул (1.2.4) получаем

,

или

Откуда

кН;

кН;

кН.

Вычисляем напряжения в стержнях;

МПа;

МПа;

МПа.


^ 1.3. Расчет стержневой системы по предельному состоянию


Расчет по предельному состоянию позволяет определить несущую способность конструкцию, т.е. предельную нагрузку, при которой конструкция теряет свою работоспособность. Потеря конструкцией работоспособности происходит по причине разрушения или потери конструкции или отдельных ее элементов, либо по причине возникновения в конструкции больших деформаций и превращения конструкции в механизм. Именно по последней причине происходит выход из рабочего состояния конструкций, состоящих из пластичных материалов.

Рассмотрим стержневую конструкцию, рассчитанную в последнем примере (рис. 1.5). Все элементы конструкции, за исключением жесткого элемента, предполагаются обладающими идеальной пластичностью, т.е. после достижения в элементах напряжений, равных пределу текучести материала, дальнейшее деформирование этих элементов происходит без увеличения напряжений вплоть до их разрушения. Реальная диаграмма деформирования элементов заменяется условной диаграммой идеально пластичного материала – диаграммой Прандтля (рис. 1.7). При определении предельной нагрузки предполагается, что все нагрузки, действующие на конструкцию, увеличиваются в одинаковой пропорции вплоть до перехода конструкции в предельное состояние.

При увеличении нагрузки, в рассматриваемой конструкции (рис.1.5), вероятно, напряжения предела текучести возникнут в наиболее напряженном стержне 3, затем во 2-м стержне, затем в третьем. После этого деформации во всех стержнях будут происходить без увеличения нагрузки и система превращается в механизм, так как жесткий элемент при этом начнет свободно вращаться вокруг шарнира А.

Если силовой расчет конструкции в упругой стадии не проводился, мы не знаем, в каком порядке будут достигаться предельные напряжения (предел текучести) в отдельных элементах. Однако это не имеет существенного значения, так как пока хотя бы в одном стержне напряжения не достигнут предела текучести, конструкция будет сохранять свою несущую способность.

В предельном состоянии в стержнях системы возникают предельные усилия:

; ; ;

Составим условие равновесия конструкции (сумму моментов всех действующих внешних сил относительно шарнира А) в момент потери конструкцией несущей способности (рис. 1.8):

; .




Откуда получаем:

;

.

Определяем коэффициент запаса

.






оставить комментарий
страница1/2
Дата02.10.2011
Размер0,61 Mb.
ТипМетодические рекомендации, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2
плохо
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх