Программа дисциплины опд. Фз. Теория вероятностей и математическая статистика для студентов специальности 010501 Прикладная математика и информатика направления 010500 Прикладная математика и информатика

1. Цели и задачи дисциплины.

Сформировать вероятностное мышление,

2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

В результате изучения дисциплины студент должен

знать: Основные вероятностные модели и распределения; основные статистические модели и методы;

уметь: вычислять основные характеристики для случайных величин и случайных векторов;

иметь навыки: применения статистических методов для обработки экспериментальных данных.

3. Содержание дисциплины

3.1. Лекции

1. 
   Дискретное вероятностное пространство: классическая схема, гипергеометрическое распределение. Геометрическая вероятность. Схема Бернулли, биномиальное распределение (2 часа). [1, с.3-11]
   
2. 
   Свойства вероятности, условная вероятность, независимость событий. Формула полной вероятности, формула Байеса. Аксиомы Колмогорова (2 часа). [1, с.12-19]
   
3. 
   Случайная величина. Функция распределения и ее свойства. Типы распределений и случайных величин, плотность распределения. Плотность распределения случайной функции ф(§) (2 часа). [1, с. 19-31]
   
4. 
   Основные распределения случайных величин: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гауссовское, экспоненциальное, гамма-распределение, бета-распределение, хи-квадрат, распределения Коши, Стьюдента, Фишера. Распределение случайного вектора. Независимость случайных величин. Критерии независимости случайных величин. Основная формула теории вероятностей. Формулы для вычисления плотности распределения случайных величин: (2 часа). [1, с.31-35]
   
5. 
   Математическое ожидание, его свойства. Дисперсия, ее свойства. Коэффициент корреляции, его свойства (4 часа). [1, с.36-42]
   
6. 
   Неравенства: Коши-Буняковского, Гельдера, Минковского, Ляпунова, Иенсена, Чебышёва. Математическое ожидание вектора, матрица ковариаций (1 часа). [1, с.43-46]
   
7. 
   Характеристическая функция, ее свойства. Примеры вычисления характеристической функции для гауссовского, биномиального, пуассоновского распределений. Характеристическая функция для суммы независимых случайных величин, распределенных по: гауссу, пуассону, гамма-распределенных. Теорема единственности (2 часа) [1,с.46-50].
   
8. 
   Виды сходимостей последовательности случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве: по вероятности, с вероятностью единица, в среднем порядка r. Их связь. Слабая сходимость: определение и критерий. Теорема: а по
   распределению тогда и только тогда, когда £>—»а по вероятности. Теорема
   непрерывности (2 часа). [1,с.50-54]
   
9. 
   Закон больших чисел (ЗБЧ) в форме Чебышёва, его применение. ЗБЧ в форме
   Хинчина. Центральная предельная теорема (ЦПТ) для независимых одинаково
   распределенных случайных величин. Примеры применения (3 часа). [1, с.54-56]
   
10. 
    Центральная предельная теорема (ЦПТ) для независимых неодинаково распределенных случайных величин. Условие Линдеберга, его смысл. Применение предельных теорем в методе Монте-Карло. Теорема Пуассона (4 часа). [1, с.57-63]
    
11. 
    Условная функция распределения. Условная плотность. Условное математическое ожидание, его свойства. Дескриптивное определение условного математического ожидания (4 часа). [1, с.63-69, 99-106]
    
12. 
    Многомерное гауссовское распределение, его характеристическая функция. Линейное преобразование гауссовского вектора. Теорема о нормальной регрессии (2 часа). [1,с.69-76]
    
13. 
    Решение задачи прогноза гауссовской случайной величины как задачи минимизации на множестве линейных функций. Формула Вика. Лемма Бореля ! Кантелли. Закон 0 и 1 Колмогорова (2 часа). [5, с.271, 368]
    
14. 
    Последовательности случайных величин, образующие мартингал, субмартингал или супермартингал. Некоторые их свойства. Теорема Колмогорова-Дуба. Неравенство Дж. Дуба (2 часа). [5, гл. 7]
    
15. 
    Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Оценка неизвестной функции плотности: гистограмма, полигон частот, ядерные оценки плотности (2 часа). [4, с. 13-20]
    
16. 
    Выборочное оценивание: выборочные моменты; состоятельность, оптимальность, несмещенность и эффективность оценки. Метод моментов. Критерий состоятельности (2 часа). [4, с.37-45, 77-81]
    
17. 
    Сравнение оценок. Класс оценок $К_b$, $К_0$. Единственность эффективной оценки в классе Kb. Функция правдоподобия. Метод максимального правдоподобия. Линейная регрессия (2 часа). [4, § 2.4]
    
18. 
    Функция вклада выборки. Информационное количество Фишера. Неравенство Рао—Крамера (2 часа). [4, § 2.2]
    
19. 
    Асимптотические свойства оценок максимального правдоподобия. Достаточние статистики. Метод инвариантных функций для построения доверительных границ. Доверительные интервалы для параметров гауссовского распределения. Теорема Стьюдента (3 часа). [1, с.71-77]
    
20. 
    Центральная статистика. Асимптотические доверительные интервалы (ЦПТ). Построение доверительных интервалов с помощью функции Фишера. Метод наименьших квадратов (3 часа). [4, § 2.6]
    
21. 
    Проверка гипотез. Этапы построения критерия. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Критерий Колмогорова (2 часа). [4, § 3.1, § 3.2]
    
22. 
    Проверка гипотез: Гипотеза однородности, Критерий Смирнова (2 часа). [4, § 3.4]
    
23. 
    Проверка гипотез: Критерий теорема Пирсона, теорема Фишера. Критерий однородности. Гипотеза независимости. Гипотеза о совпадении математических ожиданий в гауссовских выборках с одинаковыми дисперсиями (2 часа). [4, с. 109-117]
    
24. 
    Лемма Неймана - Пирсона (2 часа). [4, § 4.2, с. 142-145]
    
25. 
    Равномерно наиболее мощные критерии (2 часа). [4, с. 157-161]
    
26. 
    Локально наиболее мощные критерии (2 часа). [1, с. 161-163]
    
27. 
    Последовательный анализ. Конечность числа испытаний в последовательном анализе. Неравенства Вальда (2 часа) [4, § 4.3]
    

3.2. Практические и семинарские занятия

Раздел (ы)	Тема практического или семинарского занятия			Число часов
1	Дискретное вероятностное пространство: классическая схема, гипергеометрическое распределение. Геометрическая вероятность. Схема Бернулли, биномиальное распределение			6
2	Свойства вероятности, условная вероятность, независимость событий. Формула полной вероятности, формула Байеса			3
3	Случайная величина. Функция распределения и ее свойства. Типы распределений и случайных величин, плотность распределения			4
4	Основная формула теории вероятностей			3
5	Математическое ожидание, его свойства. Дисперсия, ее свойства. Коэффициент корреляции, его свойства			4
7	Характеристическая функция, ее свойства			2
8	Виды сходимостей последовательности случайных величин			2
9-10	Предельные теоремы: ЗБЧ, ЦПТ			4
11	Условная функция распределения. Условная плотность. Условное математическое ожидание, его свойства			4
12	Многомерное гауссовское распределение. Теорема о нормальной регрессии			2
14	Последовательности случайных величин, образующие мартингал, субмартингал или супермартингал			2
15	Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Оценка неизвестной функции плотности: гистограмма, полигон частот, ядерные оценки.плотности			2
16	Выборочное оценивание: выборочные моменты; состоятельность, оптимальность, несмещенность и эффективность оценки. Метод моментов			2
17		Функция правдоподобия. Метод максимального правдоподобия. Линейная регрессия	2
18		Функция вклада выборки. Информационное количество Фишера. Неравенство Рао—Крамера	2
19		Доверительные интервалы для параметров гауссовского распределения. Теорема Стьюдента	2
20		Центральная статистика. Асимптотические доверительные интервалы Построение доверительных интервалов с помощью функции Фишера . Метод наименьших квадратов	6
21		Критерий Колмогорова для проверки гипотез	2
22		Гипотеза однородности, Критерий Смирнова	2
23		Проверка гипотез: Критерий теорема Пирсона, теорема Фишера. Критерий однородности. Гипотеза независимости . Гипотеза о совпадении математических ожиданий в гауссовских выборках с одинаковыми дисперсиями.	4
24		Лемма Неймана -- Пирсона.	2
25		Равномерно наиболее мощные критерии	2
26		Локально наиболее мощные критерии.	2
27		Последовательный анализ	2

3.3. Лабораторный практикум

"Не предусмотрены".

3.4. Курсовые проекты (работы)

"Не предусмотрены".

3.5. Формы текущего контроля

Раздел (ы)	Форма контроля	Неделя
1-6,9-11; 17-22	контрольные работы	7, 12 15
26—37; 38—46	контрольные работы	7, 12 15

3.6. Самостоятельная работа

1. 
   Виды сходимости последовательности случайных величин (4 часа).
   
2. 
   Предельные теоремы теории вероятности (10 часов).
   
3. 
   Условное математическое ожидание (10 часов).
   
4. 
   Мартингалы (10 часов).
   
5. 
   Доверительные интервалы: центральная статистика (4 часа).
   
6. 
   Гипотеза однородности, гипотеза независимости (4 часа).
   
7. 
   Равномерно наиболее мощные критерии (6 часов).
   
8. 
   Локально наиболее мощные критерии (10 часов).
   
9. 
   Последовательный анализ (10 часов).
   

Форма контроля: проверка домашних заданий


4.1. Рекомендуемая литература (Имеется в библиотеке ИАТЭ)

1. Ермаков С.В. Теория вероятностей. / Уч. Пособие по курсу « Теория
вероятностей и математическая статистика» - Обнинск, ИАТЭ, 2004

2. 
   Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991.
   
3. 
   Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
   
4. 
   Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984.
   
5. 
   Ширяев А.Н. Вероятность. - М., 2003 I
   
6. 
   Боровков А.А. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
   
7. 
   Справочник по прикладной статистике. В 2-х томах, под ред. Э.Ллойда, У.Ледермана, Ю.Н.Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1989,1990.
   
8. 
   Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. / под ред. А.А.Свешникова. М.: Наука, 1970.
   
9. 
   Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1986 (переизд. 1994г.).
   
10. 
    Кочетков Е.С., Смерчинская СО. Теория вероятностей в задачах и упражнениях. - М., ФОРУМ - ИНФРА-М, 2005.
    
11. 
    Болыыев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. 1983.
    
12. 
    Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике. М.: Финансы и статистика, 1982.
    

4.1.1. Основная литература

1. 
   Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
   
2. 
   Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984.
   
3. 
   Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. / под ред. А.А.Свешникова. М.: Наука, 1970.
   

4.1.2. Дополнительная литература

1. 
   Боровков А.А. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
   
2. 
   Справочник по прикладной статистике. В 2-х томах, под ред. Э.Ллойда, У.Ледермана, Ю.Н.Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1989,1990.
   
3. 
   Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике. М.: Финансы и статистика, 1982.
   

4.2. Средства обеспечения освоения дисциплины

"Не предусмотрены".

5. Материально-техническое обеспечение дисциплины

"Не предусмотрены"