Методические указания к практическим заданиям по с/к «Обратные задачи механики» для студентов механико-математического факультета Ростов-на-Дону
| скачать Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим заданиям по с/к «Обратные задачи механики» для студентов механико-математического факультета Ростов-на-Дону2005 Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, заведующим кафедры теории упругости, профессором А.О. Ватульяном и ассистентом кафедры теории упругости Явруян О.В. Ответственный редактор Компьютерный набор и верстка Печатается в соответствии с решением кафедры теории упругости механико-математического факультета РГУ, протокол № 1 от 14 февраля 2005 г. СОДЕРЖАНИЕ С. Введение………………………………………………………………………………4
2.1. Выбор параметра регуляризации .………………………………………10 2.2. Метод регуляризации А.Н.Тихонова для уравнения Фредгольма1-го рода с гладким ядром ….……………………………………...11 3. ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ…………...…………………………………………………………..15 3.1. Задача об определении модуля  …………………………………….16
4. ЗАДАНИЕ I ……………………………………………………………………....20 4.1. Варианты I -ого задания…………………………………………………..20 4.2. Указания к выполнению I практического задания………………..….21 5. ЗАДАНИЕ II……………………………………………………………….…….22 5.1. Варианты II -ого задания………………………………..…………….....22 5.2. Указания к выполнению II практического задания……………..…...23 Приложение А………………………………………………………………............25 ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………...27 ВВЕДЕНИЕ Стремление познавать окружающий мир привело человека к некоторой идеализации окружающих предметов и явлений. При этом для понимания основных закономерностей происходящего процесса необходимо абстрагироваться от реального процесса, заменяя его идеальным, где учитывается одно главное его свойство. Предположим, что необходимо описать поведение некоторого физического процесса или явления, которые в дальнейшем будем именовать объектами исследования (ОИ). Основными источниками информации, на основании которых изучается ОИ, являются наблюдение и эксперимент. Если при наблюдении просто фиксируются некоторые черты поведения ОИ, то в эксперименте можно активно воздействовать на ОИ (вход) и регистрировать его отклик на это воздействие (выход). Установление связи между входом и выходом ОИ составляет главную задачу математического моделирования. Все задачи математического моделирования с точки зрения соотношений причина-следствие можно разбить на два класса: прямые задачи, известны причины, необходимо определить следствия, и обратные задачи, в которых требуется найти причины по некоторой известной информации об объекте исследования [1]. Обратные задачи имеют широкую область приложения, например, задачи сейсморазведки, идентификация композитных материалов, проблемы неразрушающего контроля [2]. Однако следует отметить, что такие задачи обладают рядом неприятных с точки зрения обработки свойств, практически все обратные задачи являются некорректными, т.е. для их решения стандартные методы неприменимы. В основе теорий и методов решений некорректных задач лежит понятие регуляризирующего алгоритма как способа приближенного решения некорректной задачи [3]-[5]. Настоящее пособие посвящено определенному типу обратных коэффициентных задач, и представлен способ преодоления некорректности для таких задач - применение регуляризирующего метода А.Н. Тихонова. Также методическое пособие содержит варианты заданий по спецкурсу «Обратные задачи механики». В первом разделе представлены основные понятия, определения и вопросы, которые встречаются при решении обратных задач. Второй и третий разделы посвящены непосредственно практическим заданиям по с/к: решению интегрального уравнения Фредгольма I-ого рода с гладким ядром при помощи метода А.Н. Тихонова и обратным коэффициентным задачам для упругого стержня. Сформулированы сами задания и указания к выполнению работы. ^ С точки зрения современной математики все задачи принято условно делить на корректно и некорректно поставленные. Рассмотрим операторное уравнение  ,  (1.1) где U, F – метрические пространства. Определение 1 Задача (1.1) называется корректно поставленной по Адамару [3], если
Непрерывная зависимость от данных задачи означает следующее. Пусть имеется два операторных уравнения с мало различающимися правыми частями  , такие, что из неравенства  вытекает  , причём 0, если 0 ( условие устойчивости).Перефразируя определение 1, можно сказать, что нахождение элемента u=Rf порождает корректную модель, если отображение R определено на всем пространстве F и непрерывно. Ясно, что понятие корректности относится к тройке (F,R,U). Рассмотрим смысл условий 1-3 в определении 1
3) непрерывная зависимость от данных задачи означает, что малые погрешности входных данных (которые присущи любому эксперименту и наблюдению) приводят к малым отклонениям приближенного решения от точного. Условия 1,2 определения 1 характеризуют математическую определенность, а условие 3 - физическую детерминированность задачи. Отметим, что для линейных корректных задач имеет место соотношение корректности  (1.2) с= const , причем из соотношения (1.2) вытекают условия корректности 1-3 определения 1 (например, если f=0, то и u=0, откуда следует единственность). Условию единственности решения линейного операторного уравнения (1.1) соответствует условие существования только тривиального решения однородного уравнения (1.1). Определение 2 Задача (1.1) называется некорректной, если для нее нарушается хотя бы одно из условий 1-3 определения 1. Типичным примером некорректно поставленной задачи является линейное операторное уравнение (1.1) в случае, когда оператор A вполне непрерывен. В этом случае нарушаются все условия корректности задачи. В качестве следующего примера некорректно поставленной задачи будем рассматривать решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с гладким ядром.  (1.3) Будем считать для определенности, что   .Для этого операторного уравнения не выполняется первое условие корректности, поскольку не у каждого элемента из F будет существовать прообраз из U. Для этого достаточно взять функцию f, непрерывную на [c,d], но недифференцируемую, при этом интеграл в левой части будет представлять собой непрерывно дифференцируемую функцию. Для уравнения (1.3) не выполняется и третье условие корректности в силу полной непрерывности оператора в левой части и неограниченности обратного А  к вполне непрерывному. Наконец заметим, что выполнение второго условия корректности зависит от конкретного ядра (это условие может как выполняться, так и нарушаться). Особенно выпукло это проявляется для операторов с вырожденным ядром. Рассмотрим характерные ситуации. Пример 1 В качестве ядра интегрального операторного уравнения (1.3) рассмотрим следующее  Покажем, что соответствующее однородное уравнение имеет только нулевое решение , (1.4)полагая в (1.4) х=0, получим  .Дифференцируя уравнение (1.4) и полагая x=0, получим последовательно:  В силу того, что система функций  - линейно независима и полна в  , а u(s) ортогональна этой системе, то  и, следовательно, имеет место единственность решения.Пример 2Пусть  . Нетрудно видеть, что для оператора с таким ядром решение неединственно. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение с описанным выше вырожденным ядром. Решение представим в виде  тогда  можно положить  . Таким образом, мы нашли решение однородного операторного уравнения отличное от нулевого, что соответствует условию неединственности решения исходного неоднородного уравнения. Таким образом, процедура решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с гладким ядром является некорректной задачей. Опишем регуляризованную процедуру его численного решения на основе метода А.Н.Тихонова. ^ Пусть U, F – гильбертовы пространства; D – замкнутое выпуклое множество априорных ограничений задачи (  ,  ). A, - линейные ограниченные операторы, где - аппроксимирующий оператор,  - погрешность аппроксимации, т.е.  . Построим приближенное решение уравнения (1.3), принадлежащее множеству D, по заданному набору данных  ,  , где  - погрешность задания правой части уравнения (1.3), т.е.  .Введем сглаживающий функционал [3]  (2.1)(  >0 – параметр регуляризации) и рассмотрим экстремальную задачу о минимизации функционала   (2.2)Имеет место следующий результат [3] Для любых  и линейного ограниченного оператора задача (2.2) разрешима и имеет единственное решение  , причем  .^ Выбор параметра регуляризации осуществляется в соответствии с принципом обобщенной невязки [3], т.е. находится из уравнения  , (2.3) - мера несовместности уравнения (1.3) с приближенными данными.При этом если выполнено условие  , то уравнение (2.3) имеет один положительный корень, который выбирается в качестве параметра регуляризации в методе А.Н. Тихонова.Для отыскания корня уравнения (2.3) можно использовать модификацию метода хорд. Опишем кратко итерационную процедуру нахождения параметра регуляризации. Пусть  . Зададим начальное значение параметра регуляризации  и выберем следующее значение  ( ), полагая  и вычислим соответствующие значения функции  . Далее, до тех пор, пока выполняется условие  , строим итерационную последовательность по следующей рекуррентной формуле (2.4) причем, если  , то  если  , то  В качестве подходящего значения параметра регуляризации выбирается  .^ Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма I-ого рода с гладким ядром  [3].  (2.5)  .Пусть вместо  нам известно такое ее приближенное значение  , что  . Предположим, что из априорных соображений известно, что  - кусочно-гладкая, тогда выберем  . Пусть вместо  известна такая функция  , что  , тогда  , где - интегральный оператор, соответствующий ядру  .Используя схему построения регуляризирующего алгоритма А.Н. Тихонова, перейдем от (2.5) к минимизации стабилизирующего функционала  , (2.6)Строим конечномерную аппроксимацию функционала  , используя квадратурные формулы, для чего вводим равномерные сетки по x и по s с шагами  Обозначая   ,  , используем квадратурную формулу прямоугольников для вычисления интегралов и аппроксимируя производную конечной разностью  . Таким образом, конечномерная аппроксимация функционала имеет вид (2.7)Используя необходимое условие минимума функционала  ,приходим к линейной алгебраической системе с симметричной матрицей  (2.8)где  , ,  ,  , (2.9) , (2.10) Для решения системы линейных уравнений (2.8) можно использовать различные численные методы. При этом следует учитывать, что матрица системы является симметричной и положительно определенной. Одним из наиболее эффективных методов решения таких систем является метод квадратного корня [6]. В этом методе симметричная положительно определенная матрица  представляется в виде произведения верхней и нижней треугольных матриц  , где  : причем элементы матрицы  находятся по формулам: (2.11)Таким образом, от системы (2.8) приходим к решению системы  либо, введя соответствующее обозначение, к решению двух систем с треугольными матрицами  (2.12)Следует заметить, что при выборе параметра регуляризации по принципу обобщенной невязки, решая (2.3), приходится неоднократно при различных решать системы (2.12), при этом правая часть системы F и матрица В не зависят от . Это позволяет строить специальные экономичные методы многократного решения систем (2.12). Пусть для различных >0 необходимо решить систему (2.12) или , (2.13)где  - матрица, транспонированная к  ( ),  . Матрица С определяется согласно (2.10).При помощи метода квадратного корня (формулы (2.10)) матрицу С представим в виде  , где S – двухдиагональная матрица. Сделав замену в (2.13)   , получим . (2.14)Умножим это уравнение слева на  , получим  ,  (2.15)Представим матрицу D в виде  , где Q( ), R( ) – ортогональные матрицы, P – правая двухдиагональная матрица [6]. Теперь в уравнении (2.15) сделаем замену переменных  , в результате получим  или  , (2.16)здесь матрица  - трехдиагональная и уравнение (2.16) без труда решается, например методом прогонки [6]. Исходный неизвестный вектор  , однако, часто нет необходимости возвращаться к вектору  , поскольку, например, если h=0, то необходимо лишь проверить условие  , которое эквивалентно условию  . ^ Рассмотрим закрепленный на конце x = 0 упругий стержень длины  , в котором колебания возбуждаются при помощи силы p(t), приложенной к торцу стержня x = l. Будем считать, что  - упругий модуль,  - плотность,  - площадь поперечного сечения - есть функции координаты x. Рисунок 2 Уравнение движения имеет следующий вид  , (3.1)граничные условия  Будем рассматривать далее задачи об установившихся колебаниях, считая  и полагая  , где  - частота колебаний. Предположим, что имеется дополнительная информация о решении вида . (3.2)Тогда имеем следующие постановки ОЗ: 1 постановка.  - константа; по известной  найти  из условия (3.2)2 постановка. - константа; по известной найти из условия (3.2)3 постановка.  константы,  неизвестна и определяется из условия (3.2)Рассмотрим подробнее обратную задачу в первой постановке, поскольку схема их исследования идентична; в основе анализа лежит метод линеаризации. ^ 3.1. Задача об определении модуля Рассмотрим случай, когда  ,- постоянные. Уравнение колебаний и граничные условия имеют вид (3.3) Hайдем по информации , . (3.4)Предположим, что  , причём  . Введем в рассмотрение волновое число  и представим  (3.5)Отметим, что в задаче (3.3), - произвольная кусочно-непрерывная функция, однако строить решение прямой задачи (3.3) с произвольным законом изменения модуля мы, вообще говоря, аналитически не умеем. Оказывается, метод линеаризации – один из эффективных методов исследования коэффициентной ОЗ (3.3). Подставим представление (3.5) в исходную задачу и будем отыскивать ее решение в виде  .  (3.6) Далее выпишем множитель при одинаковых степенях  , получим следующие краевые задачи: (3.7) (3.8)Решение задачи (3.7) имеет вид  причем из граничных условий находим  , и тогда  . (3.9)В силу того, что для удовлетворения условию (4.2), нам требуется лишь значение u1(l), возможен следующий приём, который может оказаться весьма эффективным и в других, более сложных задачах. Применим к краевой задаче (3.8) конечное интегральное преобразование Фурье, для чего умножим уравнение на  и проинтегрируем по отрезку  . Тогда получим следующее равенство (3.10) где  . Заметим, что для дальнейшего исследования обратной задачи достаточно исключить из рассмотрения трансформанту . Подставляя в (3.10) значения  и учитывая граничные условия в задаче (3.8), получим линейную алгебраическую систему относительно  и  , решая которую, находим  .Теперь легко сформулировать операторное уравнение относительно   , (3.11)где (3.11) - интегральное уравнение Фредгольма I-ого рода с гладким ядром, следовательно, для его решения необходимо применить один из методов регуляризации, например метод Тихонова (см. п.2.1.). Аналогичным образом формулируется интегральное уравнение в задаче об определении плотности. ^ 3.2. Задача об определении плотности Рассмотрим задачу  , (3.12)  . Постановка обратной коэффициентной задачи: найти по информации  ,  . ^ F(x) Рассмотрим задачу об определении формы поперечного сечения F(x) при постоянных плотности и модуле Юнга  (3.13) . (3.14) ^ При решении некорректных задач обычно необходимо аппроксимировать исходную, чаще всего бесконечномерную задачу некоторой конечномерной задачей. Рассмотрим вопрос о переходе к конечномерной задаче на примере уравнения Фредгольма I рода с гладким ядром, приближенное решение которого будем строить на основе метода регуляризации А.Н. Тихонова. ^ На основе представленного в п.2.1. регуляризирующего алгоритма для уравнения Фредгольма I рода с гладким ядром на основе метода А.Н.Тихонова, найти приближенное решение  , удовлетворяющее интегральному уравнению (2.5), выбрав один из вариантов, указанный преподавателем:
^
^ 5.1. Варианты II -ого задания Для всех вариантов принимать  =1.
^
Приложение А Прямые задачи (3.3) ((3.12), (3.13)) численно можно решить по следующей схеме. Продемонстрируем на примере задачи определения модуля  (задачи (3.12), (3.13) решаются аналогично).  (6.1)Обозначим  , тогда задача (6.1) сведется к системе дифференциальных уравнений. (6.2)Проинтегрировав дифференциальные уравнения (6.2), получим    (6.3) Введем функцию  В результате получим интегральное уравнение Фредгольма II рода  . (6.4)Заменив интегралы в (6.4) соответствующими квадратурными формулами трапеций (  ), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений неизвестной функции  . (6.5)которая в операторном виде представима в форме  (6.6) ,где  ,  Из системы (6.6) определяются узловые значения функции перемещения, в частности, для решения соответствующей обратной задачи нас интересует значение на конце стержня  . ЛИТЕРАТУРА
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
……………………..…………...19
(решение существует для любой правой части);
.
. 
и точность вычисления параметра регуляризации 
, точность задания правой части 
и оператора 
. Осуществить автоматический выбор параметра регуляризации 
- константа; по известной 
из условия 
, найти 
- константы, 
решить прямую задачу (3.3) ((3.12), (3.13)) (см. Приложение А.) Рассчитать 
- выбираются между резонансными частотами.
и указания к выполнению I задания, решить интегральное уравнение (3.11) и найти искомую характеристику.Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 