скачать 2.06 2.6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Задача Коши: ![]() Дискретизация задачи Коши: Поводи вычисление на отрезке ![]() ![]() ![]() Задача в нахождении решения задачи Коши в узлах сетки. Заменим уравнение на дискретный аналог: ![]() Явный метод Эйлера ![]() Неявный метод Эйлера ![]() Устойчивость Разностная схема устойчива, если существует ![]() ![]() это означает непрерывную зависимость погрешности решения от погрешности входных данных. Аппроксимация Аналогично, вводится понятие аппроксимации дифференциальной задачи с порядком a: ![]() Сходимость Сходимость решения разностной задачи: ![]() Th Лакса: Т.е. устойчивая схема обеспечивает сходимость решения с порядком аппроксимации. Доказательство: ![]() ![]() Определение. Решение задачи (8.3) uτ сходится при ![]() ![]() при ![]() При этом, если имеет место оценка ![]() то имеет место сходимость порядка p. Определение. Говорят, что задача (8.3) аппроксимирует задачу (8.2) на ее решении, если невязка ![]() при ![]() ![]() ![]() то говорят, что имеет место аппроксимация порядка p. Определение. Задача (8.3) устойчива, если из соотношений Lτ(uτ) - Fτ = ξτ , Lτ(vτ) - Fτ = ητ следует ![]() Теорема 1 (В.С.Рябенького - П. Лакса) . Решение задачи (8.3) сходится к решению исходной задачи (8.2), если задача (8.3) устойчива и аппроксимирует задачу (8.2); если аппроксимация имеет порядок p, то сходимость также имеет порядок p. Доказательство. В силу аппроксимации имеем оценку: ![]() ![]() поскольку в данном случае || ητ || = 0 и, кроме того, || rτ || = || ξτ ||.
|