Задача Коши

скачать

2.06

2.6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем.

Задача Коши:

Дискретизация задачи Коши:

Поводи вычисление на отрезке

. Введем сетку

, назовем узлами сетки

, назовем шагом сетки.

Задача в нахождении решения задачи Коши в узлах сетки. Заменим уравнение на дискретный аналог:

– k-шаговый метод.

Явный метод Эйлера

Неявный метод Эйлера

Устойчивость

Разностная схема устойчива, если существует

(независимая от h – шага сетки):

;

это означает непрерывную зависимость погрешности решения от погрешности входных данных.

Аппроксимация

Аналогично, вводится понятие аппроксимации дифференциальной задачи с порядком a:

Сходимость

Сходимость решения разностной задачи:

, d – порядок сходимости.

Th Лакса:

Т.е. устойчивая схема обеспечивает сходимость решения с порядком аппроксимации.

Доказательство:

Определение. Решение задачи (8.3) u^τ сходится при

к решению исходной задачи (8.2), если

при

.

При этом, если имеет место оценка

то имеет место сходимость порядка p.

Определение. Говорят, что задача (8.3) аппроксимирует задачу (8.2) на ее решении, если невязка

при

, где

; при этом, если имеет место оценка

то говорят, что имеет место аппроксимация порядка p.

Определение. Задача (8.3) устойчива, если из соотношений

L_τ(u^τ) - F_τ = ξ_τ ,

L_τ(v^τ) - F_τ = η_τ

следует

Теорема 1 (В.С.Рябенького - П. Лакса) . Решение задачи (8.3) сходится к решению исходной задачи (8.2), если задача (8.3) устойчива и аппроксимирует задачу (8.2); если аппроксимация имеет порядок p, то сходимость также имеет порядок p.

Доказательство.

В силу аппроксимации имеем оценку: