Задача Дирихле
| скачать 2.21 Билет № 24/31. Разностные схемы для краевых задач эллиптического типа. Итерационные методы решения систем разностных уравнений. Пусть G- ограниченная область в пространстве Rn. Эллиптические дифференциальные уравнения описывают статические состояния. Поэтому ищутся решения дифференциальных уравнений, которые на границе  области G удовлетворяют краевым условиям. Такая задача называется краевой задачей.Различают:
а) внутренняя задача:  , V непрерывна на всей области G+ и задана на границе  (граничные условия 1-го рода).b) внешняя задача: V непрерывна на всей области  +
а) внутренняя задача: V непрерывна на всей области G+  ( граничные условия 2-го рода).b) внешняя задача : , V непрерывна на всей области +( граничные условия 2-го рода).Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле. Решение ищется в виде потенциала двойного слоя.  ;   . (*)Это интегральное Фредгольма 2-го рода. Искомая функция -  . Его решать численно значительно легче. Понизилась размерность задачи.Дискретизируем границу области :  ,  -площадь j-й грани. Получаем n уравнений:  , (**) . Т.о. интегральное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений. Неприятность возникает при  . Существует процедура регуляризации, основанная на т.Гаусса. ^ собственная функция (*), численный аналог этого утверждения  , т.о.  . Подставляя в (**), получаем «хорошую систему» систему, у нее будет диагональное преобладание, т.е. она будет хорошо решаться.NB. В случаях 1b) b 2a) получаем системы с нулевыми определителями. Итерационные методы решения систем разностных уравнений. Итерационные методы применяются главным образом для решения задач большой размерности.
Для применения метода простой итерации к системе линейных алгебраических уравнений  с квадратной невырожденной матрицей А, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду  . (*)Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и зависит от специфики системы. Самый простой способ приведения системы к удобному виду -  . Получаемая в результате матрица B имеет нулевую диагональ,  ,   .В таком виде метод простой итерации называют методом Якоби. Описание метода. Выберем начальное приближение  . Подставляя его в правую часть системы вычисляем первое приближение  . Т.о. получаем последовательность приближений, вычисляемых по формуле  .Теорема. Пусть выполнено условие  . Тогда решение  (*) существует и единственно и при любом произвольном начальном приближении метод простой итерации сходится и справедлива оценка погрешности  .Из оценки следует, что привыполнении этого условия метод сходится со скоростью геометрической прогрессии. Скорость сходимости тем выше, чем чем меньше  .Для выхода из цикла лучше использовать апостериорную оценку погрешности (это неравенство верно при выполнении условия теоремы)  .2. Метод Зейделя. Этот метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Идея заключается в том, что при нахождении очередного (k+1) приближения неизвестного  используют уже известные приближения x1,x2,...xi-1, а не k-е приближения.Матрица B=B1+B2, где B1-нижняя треугольная матрица, B2-верхняя треугольная матрица:   .Тогда расчетные формулы примут вид  .Теорема. Пусть выполняется условие  . Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится и верна оценка погрешности , где  .Теорема. Если матрица А- симметричная и положительно определенная, то при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии. Для выхода из цикла лучше использовать апостериорную оценку погрешности (это неравенство верно при ) .
Суть метода релаксации состоит в следующем. После вычислении очередной i-й компоненты (k+1)-го приближения методом Зейделя производят дополнительно смещение этой компоненты на некоторую величину. Т.о. i-я компонента (k+1)-го приближения вычисляется по формуле  , где  - параметр релаксации.При =1 метод совпадает с методом Зейделя, при>1 - метод последовательной верхней релаксации, при<1 - метод последовательной нижней релаксации. Для симметричной положительно определенной матрицы А метод сходится при любом ( ).Общие замечания. Различные методы ориентированы на решение разных классов систем: метод Якоби - на системы с матрицами, близкими к диагональным; метод Зейделя - на системы с матрицами, близкими к нижним треугольным; метод релаксации - на системы с симметричными положительно определенными матрицами А; Билет №24/31
|
отлично
1 