Задача Дирихле icon

Задача Дирихле



Смотрите также:
Методические указания по теме «принципдирихл е»...
При решении многих задач используется логический метод рассуждения "от противного"...
Курс IV семестр 7, 8 лекции 50 часов Экзамен 8 семестр семинары 50 часов Зачет нет...
Задача на границах периодической системы 4 Задача кот шредингера и химия 5...
Основные результаты научных исследований...
Тема Основные классы экстремальных задач...
Реферат по теме: “...
1 семестр. Геометрические и аналитические методы...
Задача 30
Задача 1
Задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)...
Перед учителями русского языка эстонских школ поставлена весьма серьёзная задача-свободно...



скачать

2.21

Билет № 24/31.


Разностные схемы для краевых задач эллиптического типа. Итерационные методы решения систем разностных уравнений.


Пусть G- ограниченная область в пространстве Rn. Эллиптические дифференциальные уравнения описывают статические состояния. Поэтому ищутся решения дифференциальных уравнений, которые на границе области G удовлетворяют краевым условиям. Такая задача называется краевой задачей.

Различают:

  1. Задача Дирихле:

а) внутренняя задача:, V непрерывна на всей области G+ и задана на границе (граничные условия 1-го рода).

b) внешняя задача: V непрерывна на всей области +

  1. Задача Неймана:

а) внутренняя задача: V непрерывна на всей области G+

( граничные условия 2-го рода).

b) внешняя задача :, V непрерывна на всей области +

( граничные условия 2-го рода).

Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле. Решение ищется в виде потенциала двойного слоя.

;


. (*)

Это интегральное Фредгольма 2-го рода. Искомая функция -. Его решать численно значительно легче. Понизилась размерность задачи.

Дискретизируем границу области : , -площадь j-й грани. Получаем n уравнений:

, (**)


. Т.о. интегральное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений. Неприятность возникает при . Существует процедура регуляризации, основанная на т.Гаусса. ^ 1-собственная функция (*), численный аналог этого утверждения

, т.о. . Подставляя в (**), получаем «хорошую систему» систему, у нее будет диагональное преобладание, т.е. она будет хорошо решаться.

NB. В случаях 1b) b 2a) получаем системы с нулевыми определителями.


Итерационные методы решения систем разностных уравнений.


Итерационные методы применяются главным образом для решения задач большой размерности.


  1. ^ Метод простой итерации.


Для применения метода простой итерации к системе линейных алгебраических уравнений



с квадратной невырожденной матрицей А, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду

. (*)

Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и зависит от специфики системы. Самый простой способ приведения системы к удобному виду -

. Получаемая в результате матрица B имеет нулевую диагональ, , .

В таком виде метод простой итерации называют методом Якоби.

Описание метода.

Выберем начальное приближение . Подставляя его в правую часть системы вычисляем первое приближение . Т.о. получаем последовательность приближений, вычисляемых по формуле .

Теорема. Пусть выполнено условие . Тогда решение (*) существует и единственно и при любом произвольном начальном приближении метод простой итерации сходится и справедлива оценка погрешности .


Из оценки следует, что привыполнении этого условия метод сходится со скоростью геометрической прогрессии. Скорость сходимости тем выше, чем чем меньше .

Для выхода из цикла лучше использовать апостериорную оценку погрешности (это неравенство верно при выполнении условия теоремы)

.


2. Метод Зейделя.


Этот метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Идея заключается в том, что при нахождении очередного (k+1) приближения неизвестного используют уже известные приближения x1,x2,...xi-1, а не k-е приближения.

Матрица B=B1+B2, где B1-нижняя треугольная матрица, B2-верхняя треугольная матрица:

.

Тогда расчетные формулы примут вид

.

Теорема. Пусть выполняется условие . Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится и верна оценка погрешности

, где .

Теорема. Если матрица А- симметричная и положительно определенная, то при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии.


Для выхода из цикла лучше использовать апостериорную оценку погрешности (это неравенство верно при )

.


  1. ^ Метод релаксации.


Суть метода релаксации состоит в следующем. После вычислении очередной i-й компоненты (k+1)-го приближения методом Зейделя производят дополнительно смещение этой компоненты на некоторую величину. Т.о. i-я компонента (k+1)-го приближения вычисляется по формуле

, где - параметр релаксации.

При =1 метод совпадает с методом Зейделя, при>1 - метод последовательной верхней релаксации, при<1 - метод последовательной нижней релаксации. Для симметричной положительно определенной матрицы А метод сходится при любом ().


Общие замечания.

Различные методы ориентированы на решение разных классов систем:

метод Якоби - на системы с матрицами, близкими к диагональным;

метод Зейделя - на системы с матрицами, близкими к нижним треугольным;

метод релаксации - на системы с симметричными положительно определенными матрицами А;




Билет №24/31




Скачать 39,02 Kb.
оставить комментарий
Дата02.10.2011
Размер39,02 Kb.
ТипЗадача, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх