Нижний Новгород 2005 г. Удк 517. 3 Ббк в167. 222 к-84 к-84 Несобственные интегралы первого рода. Учебно icon

Нижний Новгород 2005 г. Удк 517. 3 Ббк в167. 222 к-84 к-84 Несобственные интегралы первого рода. Учебно


Смотрите также:
Учебный курс Нижний Новгород 2003 удк 69. 003. 121: 519. 6 Ббк 65. 9 (2) 32 5...
Учебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения Весенний семестр Тематика...
Учебное пособие Нижний Новгород 2003 удк 69. 003. 121: 519. 6 Ббк 65. 9 (2) 32 5...
Учебно-методическое пособие Нижний Новгород 2010 удк 338. 24(075. 8) Ббк 65. 290-2я73...
Математические и естественнонаучные дисциплины Базовая часть...
Методическое пособие Нижний Новгород 2010 удк 378. 146 + 159. 9 Ббк 88. 3 + 74. 58...
Ii несобственные интегралы...
Учебное пособие Нижний Новгород 2010 ббк к курникова М. В...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано комиссией для преподавателей и студентов высших...
Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности 030501 Нижний Новгород...
Т. В. Прохоренко Москва ■ Санкт-Петербург • Нижний Новгород ■ Воронеж Ростов-на Дону ■...
Учебная программа Дисциплины б3 «Кратные интегралы и ряды» по направлению 010300...



Загрузка...
скачать


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ


Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»


Несобственные интегралы первого рода

Учебно-методическая разработка


Рекомендовано методической комиссией механико-математического

факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 010700 «Физика».


Нижний Новгород

2005 г.

УДК 517.3

ББК В167.222

К-84


К-84 Несобственные интегралы первого рода. Учебно-методическая разработка. - Составители Круглова С.С., Солдатов М.А., Шишина В.Т. - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2005. - 21 с.

Рецензент: кандидат физико-математических наук доцент В.И. Перова.


Настоящая разработка содержит справочные сведения, решения примеров и задания для самостоятельной работы по теме “Несобственные интегралы первого рода”. Разработка предназначена для студентов физического факультета; может быть полезна также студентам химического факультета.


УДК 517.3

ББК В167.222

При рассмотрении интеграла Римана не предполагалось, что 1) промежуток конечен и 2) функция ограничена на нём. Отказавшись от этих ограничений, придём к понятию несобственных интегралов. В этой разработке обобщим понятие интеграла на случай бесконечных промежутков.


§1. Определения.


Пусть функция определена для всех и интегрируема на любом конечном отрезке , . Предел интеграла при называется несобственным интегралом от функции по промежутку и обозначается символом . Аналогично определяются несобственные интегралы по промежуткам и .

Итак, по определению:

; (1)

; (2)

. (3)

Если указанные пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие интегралы сходятся (существуют, имеют смысл), а функция интегрируема (в несобственном смысле). В противном случае интегралы называются расходящимися (несуществующими).

Замечание 1. Главным значением интеграла (3) в смысле Коши называется предел



(V.P. – от французского valeur principale – главное значение). Этот предел может существовать, даже когда интеграл (3) в обычном смысле (т.е. когда А и В меняются произвольно) расходится.

Геометрически несобственный интеграл (1) в случае выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключённой между линиями , и осью абсцисс.

Интеграл (2) сводится к (1) простой заменой , а (3) – к обоим интегралам (1) и (2).


§2. Свойства интегралов вида (1).


1. Аддитивность:

(1*)

причём оба несобственный интеграла здесь сходятся или расходятся одновременно.

2. Линейность: а) Если (1) сходится и K – число, то сходится интеграл от функции , причём

; (4)

б) если интегралы от функций и сходятся, то сходится и интеграл от их суммы, причём

. (5)

Последнее необратимо.

Если в правой части (5) один интеграл сходится, а другой расходится. То интеграл от суммы – в левой части – расходится.

3. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция непрерывна при и – какая-либо её первообразная, то

, (6)

где , причём обе части равенства (6) одновременно имеют смысл или нет.

^ 4. Интегрирование по частям. Если функции , непрерывно дифференцируемы на полупрямой , то

.

Причём, если любые два из стоящих здесь выражений имеют смысл, то имеет смысл и третье. (Интегрирование по частям часто используют для улучшения сходимости интеграла.)


§3. Достаточные признаки сходимости интегралов от неотрицательных функций.


1. Признак сравнения (0бычный).

Пусть функции и определены для всех , интегрируемы на каждом отрезке , , . Тогда из сходимости интеграла

(7)

вытекает сходимость интеграла (1), причём , а из расходимости интеграла (1) вытекает расходимость интеграла (7). Функция называется функцией сравнения.

Замечание 2. В качестве функции сравнения часто берётся или . Интегралы , где или , где , сходятся при и расходится при .

^ 2. Предельный признак сравнения.

Пусть существует предел (). Тогда 10 если , то оба интеграла (1) и (7) одновременно сходятся или расходятся; 2) если , то их сходимости (7) следует сходимость (1); 3) если , то из расходимости (70 следует расходимость (1).

Выбирая конкретную функцию для сравнения, можно отсюда получить частные признаки сходимости или расходимости интеграла (7).

^ 3. Наиболее удобен для решения задач частный признак сравнения. Если при функция является бесконечно малой порядка по сравнению с , т.е. если или , , то интеграл (1) сходится при и расходится при .

Замечание 3. Чтобы знать, в какую сторону оценивать подинтегральную функцию , нужно «заподозрить» интеграл (1) на сходимость или расходимость. А это часто легко установить заменой величин, входящих в состав . Величинами, ими эквивалентными или имеющими одинаковый порядок при . Здесь надо стремиться выделить (если это возможно) главную часть главную часть функции при в виде , где и – постоянные, и использовать Замечание 2 или частный признак сравнения. Если остаются сомнения в полной законности произведённых упрощений, можно сравнить с полученным выражением, найдя предел их отношения при . Напомним, что функции и называются эквивалентными при , если и пишут при .


§4. Абсолютная и условная сходимость интегралов.


Определение. Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

. (8)

Интеграл (1) называется условно или неабсолютно сходящимся, если сам он сходится, а интеграл (8) расходится.

Теорема. Если интеграл (1) сходится абсолютно, то он просто сходится, причём

.

При исследовании (1) на абсолютную сходимость можно к интегралу (8) применять признаки из §3.

Для исследования на сходимость интегралов (особенно условно сходящихся) существуют специальные признаки сходимости.

^ 1. Признак Дирихле. Если а) функция непрерывна на промежутке и для всякого существует постоянное такое, что ; б) функция монотонно стремится к нулю при , то сходится интеграл

. (9)

2. признак Абеля. Пусть функции и определены в промежутке , причём а) интеграл сходится; б) функция монотонна и ограничена: (). Тогда интеграл (9) сходится.


§5. Примеры.


В примерах 1-4 вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость, основываясь непосредственно на определении.





Следовательно, интеграл расходится.

3. .

Этот предел не существует, поэтому интеграл расходится.



где . Таким образом, рассматриваемый предел не существует – интеграл расходится. Однако, если , то предел существует:

.

5. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой .

Из геометрического смысла несобственного интеграла следует, что , т.е.



6. При вычислении следующего интеграла используем интегрирование по частям:

.

Установить возможность применения свойства линейности при вычислении интегралов

; ; .

В разобьём подинтегральную функцию на сумму . Интегралы от обоих слагаемых сходятся:

; .

Поэтому к интегралу свойство 2 применимо:

.

Представим подинтегральную функцию в в виде . Интегралы от обоих слагаемых расходятся: , . Поэтому свойство 2б при вычислении интеграла применить нельзя, но тем не менее этот интеграл существует:

.

Рассмотрим интеграл . Запишем . Интеграл от первого слагаемого расходится, от второго – сходится:

.

Тогда сам интеграл расходится.

В примерах 8-18 исследовать сходимость интегралов от функций, непрерывных и положительных на всём пути интегрирования.

8. .

Подинтегральная функция для положительна и непрерывна, и при имеет порядок относительно , т.к. . Здесь , и по признаку 3 данный интеграл сходится. Применение признака сравнения 1 приводит к тому же: . Затем используем Замечание 2.

9. .

Найдём функцию сравнения :

, .

Интеграл , где , сходится, так как . Согласно свойству 1 и признаку сравнения 1, интеграл I сходится.

10. .

Определим порядок подинтегральной функции относительно при :

.

Следовательно, порядок малости функции относительно есть . По признаку сравнения 3 интеграл сходится.

11. .

Покажем, что при подинтегральная функция является бесконечно малой порядка по сравнению с .

,

так как второй множитель имеет предел 2 при . Следовательно, данный интеграл расходится ().

12. .

Определим порядок подинтегральной функции по сравнению с . Поскольку при , , то . Итак, имеет относительно порядок малости при . Следовательно, интеграл I сходится.

13. При каких значениях k интеграл будет сходящимся?

Подинтегральная функция на промежутке интегрирования непрерывна и положительна. При имеем: , . Следовательно, при функция имеет порядок относительно . Значит, интеграл сходится для , т.е. , и расходится для .

Расходимость интеграла для следует уже из того, что



и потому при будет , а интеграл (расходится).

14. .

Так как при , то интеграл сходится ().

15. .

Подинтегральная функция бесконечно малая при : , но для неё не может быть установлен определённый порядок малости р относительно . Действительно,



Взяв здесь и использовав Замечание 2 и признак 2 (п.3), заключаем, что интеграл I расходится (случаи и ни к какому заключению не приводят). Впрочем, расходимость данного интеграла легче установить из признака сравнения 1, заметив, что уже для будет .

16. .

На пути интегрирования подинтегральная функция меняет знак, но положительна на интервале . Тогда используем свойство аддитивности: . При имеем: (степень ), а растёт медленнее любой степени , . Оцениваем подинтегральную функцию сверху при больших :

.

Так как можем взять такое , что (), то данный интеграл сходится.

17. . Здесь подинтегральная функция на всём пути непрерывна и отрицательна. По свойству 2а интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом от функции . Числитель есть функция, бесконечно малая при . Заменим её эквивалентной величиной:

.

Поэтому . Значит, интеграл сходится при , т.е. при , и расходится при .

18.

Отметим, что . Но для бесконечно малой при функции не может быть установлен порядок малости р относительно , так как . Взяв , воспользуемся пунктом 2 предельного признака сравнения 2. Из него следует, что интеграл сходится .

В примерах 19-23 подинтегральная функция тоже непрерывна на пути интегрирования , но имеет бесконечное множество нулей и меняет знак при переходе через них (функция знакопеременная).

19. .

Разрывы подинтегральной функции в точках и устранимые: станет непрерывной на всей полупрямой , если её доопределить в этих точках с помощью пределов, т.е. положив , .

По свойству 1 достаточно исследовать на сходимость, например, интеграл . Оцениваем сверху подинтегральную функцию по модулю: , . Но интеграл сходится (), поэтому и сходятся абсолютно.

20. , где .

Исследуем сходимость интеграла . Так как , а интеграл , где , сходится, то по признаку сравнения интеграл сходится. Следовательно, интеграл сходится (и притом абсолютно).

21. , где .

1) Исследуем I на абсолютную сходимость.

А) Имеем: . Так как сходится при , то сходится и . Значит, при интеграл I сходится абсолютно.

б). Пусть . Очевидно, что . Тогда . Рассмотрим интегралы от левой части и от обоих слагаемых:

; ; .

Исследуем на сходимость интеграл , применяя признак Дирихле: и функция монотонног стремится к нулю при . Следовательно, сходится. Но расходится, тогда расходится интеграл (см. свойство 2б). Итак, для интеграл I не сходится абсолютно.

2) Однако при значениях интеграл I сходится – это устанавливается по признаку Дирихле точно так же, как и для интеграла . Значит, интеграл I при сходится абсолютно, а при сходится условно.

^ Другой способ.

Часто удаётся установить сходимость интеграла, используя интегрирование по частям. Применим его к интегралу I (для аналогично). Положим , тогда

.

Интеграл B сходится (и притом абсолютно), так как . Проделанная операция по свойству 4 законна и, следовательно, интеграл I сходится .

22. (интеграл Френеля, применяется в оптике).

Вводя замену , найдём . Согласно примеру 21, в котором надо взять , можно сделать вывод, что интеграл ^ I, а вместе с ним и A,, сходится условно. Впрочем, исследование интеграла I легко «подогнать» под применение признака Дирихле или свойства 4, записав , , .

23..

Кажущийся разрыв подинтегральной функции в точке легко устранить, положив . Однако для исследования сходимости и абсолютной сходимости лучше «оторваться» от точки , записав, например, , где , .

1) Исследуем (и вместе с ним M) на абсолютную сходимость. Так как для будет ,то имеем: , . Тогда интеграл расходится, ибо расходится интеграл (это интеграл в примере 21 при ). Таким образом, интеграл M не является абсолютно сходящимся.

2) Исследуем на сходимость по признаку Абеля: а) сходится ( в примере 21); б) функция монотонна и ограничена: . Итак, интеграл M сходится условно.


§6. Задачи для самостоятельного решения.


Вычислить следующие несобственные интегралы с бесконечными пределами или установить их расходимость, основываясь на определении этих интегралов.

1. ()

2. (расходится).

3. (расходится).

4. ().

5. (расходится).

6. ().

7. Найти V. P. (0).

Исследовать сходимость следующих интегралов:

8. (сходится).


9. (сходится).

10. (расходится).

11. (расходится).

12. (расходится).

13. (сходится).

14. (расходится).

15. (сходится).

16. ( - сходится; - расходится).

17. (сходится).

18. ( - сходится; - расходится).

19. (сходится абсолютно)

20. (сходится условно)

21. , где ( - сходится абсолютно; - сходится условно).

22. (сходится условно)

23. (сходится условно)

24. (сходится условно)

25. (сходится условно)

26. (расходится)


НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА


Светлана Серафимовна Круглова

Михаил Александрович Солдатов

Валентина Тимофеевна Шишина


Учебно-методическая разработка


Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный

университет им. Н.И.Лобачевского»






Скачать 143,29 Kb.
оставить комментарий
Дата02.10.2011
Размер143,29 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх