Неопределенный интеграл Вкурсе дифференциального исчисления рассматривалась операция дифференцирования как операция перехода от функции к функции, где прои
страницы: 1 2
| скачать I. Неопределенный интеграл В курсе дифференциального исчисления рассматривалась операция дифференцирования как операция перехода от функции  к функции  , где  производная. На основании формулы  при этом решается задача нахождения дифференциала функции  . Рассмотрим теперь обратные операции, осуществляющие переход от функции  к функции и от дифференциала  к функции .Определение 1. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке  числовой оси  . Функция , определенная на этом же промежутке, называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции на , если:
2) во всех внутренних точках  промежутка функция  имеет производную  , а дифференциальное выражение служит для дифференциалом, т. е.  .Соотношение  определяет неоднозначно. Так, например, равенство  показывает, что  является первообразной функции  . В то же время справедливо равенство  , из которого следует, что  является первообразной той же самой функции  . При этом первообразные  и  отличаются на постоянную: .Это свойство первообразных можно доказать и в общем случае: Т е о р е м а. Пусть  и  первообразные для  на . Тогда найдется постоянная  , такая, что всюду на этом интервале  .Определение 2. Совокупность всех первообразных функции  , определенных на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом от на этом промежутке и обозначается через  .Символ  называется знаком интеграла, подынтегральной функцией. Интервал обычно является интервалом непрерывности функции и поэтому при записи неопределенного интеграла не указывается. Из приведенной теоремы и определения 2 следует, что функции из совокупности функций отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому, если какая-либо первообразная, то можно записать равенство  , где постоянная пробегает множество действительных чисел. Таким образом, фигурные скобки обозначают совокупность функций. Для краткости записи фигурные скобки опускают и пишут  .Выше мы определили неопределенный интеграл от функции . Теперь определим неопределенный интеграл от дифференциала. Определение 3. Неопределенным интегралом от дифференциала на промежутке называется совокупность всех первообразных для функции на этом промежутке. Он, как и неопределенный интеграл от функции, обозначается символом  .Если  на , то по свойству дифференциала последний под знаком интеграла можно записать в одном из следующих видов:  .Неопределенный интеграл от дифференциала и неопределенный интеграл от функции задают одну и ту же совокупность функций. Поэтому оставим для них общее обозначение . Из контекста будет ясно, о каком из неопределенных интегралов идет речь. Переменная указывает, от какой переменой зависит соответствующая совокупность первообразных, поэтому  .Нахождение первообразной или вычисление неопределенного интеграла в основном состоит в преобразовании подынтегрального выражения таким образом, чтобы получить следующие табличные интегралы:  ;  );  ; ;  ; ;  ; ;  ;  ; ;  ; ;  ; ;   .Эти формулы проверяются непосредственным дифференцированием. Справедливы также следующие правила вычисления неопределенных интегралов:
При вычислении неопределенных интегралов от дифференциалов оказываются полезными следующие равенства:   Для каждой из формул ясно, на каком промежутке она справедлива.Непосредственным вычислением можно проверить, что  . Поэтому для случая интеграла от дифференциала справедливо:3)  . Пример .  .Обозначение  часто опускают, когда ясно, о каком  идет речь. Так, например:  . .При сведении интегралов к табличным иногда используются такие тождества:  ,   ,  .Пример .   .  .Для дифференциала в случае непрерывно дифференцируемых функций и  имеет место равенство  . С помощью этого равенства можно установить важное для непосредственного интегрирования правило интегрирования по частям: или, что все равно,  . При использовании этой формулы приходим к интегралу  который оказывается проще, чем  . Этот метод интегрирования применяется, когда под интегралом стоит произведение разнородных функций, например  и  ,  и  ,  и  ,  и  и т. д.Пример.   .Здесь обозначили  и вычислили  .Формулу интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз, например:   .Второе правило правило замены переменной. Оно задается формулой  , где  дифференцируемая функция от  . Функция  подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный вид для интегрирования. Выбор ее определяется конкретным видом подынтегрального выражения. Пример. Для интегралов вида  , где  рациональная функция своих аргументов, используется замена:   общий знаменатель дробей  .  .При вычислении этого интеграла сделана замена  .Пример Рассмотрим интегралы вида  , где  постоянные, отличные от  , а  рациональные числа. Первообразная для функции  является элементарной функцией в следующих трех случаях:а)  целое. Тогда имеем случай, рассмотренный в примере 4.б)  целое. Тогда делаем замену  , где  знаменатель дроби .в)  целое. Тогда делаем замену  , где знаменатель дроби . , где  .Здесь сделана замена  , поскольку  целое.  .Сделана замена  , поскольку  целое.Пример. Если подынтегральная функция содержит трансцендентную функцию сложного аргумента  , то можно сделать замену  .  .Здесь сделана замена  . Тогда  .Пример. Интегралы вида  , где  рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью подстановки  . При этом имеем   . Рассмотрим интегрирование функций вида  , где  и  многочлены от  . Если степень многочлена больше или равна степени многочлена , то делением на выделяем целую часть многочлен  , т. е.  , где степень многочлена  меньше степени многочлена . Для интегрирования рациональной дроби  , называемой правильной, используется разложение этой дроби на сумму простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения  на множители. Если   , где  действительные корни многочлена , а трехчлены  не имеют действительных корней, то разложение дроби на сумму простейших дробей ищется в виде  ,где неопределенные коэффициенты  находятся следующим образом: правая часть разложения на простейшие дроби приводится к общему знаменателю (им будет многочлен ), и у получившегося в числителе многочлена и у многочлена приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получается система линейных уравнений, из которой находятся неопределенные коэффициенты.Пример. Вычислим  . Разложение дроби на сумму простейших дробей ищем в виде  . Коэффициенты  определяем из равенства .Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , приходим к системе уравнений Следовательно:   .Для упрощения вычисления данных интегралов иногда полезно проводить некоторые преобразования, делать замены переменных. Пример.  .^ Интеграл в смысле Римана. Пусть функция определена на отрезке  . Разобьем отрезок  на части точками  . Положим  , произвольно выбранные точки из  . Определенным интегралом (Римана) функции на называется число  . Функции , для которых предел в правой части равенства существует независимо от выбора точек и разбиения, называются интегрируемыми на , а числа  и  называются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования. В частности, интегрируемы на любом конечном интервале следующие функции: а) непрерывные; б) ограниченные, имеющие конечное число точек разрыва; в) ограниченные монотонные. Ограниченность функции является необходимым условием интегрируемости. Если функция не ограничена на , то она не-интегрируема (но можно рассматривать несобственные интегралы, о которых говорится ниже). Вычисляются определенные интегралы с помощью неопределенных: если имеет первообразную  на то справедлива формула Ньютона-Лейбница:    . Используется также формула интегрирования по частям:   , где , непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , и замена переменной:  при условиях: 1) непрерывна на ; 2) непрерывна вместе со своей производной  на  , где  ,  ; 3) сложная функция  определена и непрерывна на .Вычисление площадей плоских фигур. Определенный интеграл  для непрерывной функции  геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой  , осью  и двумя линиями   . Вычисление площадей фигур, отличных от криволинейных трапеций, также осуществляется с помощью определенных интегралов. Так, например, если заданы две непрерывные кривые  и   и прямые , тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется по формуле  . Если кривая  задается в параметрическом виде уравнениями  ,  , тогда  . Пусть теперь уравнения задают замкнутую кривую  и при изменении параметра  от  до  кривая проходится один раз в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки (при этом обходе кривая ограничивает слева от себя фигуру с площадью  ). Тогда  . Если с возрастанием кривая проходит в отрицательном направлении (по часовой стрелке), то в этих трех формулах знак меняется на противоположный. В полярной системе координат площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой  и двумя полупрямыми  , вычисляется по формуле  .Примеры. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми  и  . Находим точки пересечения кривых:  .Тогда  .2) Вычислить площадь области, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды:  ,  . Чтобы получилась одна арка, должно быть  , при этом меняется от 0 до  . 3) Вычислить площадь эллипса  ,  ,  .Уравнения задают замкнутую кривую, поэтому для вычисления площади используем любую из трех приведенных выше формул, например, последнюю:  .^ Пусть задана гладкая (непрерывно дифференцируемая) кривая  в прямоугольной системе координат. Длина дуги соответствующего отрезка кривой равна  .Если кривая задана параметрически:  , то  .В полярных координатах, если кривая задана уравнением  , то  .Примеры. 1) Найти длину  дуги параболы  . Вычислим  , тогда по первой формуле имеем  . Неопределенный интеграл  (обозначим) проинтегрируем по частям:   . Из этого уравнения относительно  найдем его значение, перенося в левую часть равенства:  и делим на 2. Окончательно имеем  .2) Найти длину четверти астроиды  . Заметив, что  , по второй формуле получим .3) Найти длину дуги логарифмической спирали  от точки  до точки  .Так как  , то  , тогда по третьей формуле имеем   .Вычисление объемов тел вращений. Пусть задана криволинейная трапеция  ,  , где  непрерывная однозначная функция. Пространственная фигура, полученная вращением вокруг оси этой трапеции, называется телом вращения, и ее объем равен  . Если криволинейную трапецию вращать вокруг оси  , то объем вычисляется по формуле  .В более общем случае объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры ,  , где  и  непрерывные неотрицательные функции, равен  . Аналогично при вращении вокруг оси объем равен  . Примеры. Пусть фигура ограничена линиями  . Найдем точки пересечения линий:  . Следовательно, объемы соответствующих тел вращения равны: , .
|
;
.страницы: 1 2
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 