Методические указания и индивидуальные задания к модулю 12 Курск 2001

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Методические указания и индивидуальные задания

УДК 517.1

ББК 22.11

1. 
   Индивидуальные задания ………………………….………….…………….…4
   
   1. 
      Теоретические упражнения . …………………………….…………….. 4
      
   2. 
      Практические задания ……………………………………………….…..6
      
      1. 
         Задание 1 ………………………………………………………………6
         
      2. 
         Задание 2 ……………………………………………..………………..9
         
      3. 
         Задание 3 ……………………………………………………………..13
         
      4. 
         Задание 4 ……………………………………………………………..16
         
      5. 
         Задание 5 . ………………………………………………...………….17
         
      6. 
         Задание 6 . …………………………………………………………....19
         
      7. 
         Задание 7 …………………………………………………...………...22
         
2. 
   Примеры выполнения заданий . ………………………………………….……26
   
   1. 
      Пример 1 ………………………………………...……………………….26
      
   2. 
      Пример 2 . ………………………………………………...……………...28
      
   3. 
      Пример 3 . …………………………………………………………...…...29
      
3. 
   Контрольные вопросы . ………………………………………………..……….30
   

1. 
   выбрать определенный уровень;
   
2. 
   выполнить задания этого уровня.
   

1. 
   Дайте определение функционального ряда. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании функционального ряда.
   
2. 
   Дайте определение функционального ряда. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании функционального ряда.
   
3. 
   Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
   
4. 
   Докажите теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
   
5. 
   Сформулируйте и докажите теорему об интервале сходимости степенного ряда.
   
6. 
   Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда. Укажите способ определения радиуса сходимости. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости с использованием признака Даламбера.
   
7. 
   Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда. Укажите способ определения радиуса сходимости. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости с использованием признака Коши.
   
8. 
   Приведите формулу для ряда Тейлора. Сформулируйте и докажите условие, при котором этот ряд сходится и равен самой функции.
   
9. 
   Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании степенного ряда.
   
10. 
    Вывести формулу разложения в ряд функции y = e^x.
    
11. 
    Вывести формулу разложения в ряд функции y = sin x.
    
12. 
    Вывести формулу разложения в ряд функции y = cos x.
    
13. 
    Вывести формулу разложения в ряд (1 + x)^m.
    
14. 
    Вывести формулу разложения в ряд функции y = ln(1 + x).
    
15. 
    Дайте определение тригонометрического ряда, ряда Фурье для функции f(x) на [-, ], для функции f(x) на .
    
16. 
    Дайте определение тригонометрического ряда. Вывести коэффициенты Фурье для функции f(x) на [-, ].
    
17. 
    Дайте определение тригонометрического ряда. Вывести коэффициенты Фурье для функции f(x) на .
    
18. 
    Дайте определение кусочно монотонной функции. Сформулируйте теорему о разложимости кусочно монотонной функции в ряд Фурье.
    
19. 
    Дайте определение тригонометрического ряда. Приведите коэффициенты Фурье для четной и нечетной функции.
    
20. 
    Сформулируйте и докажите теорему о сходимости ряда Фурье в данной точке.
    
21. 
    Сформулируйте и докажите достаточное условие сходимости ряда Фурье.
    

1. 
   Задание 1
   

n	fn(x)	n	fn(x)
1	2	3	4
1		3
2		4

1	2	3	4
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30
16		31
17		32
18		33
19		34

1	2	3	4
35		50
36		51
37		52
38		53
39		54
40		55
41		56
42		57
43		58
44		59
45		60
46		61
47		62
48		63
49		64

1	2	3	4
65		80
66		81
67		82
68		83
69		84
70		85
71		86
72		87
73		88
74		89
75		90
76		91
77		92
78		93
79		94

1	2	3	4
95		98
96		99
97		100

n	fn(x)	n	fn(x)
1	2	3	4
1		8
2		9
3		10
4		11
5		12
6		13
7		14