Программа для вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»

Оренбург 2010

1. 
   Непрерывность функции одной переменной. Свойства функции, непрерывной на отрезке.
   
2. 
   Дифференцируемость функций одной переменной. Производная и дифференциал. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
   
3. 
   Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
   
4. 
   Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.
   
5. 
   Понятие метрического пространства, полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений.
   
6. 
   Ортогональные системы функций. Ряды Фурье, сходимость рядов Фурье.
   
7. 
   Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
   
8. 
   Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.
   
9. 
   Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
   
10. 
    Элементарные функции комплексного переменного и задаваемые ими конформные отображения. Дробно-линейные преобразования.
    
11. 
    Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение.
    
12. 
    Ряд Лорана. Вычеты и их приложения.
    
13. 
    Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных функций.
    
14. 
    Линейные пространства, их подпространства. Базис и размерность векторного пространства.
    
15. 
    Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
    
16. 
    Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции.
    
17. 
    Линейные отображения и преобразования линейного пространства, их задания матрицами. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные значения, связь последних с характеристическими корнями.
    
18. 
    Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Ортогональные преобразования, приведение квадратичной формы к главным осям ортогональным преобразованием.
    
19. 
    Аффинная и метрическая классификации кривых и поверхностей второго порядка.
    
20. 
    Линии в евклидовом пространстве. Сопровождающий трехгранник кривой.
    
21. 
    Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
    
22. 
    Понятие топологического пространства и топологического многообразия.
    
23. 
    Плоскости в n-мерном аффинном пространстве. Способы задания. Взаимное расположение.
    
24. 
    Формулы логики высказываний. Совершенная конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы.
    
25. 
    Сравнения. Основные свойства. Полная и приведенная система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.
    
26. 
    Алгебраические элементы над полем. Строение простого алгебраического расширения.
    
27. 
    Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
    
28. 
    Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы.
    
29. 
    Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальный делитель, фактор-группа. Теорема о гомоморфизме групп.
    

1. 
   Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1971.
   
2. 
   Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977.
   
3. 
   Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2001.
   
4. 
   Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия Ч. 1 и 2. М., 1986, 1987.
   
5. 
   Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3.
   
6. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., Наука, в 2-х частях.
   
7. 
   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1990.
   
8. 
   Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1976.
   
9. 
   Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М., 2002.
   
10. 
    Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука.
    
11. 
    Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М., 1977.
    

1. 
   Кольца, идеалы и фактор-кольца. Теорема о гомоморфизме колец.
   
2. 
   Делимость в кольцах. Факториальные кольца.
   
3. 
   Кольца частных.
   
4. 
   Модули. Неприводимые (прстые) модули. Лемма Шура.
   
5. 
   Нётеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе.
   
6. 
   Конечные поля. Мультипликативная группа конечного поля — циклическая.
   

1. 
   Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. – М.: Наука, 1990.
   
2. 
   Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.
   
3. 
   Ламбек И. Кольца и модули. – М.: Мир, 1971.
   
4. 
   Херстейн И. Некоммутативные кольца. – М.: Мир, 1972.