Учебная программа по дисциплине геометрия и топология крюковский А. С., Келлин Н. С
| скачать УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ Крюковский А.С., Келлин Н.С. Для очной формы обучения ВСЕГО 68 лекции 18 семинары 16 Всего аудиторных занятий 34 самостоятельная работа 34 Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы: Аналитическая геометрия: метод координат, прямая на плоскости, кривые второго порядка, координаты и векторы в пространстве, плоскость, прямая в пространстве, поверхности второго порядка, движения и афинные преобразования, вектор-функции одной и двух переменных, многомерная евклидова геометрия; дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, элементы топологии и римановой геометрии. ^ изучения дисциплины является знакомство с основными понятиями, положениями и методами комбинаторной (алгебраической) топологии, получение навыков построения математических доказательств путем логически непротиворечивых рассуждений, с широким использованием идеи непрерывности, уже введенной в рамках курса математического, анализа за первый семестр, навыков решения прикладных задач. ^ в объёме программы «Математика» за первый-второй семестры В результате изучения дисциплины каждый студент должен:
Основные виды занятий: лекции и практические занятия. Основные виды текущего контроля занятий: коллоквиумы. Основной вид рубежного контроля знаний: контрольная работа, зачет. ^ Введение Тема 1. Топология – одна из основных частей современной математики Топология как часть математического анализа и одновременно всей общечеловеческой культуры. Современный топологический язык. Взгляды на топологию выдающихся деятелей прошлого и настоящего, их оценка ее роли и места внутри самой математики и в решении интеллектуальных задач из различных сфер человеческой деятельности. Роль топологии в гуманитарных науках. Основные этапы становления современной топологии (различия между общей и комбинаторной топологией). Структура современной топологии (с освещением ее компьютерного аспекта). Раздел 1. Множества и пространства, непрерывные отображения и неподвижные точки, гомеоморфизмы и диффеоморфизмы ^ Основные черты топологического мышления, аксиоматический подход, различные системы аксиом топологического пространства. Идея непрерывного отображения и неподвижных точек. Элементы множеств и пространств; конечно- и бесконечномерные пространства; непрерывные отношения и отображения – гомеоморфизмы. Понятие размерности, фракталы – множества дробной размерности. ^ Задачи, приводящие к исследованию общих непрерывных отображений (разрезание многослойного бутерброда, «ежа нельзя причесать», равновесие шарнира в поезде). Открытые и замкнутые множества; аксиоматика топологических пространств. Различные типы топологических пространств (компактные; хаусдорфовы, регулярные, нормальные; метрические, нормированные; банаховы). Гомеоморфизмы и диффеоморфизмы и свойства, ими сохраняемые. Интервал, отрезок, окрестность точки, многомерные евклидовы пространства. ^ Аксиомы функции расстояния, различные метрики одного и того же пространства. Обобщение классических теорем анализа (теоремы Коши, Вейерштрасса, лемма Бореля) с применением понятия компактности. Полные пространства. Предельные точки и точки накопления. Индуктивные и проективные пределы. ^ Векторные поля на плоскости и сфере; их особые точки. Эквивалентность векторных поле и отображений. Индекс векторного поля относительно замкнутой кривой. Отображения сферы в плоскость. Векторные поля, касательные к сфере. Неподвижные точки при отображении отрезка и круга на себя. Принцип сжатых отображений. Раздел 2. Приложение топологических Методов доказательства к другим Частям изучаемого курса математики ^ Понятие гомотопической эквивалентности. Постоянство порядка кривой относительно точки. Доказательство основной теоремы алгебры. ^ Различные способы задания нормы матрицы. Евклидово пространство матриц. Матрицы с нормой, меньшей 1; их обратимость. Итерационный способ решения систем линейных уравнений с подобными матрицами. Решение уравнения Вольтерра II рода с помощью резольвент. Резольвенты некоторых интегральных уравнений Вольтерра. ^ Криволинейные интегралы первого рода; длина дуги пространственной кривой. Криволинейные интегралы второго рода, случай полного дифференциала, формула Грина. Поверхностные интегралы первого и второго рода, различие в связности для формул Стокса, и Гаусса-Остроградского. Понятие ориентируемого и неориентируемого многообразия. Классификация двумерных многообразий (гладких, замкнутых). ^ Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Доказательство с применением теорем о неподвижной точке. Автономные системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая. Классификация типов положений равновесия автономных систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Раздел 3. Основы дискретной и комбинаторной геометрии; теория выпуклости ^ Представление о многообразии комбинаторных проблем геометрии. Примеры теорем (Рамсея, Кёнига Дилуорса и др.) Постановка обобщенной проблемы Эрдёша (для случаев n>6 и n < 4) и ее решение для первого нетривиального случая (n = 4). ^ Основные понятия дискретной геометрии. История (проблема Ньютона – Грегори). Основные проблемы, связанные с укладками и покрытиями. Матричные и числовые методы их формализации и приближенного решения. Прикладные задачи о паркетах и рациональном раскрое (результаты Л.В.Канторовича). ^ Общее определение выпуклости в линейных пространствах. Выпуклые оболочки и надграфики. Выпуклые функции и выпуклые множества. Элементы теории мер Минковского: средняя ширина и др. средние. Экстремальные задачи на классах выпуклых фигур; изопериметрическая задача. Выпуклые конусы в банаховых пространствах. Результаты Красносельского о решении операторных уравнений. ЛИТЕРАТУРА Основная:
Дополнительная:
|
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 