Методика частотного анализа многосекционных приводов цикловых машин… удк 621. 01: 534. 1 icon

Методика частотного анализа многосекционных приводов цикловых машин… удк 621. 01: 534. 1



Смотрите также:
Аналитическое исследование вынужденных крутильных колебаний…...
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальной дисциплине 05. 02...
Программа дисциплины по кафедре Детали машин детали машин и механизмов...
Удк 621. 398: 621. 317: 519...
К частотному словарю русского языка под редакцией Л. Н...
План общая характеристика удк: причины появления, назначение и область распространения...
Методика анализа ассортимента и структуры продукции 7 > 4 Методика анализа качества...
Изоляция и перенапряжения краткий курс лекций Ч...
Управление техническими системами...
Методические указания Ярославль 2006 удк 621. 757...
Аннотация
Методические указания Волгоград 2010 удк 621. 91 Рецензент...



скачать

Методика частотного анализа многосекционных приводов цикловых машин…

УДК 621.01:534.1

И.И. ВУЛЬФСОН

МЕТОДИКА ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗА МНОГОСЕКЦИОННЫХ ПРИВОДОВ ЦИКЛОВЫХ МАШИН, ОБРАЗУЮЩИХ КРУТИЛЬНО-ИЗГИБНЫЕ СИСТЕМЫ РАЗВЕТВЛЁННО-КОЛЬЦЕВОЙ СТРУКТУРЫ

1. Введение

В работах [1–4] поставлен и решён ряд задач, возникающих при исследовании колебаний в приводах длинных исполнительных органов машин, у которых периодическое программное движение осуществляется многократно дублированными цикловыми механизмами. Необходимость подобного конструктивного решения связана с получением требуемой жёсткости рабочего органа и формированием спектра собственных частот, обеспечивающего приемлемую виброактивность системы. Рассматриваемый класс динамических задач свойственен машинам-автоматам текстильной, лёгкой, полиграфической и ряда других отраслей промышленности при большой протяжённости зоны технологического процесса.

Структурная и динамическая идентичность повторяющихся блоков позволяет воспользоваться теорией регулярных систем. Первые результаты в этом направлении были получены ещё Ньютоном при решении задачи о распространении звука в воздухе. Дальнейшее развитие этой теории связано с исследованиями, проведёнными Дебаем, Борном и Карманом в начале ХХ века применительно к проблеме теплоёмкости кристаллов. Эти исследования, отнесённые к так называемой теории цепочек, применительно к задачам математической физики и теории механических колебаний нашли отражение в работах ряда учёных (подробнее см. [5, 6, 7]).

В работах [1–4, 8] были учтены специфические особенности регулярных систем, связанные с переменностью параметров и нелинейными факторами, свойственными цикловым машинам. В частности, было показано, что при наличии зазоров в целях снижения виброактивности многократно замкнутую систему, образованную главным валом и исполнительным органом, целесообразно разделить на отдельные модули, каждый из которых может быть представлен в виде крутильной, изгибной или крутильно-изгибной системы. При этом динамическая модель приобретает разветвлённо-кольцевую структуру. Случай, когда входное и выходное звенья отображены в виде крутильных подсистем, исследован в работах [9, 10].

^ 2. Динамическая модель

На рис. 1 приведена динамическая модель разветвлённо-кольцевой структуры, в которой входное звено (главный вал) представлено в виде крутильной подсистемы, а выходное звено (исполнительный орган) как изгибная подсистема. Целесообразность такой схематизации привода связана с тем, что обычно изгибные колебания главного вала удаётся исследовать обособленно. Приемлемые характеристики изгибной подсистемы главного вала и их слабая зависимость от крутильной подсистемы в данном случае достигается за счёт рационального выбора числа подшипниковых опор и места их установки по длине вала [1]. Подобная декомпозиция для подсистем исполнительного органа нередко затруднительна, поскольку его опорами служат выходные звенья цикловых механизмов, каждый из которых одновременно служит источником дополнительных возмущений.

В динамической модели приняты следующие условные обозначения: – моменты инерции; – массы; – коэффициенты крутильной и продольной жёсткости; – приведённые к соответствующим элементам коэффициенты рассеяния; – аналог механизма, соответствующий трансформации угловой координаты на входном звене механизма в линейную координату на выходном звене согласно функции положения . Не сужая общности в постановке задачи, примем .



Рис. 1. Динамическая модель

Приведённая динамическая модель состоит из трёх укрупнённых подсистем, соответствующих главному валу, цикловым механизмам и исполнительному органу. На главном валу можно выделить передаточный механизм, который на данной схеме представлен в виде соединения , однако в общем случае он может быть отображён соответствующей динамической жёсткостью . Остальная часть модели представляет собой совокупность повторяющихся модулей, отвечающих секциям привода. Произвольный модуль , выделенный штрихпунктирной линией, состоит из блока кольцевой структуры и соединительного упругого элемента, соответствующего жёсткости участка главного вала, либо соединительной муфты (для учёта инерционных свойств этого элемента можно воспользоваться его динамической жёсткостью). Блок кольцевой структуры образован участком главного вала , исполнительным органом, представленным в виде упругой балки с массами и двух цикловых механизмов .

Упругие характеристики балки зависят помимо прочих факторов от конструктивного решения опор в местах присоединения к выходным звеньям цикловых механизмов. При схематизации опоры возможны два предельных случая: заделка (случай 1) и шарнирное соединение (случай 2). Если принять постоянными осевой момент инерции поперечного сечения балки и погонную массу , то в первом случае можно принять , , , а во втором – , , , где – длина балки, – модуль упругости, – коэффициенты влияния. Отметим, что при абсолютно жёстком исполнительном органе динамические ошибки в первом случае для всех масс были одинаковы, а во втором случае они линейно изменяются по длине балки. В частности, динамическая ошибка для массы при этом равна полусумме значений, определённых в сечениях опор.

^ 3. Математическая модель выделенного модуля

Для частотного и модального анализа воспользуемся методикой исследования регулярных систем. Примем в качестве «безразмерного времени» , где – идеальная угловая скорость главного вала. Пусть – координаты абсолютных угловых перемещений главного вала и линейных перемещений исполнительного органа. Тогда , , где , – динамические ошибки; – функция положения, описывающая перемещение рабочего органа в программном движении. При беззазорном движении и малых динамических ошибках имеем , где . При определении частотных и модальных характеристик можно пренебречь слабым влиянием диссипативных сил.

Повторяющийся модуль (см. рис. 1) имеет пять степеней свободы и описывается следующей системой дифференциальных уравнений (повторяющийся индекс всюду опущен):



(1)

Здесь в дополнение к ранее введённым обозначениям принято – коэффициент влияния, отличный от нуля при защемлении концов балки (см. выше); где – сила технологического сопротивления . Принятая индексация координат соответствует следующей зависимости, связывающей номер координаты в данном блоке , номер повторяющегося модуля и номер сечения, отсчитываемого от начала регулярной части системы . Общее число степеней свободы равно , где – отвечает передаточному механизму привода (в модели на рис. 1 ), – регулярной системе , где – число секций). Принимая во внимание медленное изменение «собственных» частот , согласно методу условного осциллятора свободные колебания ищем в форме [1,2]



(2)

После подстановки (2) в однородную систему дифференциальных уравнений, соответствующую системе (1), получаем



(3)

где (при шарнирных опорах следует принять ); ; . – реактивные моменты.

Принимая в (3) и обращая детерминант системы в нуль, получаем уравнение, определяющее медленно меняющиеся «парциальные» частоты. Переменность амплитудных функций связана с медленным изменением геометрической передаточной функции цикловых механизмов [1].

^ 4. Использование теории регулярных систем

для построения математической модели мультимодульной структуры

В систему уравнений (3) входят две амплитудные функции, соответствующие границам выделенного модуля , а именно, (сечение на входе ) и (сечение на «выходе» ). Используя методику, изложенную в работах [9, 10] для крутильных разветвлённо-кольцевых регулярных систем, запишем матрицу перехода, связывающую амплитудные функции в сечениях и :

,

(4)

где; – амплитудное значение момента в сечении . Напомним, что в уравнениях (1), (3) в целях упрощения записи индекс был опущен . При этом для данного модуля имеем , , , .

Далее остановимся на методике определения функций , являющимися элементами матрицы перехода в рекуррентных зависимостях (4). На основании четвёртого уравнения системы (3) имеем

.

(5)

После подстановки (5) в третье и пятое уравнение этой системы запишем



(6)

где






Отсюда

, ,

(7)

где , .

После подстановки (7) в первые два уравнения системы (3) получаем

, .

(8)

Здесь .

Из (1) и (8) следует



(9)

Итак, При этом на основании (8) и (9) получим



(10)

Элементы матрицы перехода подчинены известной функциональной связи .

^ 5. Составление частотного уравнения на базе теории регулярных систем

Зависимость (4) в матричной форме отвечает следующей однородной системе линейных разностных уравнений






решение которой ищем в виде .

Тогда






Исключая тривиальное нулевое решение, обратим детерминант системы в нуль. Корни полученного таким образом характеристического уравнения равны где ; . (Здесь – след матрицы перехода ). При принимая , имеем

.

(11)

Рассматриваемой модели соответствуют следующие граничные условия: , , где – динамическая жёсткость приводного механизма. Для модели, показанной на рис. 1, . В частном случае при при Тогда «динамическая» жёсткость не зависит от частоты р; при этом , где – приведённый коэффициент жёсткости приводного передаточного механизма на «входе».

На основании (11) при учёте граничных условий получаем следующее трансцендентное уравнение, определяющее функцию :



(12)

В случае, когда граничные условия не зависят от частоты , имеем (см. выше), а, следовательно, решение уравнения (12) может быть получено не зависимо от динамических характеристик модуля. В частности, при , где – номер формы колебаний главного вала, а в другом предельном случае, когда , имеем Заметим, что именно с рассмотрения подобных случаев целесообразно начинать исследование частотных характеристик систем, поскольку при «длинных» цепочках нередко выявляется краевой эффект, состоящий в пренебрежимо слабом влиянии граничных условий главного вала на исследуемую частоту.

Формальное частотное уравнение на основании выше изложенного имеет вид [1]:



(13)

Приведённый подход ещё раз подтверждает «могущество» аппарата исследования регулярных систем. Действительно, для исходной системы с – степенями свободы в лаконичной форме получено частотное уравнение (13), решение которого при современных вычислительных средствах не представляет трудностей. Особый интерес при использовании данного подхода представляют возможности прогнозирования на стадии динамического синтеза.

^ 6. Параметрическое исследование спектра «собственных» частот

Сначала рассмотрим несколько предельных частных случаев, представляющих интерес не только с целью упрощения расчётов, но и выявления возможностей декомпозиции системы. Дело в том, что в окрестности предельных случаев нередко имеет место потеря корней уравнений и другие расчётные трудности. Это, как правило, вызвано физическими предпосылками, проявляющимися в слабой динамической связанности между отдельными подсистемами.





а

б





в

г

Рис. 2. Частотные характеристики

Пусть, например, парциальные частоты изгибной подсистемы практически определяются приведёнными коэффициентами жёсткости цикловых механизмов. При этом , . Тогда в зависимостях (5) – (10) следует принять , . Для этого случая на рис. 2, а приведены графики медленно меняющихся «собственных» частот при четырёх секциях привода и достаточно плотном распределении безразмерных частотных параметров ( нумерация кривых соответствует номеру формы колебаний на главном валу). Как следует из графиков, наблюдается существенная переменность частотных характеристик в пределах кинематического цикла, что может привести к локальной потере динамической устойчивости (см. ниже). Представляет интерес то, что низшая частота системы отвечает третьей (двухузловой) форме главного вала, что связано со специфическим взаимодействием с изгибной подсистемой.

В качестве другого предельного случая рассмотрим ситуацию, когда исполнительный орган может быть схематизирован в виде твёрдого тела, масса которого равна , а момент инерции относительно центра масс равен . В нашем случае , , где – длина модуля исполнительного органа. При этом безразмерная парциальная частота поворотных колебаний равна .

После несложных выкладок получаем, что функции и , входящие в зависимости (7), теперь определяются как






На рис. 2, б приведены графики при тех же исходных данных, но с учётом особенностей рассматриваемого случая. На графике показаны наиболее существенные – «сильные» частоты. Принятая индексация частот, как и выше, отвечает первым трём формам колебаний главного вала. Кроме того, для сравнения приведены кривые для и . В качественном плане в сравнении с предыдущим частным случаем проявляется влияние низкочастотных поворотных колебаний исполнительного органа в формировании «сильных» низших частот главного вала. При наблюдается эффект вырождения некоторых форм колебаний, сопровождающийся «перескоками» с одной кривой на другую. Как и в предыдущем случае, регулярность системы приводит к появлению частотных диапазонов с повышенной плотностью частот.

Случай, когда абсолютно жёсткий исполнительный орган перемещается в направляющих, исключающих возможность поворотных колебаний, рассмотрен в работе [11]. В этом случае проявляется ужесточающая роль исполнительного органа в формировании частотного спектра. По результатам частотного анализа к этому случаю примыкает конструктивное решение, реализующее заделку в опорах исполнительного органа.

Помимо рассмотренных выше частных случаев на рис. 2, в, г приведены графики для больших и существенно отличающихся значений . В первом случае . Здесь снова наблюдается эффект сгущения частотного спектра и перескоки при вырождении некоторых форм колебаний. (Нумерацию кривых на рис. 2, в, г см. пояснения к рис. 2, а). При относительно жёстком главном вале ( ) частотный спектр имеет традиционный вид (рис. 2, г), когда низшим частотам на главном валу соответствуют низшие формы колебаний, а также практически отсутствуют зоны сгущения и вырождения форм колебаний.

На рис. 3 приведены типовые графики форм колебаний для сечений главного вала (рис. 3, а) и , соответствующих модулю на исполнительном органе . При этом выявлены случаи синфазного (см. рис. 2, б) и противофазного (см. рис 2, в) колебаний концов главного вала.



Рис. 3. Типовые графики коэффициентов формы

^ 7. Динамическая устойчивость на конечном интервале времени

Динамический эффект, связанный с нарушением условий динамической устойчивости при медленном изменении параметров, был впервые описан в монографии [12] и в дальнейшем был подробно исследован в ряде последующих работ автора [1-3]. Данный эффект

проявляется в возможности возникновения интервалов времени, на которых вместо традиционного затухания свободных сопровождающих колебаний имеет место нарастание амплитуд. Поскольку при определённой интенсивности этого нарастания резко возрастает виброактивность системы, при динамическом синтезе должны быть установлены условия, исключающие это явление. По существу, способ подавления данного эффекта состоит в том, что отводимая за счёт диссипации энергия за период колебаний должна превышать подводимую энергию, связанную со специфическим проявлением нестационарных связей.

Применительно к рассматриваемой модели достаточное условие динамической устойчивости на произвольном временном отрезке имеет вид






Рис. 4. Графики критических значений логарифмического декремента




,




где – приведённый к форме логарифмический декремент и его критическое значение; – коэффициент, принимающий значение соответственно 1, 2, 3 – для колебаний, виброскоростей и виброускорений.

На рис. 4 приведены графики критических значений (по ускорениям) для двух случаев, соответствующих частотным характеристикам, приведённым на рис. 2, а и 2, в. При этом, как и выше, кривые, отображённые сплошными линиями, отвечают первой форме колебаний главного вала, штрихпунктирными линиями – второй форме, пунктирными – третьей форме. Нумерация соответствует первой, второй и третьей частоте (в порядке возрастания) для каждой из форм. Анализ графиков свидетельствует о возможных нарушениях условий динамической устойчивости при реальном уровне диссипации системы.

^ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    8.

    9.

    10.

    11.

    12.



Вульфсон И.И. Колебания машин с механизмами циклового действия. – Л.: Машиностроение, 1990. – 306 с.

Vulfson I. Vibroactivity of branched and ring structured mechanical drives. Hemisphere Publ. Corpor.: New York, Washington, London, 1989. – 99 p.

^ Вульфсон И.И. Динамическое исследование многосекционных технологических машин, образующих колебательные системы квазирегулярной структуры. // Сб. докладов Международного симпозиума «Образование через науку». – М.: МГТУ им. Н.Е. Баумана, 2006. – С. 172– 179.

^ Вульфсон И.И., Преображенская М.В. Исследование колебательных режимов, возбуждаемых при перекладке в зазорах цикловых механизмов, соединенных с общим исполнительным органом. // Проблемы машиностроения и надежности машин. №1, 2008. С.33–39.

Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. – М.: Наука, 1972. – 470 с.

Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. – М.: Наука, 1997. – 496 с.

Маневич Л.И., Михлин Ю.В., Пилипчук. Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем.– М.: Наука, 1989. – 216 с.

Vulfson I.I. Some nonlinear effects of machine dynamics. Journal of Vibroengineering. Vol.10. № 4. 2008. Pp. 442–450.

Вульфсон И.И. Регулярные крутильные колебательные системы с сосредоточенными параметрами приводов цикловых машин разветвлённо-кольцевой структуры // Теория механизмов и машин.Т.6. №1(11). 2008. С.48–54.

Вульфсон И.И. Аналитическое исследование вынужденных крутильных колебаний приводов цикловых машин разветвленно-кольцевой структуры // Теория механизмов и машин. Т.6. №2(12). 2008. С.82–90.

Vulfson I.I., Dyatlova P.A. Analyses of vibrations of multimodule structured drives with cyclic mechanisms // Proceedings of IX International Conference on the theory of machines and mechanisms. Liberec, 2004. Pp. 823–828.

Вульфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамика машин. – Л.: Машиностроение, 1968. – 284 с.


Поступила в редакцию 06.02.2009

После доработки 24.02.2009



Теория Механизмов и Машин. 2009. №1. Том 7.




Скачать 138,34 Kb.
оставить комментарий
Дата30.09.2011
Размер138,34 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх