Программа дисциплины по кафедре Высшая математика Математика
| скачать ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет
Программа дисциплины по кафедре Высшая математика Математика Утверждена научно-методическим советом университета для направлений подготовки в области геологии, разведки и разра-ботки полезных ископаемых и в области энергетики, энергетиче-ского машиностроения и электротехники. Специальности: 130403.65 «Открытые горные работы» 140501.65 «Двигатели внутреннего сгорания» Хабаровск 2006 г. Программа разработана в соответствии с требованиями госу-дарственного образовательного стандарта, предъявляемыми к ми-нимуму содержания дисциплины и в соответствии с примерной программой дисциплины, утвержденной департаментом образова- тельных программ и стандартов профессионального образования с учетом особенностей региона и условий организации учебного процесса Тихоокеанского государственного университета. Программу составил
^ Курс высшей математики является фундаментом математического образования специалистов, обучающихся по направлениям 130000 «Геология, разведка и разработка полезных ископаемых» (специаль-ность 130403.65 «Открытые горные работы») и 140000 «Энергетика, энергетическое машиностроение и электротехника» (специальность 140501.65 «Двигатели внутреннего сгорания»). Целью преподавания высшей математики для студентов указанных специальностей является развитие их интеллекта, способности к логиче-скому и алгоритмическому мышлению; обучение основным математиче-ским методам, необходимым для анализа и моделирования процессов и явлений, при поиске оптимальных решений задач, возникающих в про-цессе профессиональной деятельности. Задачи преподавания высшей математики состоят в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать дей-ствие законов диалектики; научить студентов приемам исследования и решения математически формализованных задач от этапа постановки до анализа полученных результатов; привить навыки самостоятельной ра-боты с литературой по математике и ее приложениям. ^ Инженер в области математики должен: иметь представление: - о математике как особом способе познания мира, общности ее поня- тий и представлений; - о математическом моделировании. Знать и уметь использовать: - основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики; - математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике; - вероятностные модели для конкретных процессов и проводить необходи-мые расчеты в рамках построенной модели. Иметь опыт: - употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов; - применения основных методов обработки экспериментальных данных; - аналитического решения алгебраических уравнений; - аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений. ^
Примечание. В разделе (С2) разбиение часов на разделы: подготовка к практическим занятиям и выполнение РГР условно, так как эти разделы взаимосвязаны. ^ I. Элементы теории множеств Основные понятия теории множеств. Операции над множествами и их свойства. ^ Векторы. Определение. Линейные операции над векторами.Понятие базиса в  . Разложение вектора по базису. Понятие прямоугольной системы координат. Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Координаты век-тора. Длина и направляющие косинусы вектора. Линейные операции в ко-ординатной форме. Скалярное, векторное и смешанное произведения. Гео-метрический и механический смысл. Основные свойства. Угол между век-торами. Ортогональность, коллинеарность и компланарность векторов, их условия в координатной форме. ^ Прямая на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве. Угол между прямыми (плоскостями). Угол между прямой и плоскостью. Рассто-яние от точки до прямой (плоскости). Уравнение линии на плоскости. Урав-нение поверхности в пространстве. Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилин-дрические координаты в пространстве. ^ Понятие векторного пространства. Понятие линейного преобразования. Матрица линейного преобразования. Операции над линейными преобразова-ниями и их матрицами. Обратное преобразование и его матрица. Собствен-ные числа и собственные векторы линейного преобразования. Определители. Свойства. Вычисление. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Системы однородных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. Матричный метод. ^ Понятие поля. Поле комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометриче-ская и показательная формы представления комплексных чисел, их геометри-ческая интерпретация. Операции над комплексными числами. Понятие коль-ца. Кольцо многочленов. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Раз-ложение многочлена на линейные и квадратные множители. Рациональные дроби. Элементарные рациональные дроби. Представление рациональной дроби в виде суммы элементарных дробей. ^ Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теорема. Символы математической логики. VII. Введение в анализ Множество действительных чисел, его подмножества. Понятие окрестности точки. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества. Поня-тие связного множества. Отображение. Функция. Область определения. Спо-собы задания. Элементарные функции. Графики.Элементарные преобразова-ния графиков. Числовые последовательности. Предел числовой последова-тельности. Понятие компактного множества. Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Предел функции в точ-ке. Предел функции в бесконечности. Арифметические свойства пределов. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Приращение функции. Точки разрыва, их классификация. Асимптоты графика функции. Арифметические свойства непрерывных в точ-ке функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций. Понятие равномерной непрерывности. Понятие непрерывного отображения. Теорема о неподвижной точке. ^ Производная функции, ее геометрический и физический смысл.Понятие диф-ференцируемоcти функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность, cвязь между ними. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Ин-вариантность первого дифференциала. Арифметические свойства производ-ной и дифференциала функции. Таблицы производных, дифференциалов Производные сложной и обратной функций. Понятие о приближенных вы-числениях с помощью дифференциала. Производные и дифференциалы выс-ших порядков. Бином Ньютона. Формула Лейбница. Дифференцирование па-раметрически заданных функций. Основные теоремы дифференциального ис-числения, их геометрический смысл. Правило Лопиталя-Бернулли. Формула Тейлора. Формула Маклорена. Разложение элементарных функций. Понятие о применении формулы Тейлора в приближенных вычислениях. Исследова-ние поведения функций с помощью первой и второй производных. Общая схема исследования функции с помощью пределов и производных. Постро-ение графиков функций. ^ Векторные функции скалярного аргумента. Определение. Производная век-торной функции. Правила дифференцирования. Кривизна кривой. Эволюта и эвольвента. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. ^ Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные свойства ин-тегралов. Связь между ними. Основные методы интегрирования. Интегриро-вание дробно-рациональных функций. Определенный интеграл. Определе-ние. Свойства. Геометрический смысл.Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Вычисле-ние определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения). Механиче-ские приложения определенного интеграла (вычисление работы, статические моменты поской дуги и плоской фигуры, координаты центра тяжести плос-кой дуги и плоской фигуры, моменты инерции плоской дуги и плоской фигу-ры) Несобственные интегралы с бесконечным пределом и от неограничен-ных функций. Их свойства. ^ Область определения. Линии и поверхности уровня. Понятие предела функ-ции двух переменных. Непрерывность. Частные производные. Определение. Геометрическая интерпретация и приложение к задачам геометрии. Полное приращение и полный дифференциал. Понятие о его применении в прибли-женных вычислениях. Производная по направлению. Градиент. Производная сложной функции. Производная неявно заданной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух пе-ременных. Экстремум функции двух переменных. Понятие условного экстре-мума. Понятие о методе наименьших квадратов. ^ Понятие оператора. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Задача Коши. Методы решений уравнений первого по-рядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных, в полных дифференциалах). Приложения дифференциальных уравнений первого по-рядка в задачах геометриии, физики, экономики. Дифференциальные урав-нения высших порядков. Основные понятия. Задача Коши. Понятие о крае-вых задачах. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные урав-нения высших порядков. Основные понятия. Метод вариации постоянных. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Системы линейных дифференциальных уравне-ний первого порядка. ^ Двойной интеграл. Определение. Геометрический смысл. Свойства. Вычи-сление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Прило-жения двойных интегралов в задачах геометрии и физики. Тройной интеграл. Определение. Механический смысл. Свойства. Вычисление тройного инте-грала. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройных инте-гралов. ^ . Криволинейные интегралы первого рода. Определение. Свойства. Вычисле-ние криволинейных интегралов первого рода. Механический смысл. Свой-ства. Криволинейные интегралы второго рода. Определение. Свойства. Вы-числение криволинейных интегралов второго рода. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирова-ния. Понятие о поверхностных о поверхностных интегралах. Теоремы Остро-градского-Гаусса, Стокса. Понятие поля. Векторное и скалярное поля. Потен-циальное и соленоидальное поля. Поток поля. Ротор. Дивергенция. Оператор Гамильтона. ^ Числовые ряды. Основные понятия. Знакоположительные ряды. Знакопере-менные ряды. Свойства. Признаки сходимости. Степенные ряды. Основные понятия. Исследование сходимости степенных рядов. Ряд Тейлора. Ряд Мак-лорена. Разложение элементарных функций в степенной ряд. Приложения степенных рядов. Тригонометрические ряды. Понятие ортогональной систе-мы функций. Основные понятия. Разложение функций в ряд на интервалах  и  . Разложение четных и нечетных функций. Понятие интеграла Фурье. ^ Элементарные функции комплексной переменной. Производная функции комплексной переменной. Понятие о конформном отображении. Условия Коши-Римана. Интеграл функции комплексной переменной. Понятие о ряде Лорана. Вычеты. ^ Понятие функционала и его вариации. Понятие экстремума функционала. Уравнение Эйлера. Виды функционалов. Понятие о параметрической форме вариационных задач. ^ Дифференциальные уравнения с частными производными. Основные понятия. Классификация уравнений. XIX. Элементы теории вероятностей Элементы комбинаторики. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Определения вероятности. Алгебра вероятностей. Схема независи-мых испытаний. Дискретные случайные величины. Определение. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Распределения дискретных случайных величин. Простейший поток событий. Понятие о теории массово-го обслуживания. Непрерывные случайные величины. Определение. Число-вые характеристики непрерывных случайных величин. Распределения не-прерывных случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей. ^ Элементы математической статистики. Основные понятия. Точечные и ин-тервальные оценки параметров распределения. Элементы корреляционного анализа. Связь величин, ее виды. Понятие регрессии. Линейная и нелинейная регрессии. Теснота связи. Корреляционное отношение. Коэффициент кор-реляции. Проверка статистических гипотез. Критерии согласия. XXI. Случайные процессы Цепи Маркова. Основные понятия. ^
^ лекционного курса
Примечание 1. Методический материал для проведения вышеуказанных за- нятий находится в электронном виде на кафедре высшей математики. Примечание 2. Варианты расчетно-графических работ для каждого семест-ра находятся в электронном виде на кафедре высшей математики. Примечание 3. Варианты входного контроля для первого семестра находят-ся в электронном виде на кафедре высшей математики. Примечание 4. Примерные варианты контрольных работ каждого семестра находятся в электронном виде на кафедре высшей математики. Примечание 5. Материал для выходного контроля каждого семестра в виде экзаменационных вопросов находится в электронном виде на кафедре выс-шей математики. ^ 7.1 Цель и задачи РГР «Первый семестр» Целью проведения расчетно-графической работы является воспитание у студента навыков самостоятельной работы, связанной с возможностью по-иска информации не только стандартным образом с помощью лекций и пра-ктических занятий, но и чтения учебной и научной литературы. К задачам РГР относятся: 1. Решение задач аналитической геометрии и высшей алгебры и их прило- жение к задачам геометрии и механики. 2. Создание простейших математических моделей в виде уравнений и сис- тем уравнений на материале задач геометрии и статики. 3. Решение задач по теме «Введение в анализ» и их приложение к исследо- ванию функций. 4. Решение задач по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и их приложение к задачам исследования функций и постро- ения их графиков, а также задач геометрии, физики, экономики. Объем расчетно-графической работы «Первый семестр» составляет ориентировочно 30-40 листов. На выполнение работы в курсе самостоятель-ной работы отводится 51 час. Примечание. Варианты расчетно-графической работы «Первый семестр» находятся в электронном виде на кафедре высшей математики. ^ Целью проведения расчетно-графической работы является воспитание у студента навыков самостоятельной работы, связанной с возможностью по-иска информации не только стандартным образом с помощью лекций и прак-тических занятий, но и чтения учебной и научной литературы. К задачам РГР относятся: 1. Решение задач по теме «Интегральное исчисление функции одной пере- менной» и их приложение к задачам геометрии и физики, 2. Решение задач по теме «Дифференциальные уравнения, решаемые в квад- ратурах». 3. Создание простейших математических моделей в виде дифференциальных уравнений на материале задач геометрии, физики, экономики. 4. Решение задач по теме «Дифференциальное исчисление функции двух пе- ременных» и их приложение к задачам исследования функций. Объем расчетно-графической работы «Второй семестр» составляет ориентировочно 20-30 листов. На выполнение работы в курсе самостоятель-ной работы отводится 34 часа. Примечание. Варианты расчетно-графической работы «Второй семестр» находятся в электронном виде на кафедре высшей математики. ^ Целью проведения расчетно-графической работы является воспитание у студента навыков самостоятельной работы, связанной с возможностью по-иска информации не только стандартным образом с помощью лекций и прак-тических занятий, но и чтения учебной и научной литературы. К задачам РГР относятся: 1. Решение задач по теме «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами». 2. Формирование представлений о приложении линейных дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэффициентами в периодических процес- сах. 3. Решение задач по теме «Интегральное исчисление функции двух перемен- ных» и их приложение к задачам геометрии и механики. 4. Решение задач по теме «Ряды» и их приложение к задачам исследования функций. Объем расчетно-графической работы «Третий семестр» составляет ориентировочно 20 - 30 листов. На выполнение работы в курсе самостоятель-ной работы отводится 34 часа. Примечание. Варианты расчетно-графической работы «Третий семестр» находятся в электронном виде на кафедре высшей математики. ^ Целью проведения расчетно-графической работы является воспитание у студента навыков самостоятельной работы, связанной с возможностью по- иска информации не только стандартным образом с помощью лекций и прак-тических занятий, но и чтения учебной и научной литературы. К задачам РГР относятся: 1. Решение задач по теме «Алгебра вероятностей». 2. Решение задач по теме «Случайные величины». 3. Формирование представлений о приложении теории вероятности при изу- чении математической статистики. Объем расчетно-графической работы «Четвертый семестр» составляет ориентировочно 10 - 15 листов. На выполнение работы в курсе самостоятель-ной работы отводится 17 часов. Примечание. Варианты расчетно-графической работы «Четвертый семестр» находятся в электронном виде на кафедре высшей математики. ^ 8.1 Основная литература
^
^
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отлично
1 