Конспект лекций по курсу Основы численных методов расчета конструкций
1 чел. помогло. скачатьВ.Н. ИвановКонспект лекцийпо курсу Основы численных методов расчета конструкций Москва 2007 В.Н.Иванов Конспект лекцийпо курсу Основы численных методов расчета конструкций Для студентов бакалавриата, обучающихся по специальности “Строительство” Москва Издательство Российского университета дружбы народов 2007 Утверждено Редакционно-издательским советом Российского университета дружбы народов Иванов В.Н. Конспект лекций по курсу “Основы численных методов расчета конструкций”. Для студентов, обучающихся по специальности "Строительство". -М.: Изд-во РУДН, 2007. - 64 с. Излагаются теоретическое основы численных методов расчета конструкций методом конечных разностей, методом коллокаций. Приводится примеры расчета балок и пластин рассматриваемыми методами. Показывается сходимость расчетов приближенными методами к точному решению, если оно известно, или уточнение решение при сгущении сетки или увеличении числа членом ряда. Приводятся примеры использования разностного метода для расчета балок переменного сечения на изгиб и стержней переменного сечения на устойчивость. Предназначены для студентов 4-го курса бакалавриата при изучении курса “Основы численных методов расчета конструкций”. Подготовлен на кафедре сопротивления материалов РУДН. В.Н. Иванов, 2007 г. ^ Лекция 1 Задачи теории упругости и методы их решения В курсах сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем излагаются инженерные методы расчета отдельных стержней и стержневых систем. Основной рабочей гипотезой сопротивления материалов является гипотеза плоских сечений. Именно эта гипотеза позволяет построить достаточно простые и удобные методы расчета стержневых конструкций. Однако в строительстве и машиностроении используются и более сложные – пластинчатые, оболочечные и массивные конструкции. Теория и методы расчета таких конструкций рассматриваются в курсах теории упругости, теории пластичности, теории оболочек. Однако и при расчете стержней встречаются задачи, которые не решаются методами сопротивления материалов. Например, задача о кручении стержней не круглого поперечного сечения. При кручении стержней некруглого сечения не выполняется гипотеза плоских сечений. Поперечные сечения при кручении искривляются, происходит депланация сечений. Для тонкостенных стержней была разработана в рамках сопротивления материалов теория расчета, учитывающая деплапнацию поперечных сечений. При расчете напряженного состояния стержней прямоугольного сечения в сопротивлении материалов используются таблицы коэффициентов, которые получены при решении задачи кручения брусьев методами теории упругости. В теории упругости, рассматривая равновесие и деформирование малого элемента, вырезанного из массивного тела, получают сложную систему 9 дифференциальных уравнений в частных производных (уравнения равновесия и геометрические уравнения) и 6 алгебраических (Закон Гука) уравнений с 15 неизвестными. Эта система приводится к системе трех дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в перемещениях или к системе 6 уравнений в напряжениях. Напряженно деформированное состояние оболочек описывается системой уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Сложность системы уравнений общей теории упругости привела к необходимости выделения класса конструкций, напряженно-деформированное состояние которых, путем введения дополнительных рабочих гипотез, описывается упрошенной системой уравнений. К таким классам конструкций относятся: а. Теория расчета стержней и стержневых систем – сопротивление материалов и строительная механика стержневых систем. б. Тонкие пластинки с постоянными по толщине пластики нагрузками, параллельными срединной плоскости (плоское напряженное состояние), и длинные призматические тела, загруженные не изменяющимися по длине тела нагрузками, действующими перпендикулярно оси тела (плоская деформация) – плоская задача теории упругости. в. Тонкие пластинки с нагрузкой, действующих перпендикулярно срединной плоскости – изгиб пластин. Плоская задача теории упругости описывается системой 8 уравнений с 8-ю неизвестными. Из ни 2 уравнения равновесия и 3 геометрические уравнения деформаций – дифференциальные уравнения в частных производных и 3 уравнения закона Гука. Общая система уравнений приводится к двум дифференциальным уравнениям в частных производных в перемещениях. При решении задачи в напряжениях к двум уравнениям равновесия добавляется уравнение неразрывности деформаций. Эта система введением функции напряжений приводится к одному разрешающему уравнению. При ограничении типа объемных сил, действующих в плоскости пластинки, разрешающее уравнения для функции напряжений является однородным бигармоническим уравнением в частных производных. Задача изгиба пластин приводится к неоднородному бигармоническому уравнения относительно функции прогиба срединной поверхности пластинки. Для того, чтобы получить решение задачи теории упругости необходимо удовлетворить системе уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние твердого деформируемого тела, и граничные условия заданной конструкции. Точное решение объемной задачи теории упругости получены для довольно узкого класса задач. К ним относятся задачи центрального растяжения сжатия стержней, чистого изгиба бруса, задачи кручения стержней различного поперечного сечения. Решена задача о действии сосредоточенной силы на бесконечное твердое тело. На основе этого решения разработаны методы точного или приближенного решения напряженно-деформированного состояния тел канонической формы методом интегральных граничных уравнений, методом потенциала. Для плоской задачи теории упругости и задач изгиба пластин, число точных решений более широко, но и здесь их число ограничено. Точное решение может быть получено в виде конечной формулы или в виде ряда, для которого доказана сходимость и решение может быть получено с любой заданной точностью. Однако для большинства задач точное решение получить не удается, особенно для тел сложной конфигурации и при сложных граничных условиях закрепления и нагружения тела на границе. Для решения таких задач используются приближенные аналитические, численно-аналитические и численные методы их решения. Численно-аналитические приближенные решения представляются в виде конечных формул или рядов, удовлетворяющих уравнениям задачи и граничным условиям с некоторым приближением. При решении в рядах, обычно, расчет проводят с конечным числом членов ряда, получая приближенное решение. Для уточнения решения число членов ряда увеличивают и практически заново решают задачу. Оценка точности решения в этом случае является сложной задачей. В инженерной практике часто проводят расчет с различным числом членов ряда, и, если невязка при этом незначительная, считают , что получено удовлетворительное решение. Однако, близость результатов расчета, проведенных с различным числом членов ряда, не гарантирует сходимости вычислительного процесса. К численно-аналитическим методам расчета относятся: метод коллокаций, метод Бубнова-Галеркина, метод квадратичных отклонений, методы, основанные на вариационных принципах строительной механики – метод Ритца-Тимошенко, Метод Канторовича-Власова и др. В численных методах расчета используются различные дискретные методы: метод конечных разностей, метод сеток, вариационно-разностный метод, метод конечных элементов, метод граничных элементов. Численно-аналитические методы позволяют получать напряжения и деформация в любой точке тела и проводить аналитический анализ полученного решения, используя приемы математического анализа. Численные методы позволяют получить результаты расчета в конечном числе точек. В других точках тела напряженно деформированное состояние может быть определено аппроксимацией решения в опорных точках, вновь используя численные методы. Для уточнения решения необходимо увеличить число опорных точек и заново провести процедуру расчета. Аналитически и численно-аналитические методы расчета предпочтительнее численных методов. В то же численные методы более легко адаптируются к изменению условий задачи, позволяют решать задачи со сложными граничными условиями и разнообразными вариантами нагружениями. Развитие вычислительной технике во второй половине ХХ-го века привело к широкому использованию численных методов расчета конструкций. Отметим, что и некоторые типы задач сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем также требуют использования численных методов расчета, например расчет перемещений в стержнях переменного сечения, и, следовательно, расчет статически неопределимых стержней и стержневых систем переменного сечения. В настоящем курсе рассматриваются метод конечных разностей (расчет стержней) и метод сеток (расчет пластин), метод коллокаций. Эти методы используют математический аппарат, известный из курса математического анализа. Методы, основанные на вариационных принципах механики, требуют дополнительных сведений из вариационного исчисления и рассматриваются в курсе «Аналитические и численные методы расчета конструкций», читаемого студентам магистратуры.
|
плохо
1отлично
4 