Пузанов В. П icon

Пузанов В. П



скачать



Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана


Пузанов В. П.




ЛЕКЦИИ



ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»


ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО



УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.


Факультет «Специальное машиностроение»
Кафедра «Подводные роботы и аппараты»


2003 год.


Оценка качества процессов в нелинейных системах автоматического управления.


Рассмотрим определение качества переходных колебательных процессов в нелинейных системах.



Эти процессы могут быть

  1. затухающими (к нулю либо к автоколебаниям);

  2. расходящимися (изнутри до амплитуды автоколебаний; неограниченно возрастающие неустойчивые процессы).

Колебательные переходные процессы в системе управления будем рассматривать как собственные колебания при отсутствии внешних воздействий во время самого процесса.

Рассмотрим систему, структурная схема которой может быть приведена к виду




Будем считать, что динамика замкнутой системы описывается уравнением

. (1)

В линейных системах синусоидальные переходные процессы имеют вид

. (2)

Для линейной системы высокого порядка такое решение является приближенным в том смысле, что оно соответствует одной паре комплексных корней характеристического уравне­ния системы. Чтобы это решение отвечало основной части переходного процесса, эта пара корней должна быть ближайшей к мнимой оси.

В нелинейных системах, удовлетворяющих свойству фильтра, будем считать, что переходные колеба­тельные процессы близкими к синусоидальным (2), полагая, что показатель затухания и частота изме­няются медленно с изменением амплитуды колебаний в ходе процесса. Сама же амплитуда изменяется быстро.

Тогда решение вместо (2) надо искать в виде

. (3)

(как частный случай получается формула (2) для линейной системы)

При колебания затухают,

При – расходятся.

Гармоническая линеаризация нелинейного звена здесь изменится, т.к. из (3) следует

.

Отсюда

.

Поэтому первая гармоника колебаний на выходе нелинейного звена имеет вид

, (4)

где коэффициенты гармонической линеаризации и вычисляются по формулам

,

.

Колебательные процессы в линейных системах соответствуют комплексно сопряженные корни характери­стического уравнения системы. Следовательно, для их определения нужно в характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы



подставить , полагая, что это соответствует ближайшей к мнимой оси паре комплексных корней. В результате получим

. (5)

Это уравнение относительно трех неизвестных: . Следовательно, из этого уравнения можно найти, например,

. (6)

Этого достаточно, чтобы затем по формулам (3) приблизительно определить и кривую переходных колебаний .

В большинстве случаев при проектировании системы автоматического управления и регулирования не требуется вычислять кривую переходного процесса. Нужна лишь оценка быстроты затухания и частоты колебаний, т. е. для оценки качества переходного процесса в колебательных нелинейных системах в большинстве случаев можно ограничиться определением зависимостей из уравнения (5).

Один из способов определения этих зависимостей состоит в следующем. Выделим в уравнении (5) вещественную и мнимую части и получим два уравнения

, (7)

из которых и определяется зависимость (6).

Если требуется выбрать какой-либо параметр системы, например коэффициент усиления линейной части , так, чтобы и удовлетворяли заданным требованиям, то можно пользоваться так называемыми диаграммами качества.

Способ построения диаграмм качества.

Пусть в какой-либо системе мы опреде­лили зависимость амплитуды автоколебаний от параметра , (см рис).



Здесь по параметру выделена область равновесного состояния. В автоколебательном режиме имеем

Ниже линии колебания расходятся. Следовательно, там . Выше линии колебания затухают и, значит, там . На самой линии имеем .

Если на основании уравнений (7) провести линии равных значений , то получится диаграмма, изображенная на рисунке.



Взяв некоторое значение в об­ласти устойчивости равновесия, получим (идя по вертикали) зависимость , которая имеет вид.



Для значения в области автоколебаний зависимость будет иметь иной вид.



Эти графики дают представление о качестве затухания колебательных переходных процессов при разных значениях параметра .

Можно найти огибающую переходного колебательного процесса согласно (1), по формуле

. (8)

Интегрирование (8) в конечной форме возможно лишь в простейших случаях. Поэтому приведем графический способ построения огибающей . Введем в рассмотрение текущую «постоянную времени»

.

В линей­ных системах . Здесь же медленно изменяется с изменением амплитуды. Значения , согласно формуле (9), берутся из диаграммы качества для каждого значения при заданном . Считая на небольшом промежутке времени, проводим графическое построение огибающей указанной на рисунке



Укажем другой способ оценки быстроты затухания переходных процессов в нелинейной системе с одной однозначной нелинейностью . Передаточная функция линейной части имеет вид

.

Нелинейная характеристика расположена в секторе и может иметь произвольное очертание.



Этот способ основан на применении частотного критерия абсолютной устойчивости.

На комплексной плоскости строится смещенная частотная характеристика, определяемая следующим образом:

(10)

где

.

Оценить быстроту затухания переходного процесса в системе можно следующим образом.

Нелинейная система с устойчивой линейной частью и нелинейной характеристикой, расположенной внутри сектора , будет обладать показателем затухания, не меньшим данного , если через точку можно провести прямую с любым наклоном так, что она не пересечет смещенной характеристики . Эта оценка проиллюстрирована рисунком



Можно определить предельное значение , при котором в системе имеет место показатель затухания, не меньший , как показано на рисунке.



Если построить серию смещенных частотных характеристик для различных значений , то получим зависимость , т.е. зависимость показателя затухания от размера сектора, в котором лежит нелинейная характеристика.

Количественно судить о показателях качества переходного процесса можно непосредственно по диаграммам качества переходного процесса, не строя самого процесса.

Время затухания переходного процесса на заданном интервале изменения амплитуд от до определяется по формуле

.

На основании чего можно дать приближенную оценку

,

где есть среднее значение показателя затухания, взятое ориентировочно из диаграммы качества для исследуемого участка (см. рис.)






Для более точного определения времени затухания надо разбить участок на отрезков и вычислить

,

где есть взятое из диаграммы значение в середине каждого отрезка ; – значение ординаты в начале и конце каждого отрезка.

Для определения величины перерегулирования надо найти значение амплитуды при



При и приходим к уравнению

,

откуда можно найти , которое и будет представлять собой величину перерегулирования . В качестве оценки можно использовать

, (12)

откуда, учитывая, что получаем оценку перерегулирования в виде

, (13)

где и среднее значение величины и взятые из диаграммы для исследуемого участка .

Для более точной оценки величины перерегулирования нужно разбить участок на несколько отрезков и вычислить

, (14)

где и –значения и в середине каждого отрезка; – значение ординаты в начале и конце каждого отрезка.

Вычисления по формуле (14) надо вести, начиная от точки до тех пор, пока не получится в сумме .

При этом величина перерегулирования будет

,

где – ордината конца последнего из отрезов, участвующих в этом вычислении.

Для определения числа колебаний за время переходного процесса надо довести вычисления по формуле (14) до конца, т.е. найти

.

Для грубой оценки можно считать



Если, например, требуется, чтобы на исследуемом отрезке было не более одного колебания, то надо потребовать, чтобы

.

Если же задано максимально допустимое перерегулирование , то, согласно (9), должно быть

.

Диаграммы качества строятся для переменной , стоящей в уравнении системы под знаком нелинейности. Если желательно пересчитать ее на какую-либо другую переменную, то можно применить формулу для определения амплитуды новой переменной, используя соответствующую передаточную функцию, связывающую эти переменные в исследуемой системе.




Скачать 89,82 Kb.
оставить комментарий
Дата29.09.2011
Размер89,82 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх