Пузанов В. П
скачатьМосковский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.ЛЕКЦИИПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ» ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет «Специальное машиностроение»Кафедра «Подводные роботы и аппараты»2003 год. Оценка качества процессов в нелинейных системах автоматического управления. Рассмотрим определение качества переходных колебательных процессов в нелинейных системах.  Эти процессы могут быть
Колебательные переходные процессы в системе управления будем рассматривать как собственные колебания при отсутствии внешних воздействий во время самого процесса. Рассмотрим систему, структурная схема которой может быть приведена к виду  Будем считать, что динамика замкнутой системы описывается уравнением  . (1)В линейных системах синусоидальные переходные процессы имеют вид  . (2)Для линейной системы высокого порядка такое решение является приближенным в том смысле, что оно соответствует одной паре комплексных корней характеристического уравнения системы. Чтобы это решение отвечало основной части переходного процесса, эта пара корней должна быть ближайшей к мнимой оси. В нелинейных системах, удовлетворяющих свойству фильтра, будем считать, что переходные колебательные процессы близкими к синусоидальным (2), полагая, что показатель затухания  и частота  изменяются медленно с изменением амплитуды колебаний  в ходе процесса. Сама же амплитуда  изменяется быстро.Тогда решение вместо (2) надо искать в виде  . (3)(как частный случай  получается формула (2) для линейной системы)При  колебания затухают,При – расходятся.Гармоническая линеаризация нелинейного звена здесь изменится, т.к. из (3) следует  .Отсюда  .Поэтому первая гармоника колебаний на выходе нелинейного звена имеет вид  , (4)где коэффициенты гармонической линеаризации  и  вычисляются по формулам , .Колебательные процессы в линейных системах соответствуют комплексно сопряженные корни характеристического уравнения системы. Следовательно, для их определения нужно в характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы  подставить  , полагая, что это соответствует ближайшей к мнимой оси паре комплексных корней. В результате получим . (5)Это уравнение относительно трех неизвестных:  . Следовательно, из этого уравнения можно найти, например, . (6)Этого достаточно, чтобы затем по формулам (3) приблизительно определить и кривую переходных колебаний  .В большинстве случаев при проектировании системы автоматического управления и регулирования не требуется вычислять кривую переходного процесса. Нужна лишь оценка быстроты затухания и частоты колебаний, т. е. для оценки качества переходного процесса в колебательных нелинейных системах в большинстве случаев можно ограничиться определением зависимостей  из уравнения (5).Один из способов определения этих зависимостей состоит в следующем. Выделим в уравнении (5) вещественную и мнимую части и получим два уравнения  , (7)из которых и определяется зависимость (6). Если требуется выбрать какой-либо параметр системы, например коэффициент усиления линейной части  , так, чтобы и удовлетворяли заданным требованиям, то можно пользоваться так называемыми диаграммами качества.Способ построения диаграмм качества. Пусть в какой-либо системе мы определили зависимость амплитуды автоколебаний  от параметра , (см рис). Здесь по параметру  выделена область равновесного состояния. В автоколебательном режиме имеем  Ниже линии  колебания расходятся. Следовательно, там  . Выше линии колебания затухают и, значит, там . На самой линии имеем  .Если на основании уравнений (7) провести линии равных значений , то получится диаграмма, изображенная на рисунке. Взяв некоторое значение  в области устойчивости равновесия, получим (идя по вертикали) зависимость  , которая имеет вид. Для значения  в области автоколебаний зависимость будет иметь иной вид. Эти графики дают представление о качестве затухания колебательных переходных процессов при разных значениях параметра .Можно найти огибающую переходного колебательного процесса согласно (1), по формуле . (8)Интегрирование (8) в конечной форме возможно лишь в простейших случаях. Поэтому приведем графический способ построения огибающей . Введем в рассмотрение текущую «постоянную времени» .В линейных системах  . Здесь же  медленно изменяется с изменением амплитуды. Значения  , согласно формуле (9), берутся из диаграммы качества для каждого значения при заданном . Считая на небольшом промежутке времени, проводим графическое построение огибающей указанной на рисунке  Укажем другой способ оценки быстроты затухания переходных процессов в нелинейной системе с одной однозначной нелинейностью  . Передаточная функция линейной части имеет вид .Нелинейная характеристика  расположена в секторе  и может иметь произвольное очертание. Этот способ основан на применении частотного критерия абсолютной устойчивости. На комплексной плоскости строится смещенная частотная характеристика, определяемая следующим образом:  (10)где  .Оценить быстроту затухания переходного процесса в системе можно следующим образом. Нелинейная система с устойчивой линейной частью и нелинейной характеристикой, расположенной внутри сектора  , будет обладать показателем затухания, не меньшим данного  , если через точку  можно провести прямую с любым наклоном так, что она не пересечет смещенной характеристики  . Эта оценка проиллюстрирована рисунком Можно определить предельное значение  , при котором в системе имеет место показатель затухания, не меньший , как показано на рисунке. Если построить серию смещенных частотных характеристик для различных значений , то получим зависимость  , т.е. зависимость показателя затухания от размера сектора, в котором лежит нелинейная характеристика.Количественно судить о показателях качества переходного процесса можно непосредственно по диаграммам качества переходного процесса, не строя самого процесса. Время затухания переходного процесса на заданном интервале изменения амплитуд от  до  определяется по формуле .На основании чего можно дать приближенную оценку  ,где  есть среднее значение показателя затухания, взятое ориентировочно из диаграммы качества для исследуемого участка  (см. рис.)   Для более точного определения времени затухания  надо разбить участок на  отрезков и вычислить  ,где  есть взятое из диаграммы значение в середине каждого отрезка ;  – значение ординаты  в начале и конце каждого отрезка.Для определения величины перерегулирования надо найти значение амплитуды при   При и  приходим к уравнению ,откуда можно найти , которое и будет представлять собой величину перерегулирования  . В качестве оценки можно использовать , (12)откуда, учитывая, что  получаем оценку перерегулирования в виде , (13)где и  среднее значение величины и взятые из диаграммы для исследуемого участка .Для более точной оценки величины перерегулирования нужно разбить участок на несколько отрезков и вычислить , (14)где  и –значения и в середине каждого отрезка; – значение ординаты в начале и конце каждого отрезка.Вычисления по формуле (14) надо вести, начиная от точки  до тех пор, пока не получится в сумме  .При этом величина перерегулирования будет  ,где  – ордината конца последнего из отрезов, участвующих в этом вычислении.Для определения числа колебаний  за время переходного процесса надо довести вычисления по формуле (14) до конца, т.е. найти .Для грубой оценки можно считать  Если, например, требуется, чтобы на исследуемом отрезке было не более одного колебания, то надо потребовать, чтобы .Если же задано максимально допустимое перерегулирование  , то, согласно (9), должно быть .Диаграммы качества строятся для переменной  , стоящей в уравнении системы под знаком нелинейности. Если желательно пересчитать ее на какую-либо другую переменную, то можно применить формулу для определения амплитуды новой переменной, используя соответствующую передаточную функцию, связывающую эти переменные в исследуемой системе.
|
неустойчивые процессы).
средне
1отлично
1 