«кату»
| скачать УДК 531.36 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СЛОЖНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА Степанов А.В., д.т.н. ЮФ НУБ и П Украины «КАТУ» Постановка проблемы. Качество автоматизации различных процессов в существенной степени определяется стабильностью основных динамических характеристик проектируемых систем автоматического управления. Ужесточение условий функционирования технических систем во внешней среде приводит к более широким вариациям, как параметров самой системы, так и возмущающих воздействий. Решение практических задач теории управления связано с сохранением свойств устойчивости динамических систем при действии различного рода возмущений. Ориентируясь в расчетах на некоторые априорные данные, необходимо быть уверенным, что при возможных отклонениях от этих данных система не потеряет устойчивости, а показатели ее качества останутся в приемлемых пределах. Анализ последних исследований. Вопросы, связанные с разработкой методов исследования устойчивости механических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, являются по-прежнему актуальными, в связи с отсутствием общих стандартных методов построения функций Ляпунова. В каждом отдельном случае построение функции Ляпунова обладает определенными особенностями, которые в первую очередь определяются характером объекта исследования. Многозвенные технические конструкции описываются, как правило, так называемыми сложными системами, и при исследовании их устойчивости предполагается построение систем сравнения или применения векторных функций [1]. С учетом того, что функционирование технических систем во внешней среде приводит к более широким вариациям, как параметров самой системы, так и возмущающих воздействий [2], в последнее время более перспективными становятся методы, связанные с модификациями известного метода Ф.Н. Бейли [3]. Цели исследований. В работе представляется обобщение утверждений второго метода Ляпунова, которое основано на использовании интервальных функций (семейства скалярных вещественных функций), обладающих специальными свойствами на траекториях динамических систем с параметрическими возмущениями. Интервальные функции Ляпунова позволяют сформулировать условия устойчивости указанного класса систем, не прибегая к вычислению спектра семейства, в частности в критическом случае.^ Пусть в некоторой области:  уравнения возмущенного движения динамической системы с неопределенно заданными параметрами, описываются системой с интервальными коэффициентами:  , (1)где  вектор состояния системы,  время,  интервальная матрица.Решением (1) с начальными условиями  ,  и параметром  будем называть множество . (2)Определение 1. Решение  интервальной системы (1) будем называть устойчивым по Ляпунову (интервальная система – устойчива по Ляпунову), если всякое решение  устойчиво по Ляпунову:   и момент времени  такие, что решения  определены и удовлетворяют условию:   и  .Определение 2. Решение интервальной системы (1) будем называть асимптотически устойчивым (интервальная система – асимптотически устойчива), если всякое решение устойчиво по Ляпунову и  с  такое, что:  при  .Определение 3. Решение интервальной системы (1) называется экспоненциально устойчивым (интервальная система – экспоненциально устойчива), если  начинающегося в области  выполняется интервальное неравенство: . (3)Здесь  ,  интервальные константы, независящие от выбора решения  .При исследовании различных типов устойчивости решения (2) интервальной системы (1) будем использовать интервальную функцию Ляпунова, которая является естественным интервальным расширением скалярной вещественной функции Ляпунова:  , (4)где  . Под интервальной функцией Ляпунова понимается семейство непрерывно дифференцируемых скалярных функций  .Определение 4. Интервальную функцию будем называть положительно определенной (отрицательно определенной) в области  , содержащей точку  , если для всех  и всех  существует непрерывная функция  ,  такая, что:  при  . (5)Определение 5. Интервальную функцию будем называть функцией, допускающей бесконечно малый высший предел, если для всех и всех существует непрерывная функция  ,  такая, что . (6)Полная производная от интервальной функции Ляпунова (4) в силу системы (1) имеет вид:  . (7)Часто используемая в качестве функции Ляпунова квадратичная форма имеет интервальный аналог вида:  , (8)Здесь  симметричная положительно определенная интервальная матрица.Определение 6. Напомним, что интервальная матрица  ,  ,  называется положительно определенной и обозначается  , если положительно определена любая матрица  , т.е.  квадратичная форма  .Определение 7. Интервальная матрица  ,  ,  называется симметричной и обозначается  , если .Интервальная квадратичная форма (8) удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к функциям Ляпунова:
Устойчивость интервальных систем. Для невозмущенного решения системы (1) справедливы следующие утверждения об устойчивости на случай интервальных линейных систем [2]. ^ Невозмущенное решение интервальной системы (1) устойчиво (интервальная система – устойчива), если в некоторой окрестности точки существует функция вида (4), удовлетворяющая условию (4), полная производная которой является функцией неположительной, т.е. выполняется неравенство: при всех и всех  .Теорема 2. (Аналог 2-ой теоремы А.М. Ляпунова). Невозмущенное решение интервальной системы (1) асимптотически устойчиво (интервальная система – асимптотически устойчива), если в некоторой окрестности точки существует функция вида (4), удовлетворяющая условию: (9)а ее полная производная является отрицательно определенной функцией, т.е. выполняется неравенство  (10)при всех и всех .Теорема 3. (Аналог теоремы Н.Н. Красовского [4]). Невозмущенное решение интервальной системы (1) экспоненциально устойчиво (интервальная система – экспоненциально устойчива), если в некоторой окрестности точки существует функция вида (4), удовлетворяющая условиям: , (11) , (12) (19)при всех и всех .Здесь  ,  интервальные константы.Справедливость теорем 1-3 следует из результатов аналогичных теорем для линейных систем с постоянными коэффициентами, определения решения интервальной системы и определений различных видов устойчивости интервальной системы. Рассмотрим далее, в некоторой области:  систему  (20)где  ,  ,  интервальный вектор параметров некоторой размерности  , т.е.   . Решение системы (20) определяется аналогично (2). Будем предполагать, что (20) допускает представление (21)Векторные функции  и   таковы, что решения  и  соответственно, существуют и единственны для любых начальных данных  и  .Будем далее предполагать, что для каждой изолированной подсистемы  (22)существует функция  интервальное расширение скалярной вещественной функции Ляпунова Допускается, что нулевые решения подсистем (22) либо устойчивы, либо неустойчивы, а скалярные функции Ляпунова  имеют оценки: (23)где   некоторые интервальные константы, а  принимают значения либо  , либо  , в зависимости от того, является ли нулевое решение  й изолированной подсистемы устойчивым или неустойчивым соответственно.Далее будем полагать, что вектор взаимосвязей  принадлежит классу  , то есть: , (24)где  некоторые вещественные постоянные. Тогда из элементов ,(  обобщенный символ Кронекера) можно построить форму  го порядка: .Теорема 4. (Аналог [5]). Пусть для каждой й изолированной подсистемы (22) системы (20) в области существует интервальное расширение скалярной вещественной функции Ляпунова  , удовлетворяющая неравенствам (23), а вектор взаимосвязей принадлежит классу . Тогда, если форма  знакоопределена отрицательна в конусе  , нулевое решение системы (20) асимптотически устойчиво в целом равномерно по начальным данным.Источники и литература
Анотація УДК 531.36 Степанов А.В. Дослідження стійкості складних механічних систем з використанням інтервальних функцій Ляпунова. Пропонується узагальнення теорем другого методу Ляпунова, засноване на використанні інтервальних функцій (сімейства скалярних функцій), для яких мають місце спеціальні властивості на траєкторіях динамічних систем з параметричними обуреннями. Інтервальні функції Ляпунова дають можливість формулювати умови стійкості певних класів систем, не удаючись до обчислення спектру сімейства. З використанням інтервальних функцій Ляпунова узагальнені теорем Красовського Н.Н. і Степанова А.В. на випадок складних систем. SUMMARY UDC 531.36 Stepanov A.V. The investigation of stability of large-scale mechanical systems with use of interval Lyapunov’s functions. The generalization of the statements of the second method of Lyapunov, based on use of interval functions (family of scalar material functions), having special properties on trajectories of dynamic systems with parametrical perturbations is offered. The interval Lyapunov’s functions allow to formulate conditions of stability of the certain classes of systems, not resorting to calculation of a spectrum of family. With use of interval Lyapunov’s functions the theorems of Krasovsky N.N. and Stepanov A.V. are generalized on a case of large-scale systems. Аннотация УДК 531.36 ^ Предлагается обобщение утверждений второго метода Ляпунова, основанное на использовании интервальных функций (семейства скалярных вещественных функций), обладающих специальными свойствами на траекториях динамических систем с параметрическими возмущениями. Интервальные функции Ляпунова позволяют сформулировать условия устойчивости определенных классов систем, не прибегая к вычислению спектра семейства. С использованием интервальных функций Ляпунова обобщены теоремы Красовского Н.Н. и Степанова А.В. на случай сложных систем.
|
;
является положительно определенной функцией, допускающей бесконечно малый высший предел, так как удовлетворяет неравенствам (5) и (6).
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 