1- раздел. Дифференциал ьные уравнения первого порядка Глоссарий icon

1- раздел. Дифференциал ьные уравнения первого порядка Глоссарий


2 чел. помогло.
Смотрите также:
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные...
Задача курса: изучить теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго...
1 лекция. Уравнения с частными производными первого порядка...
Вопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям в частных производных...
Уравнения первого порядка...
I. Общая теория дифференциального уравнения (нелинейного) первого порядка...
Вопросы к экзамену по курсу высшей математики за 3 семестр...
Лекция Дифференциал функции...
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в химии и...
Задача Коши
Под научной редакцией Старовойтенко Е. Б. и Шадрикова В. Д...
Вопросы к экзамену Методы решений задач математической физики...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4   5   6
скачать
1-раздел. ДИФФЕРЕНЦИАЛьные уравнения первого порядка


Глоссарий:

1) Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=f(x) и ее производные y',y'',...,y(n).

2) Если искомая функция y=f(x) есть функция одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

3) уравнение разрешенное относительно производной :



4) Дифференциальная форма уравнении первого порядка:



5) Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными ,

6)- уравнение однородное относительно переменных, если функции и одного порядка и однородные.

7) Однородное дифференциальное уравнение с помощью замены или приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

8) - общий вид неоднородного линейного дифференциального уравнения.

9) - общий вид однородного линейного дифференциального уравнения.

10) -дифференциальное уравнение называется в полных дифференциалах, если левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции , т.е.

11) Для того чтобы дифференциальное выражение , где функции опредеоены и непрерывны в области плоскости ХоУ и имеет в ней непрерывные частные производные и , представляло собой полный дифференциалнекоторой функции необходимо и достоточно, чтобы во всех точках области было выполнено условие и общее решение:

, или где .


Лекция 1. Дифференциальное уравнение. Основные понятия и определения.


Цель лекции: дать основные понятия и определения теории дифференциальных уравнении.

Вопросы к теме:

1) Дифференциальное уравнение. Определение.

2) Виды дифференциальных уравнении.

3) Общее решение дифференциального уравнения. Частное решение.

Краткое содержание темы:

Обыкновенные дифференциальные уравнения.


Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:



В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.




Тогда получаем: - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).


Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.


Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.


Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.


Пример.


- обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается .


- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается


- дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.


^ Свойства общего решения.


1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.


2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С0).


Определение. Решение вида у = (х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.


Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.


Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

^ Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х^ 0, принимающее при х = х0 значение 0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.


Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.


Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .


Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:







Теперь интегрируем:









- это общее решение исходного дифференциального уравнения.


Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем



При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).




Определение. Интегральной кривой называется график y = (x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.


Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.


Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: Найти особое решение, если оно существует.













Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC 0.


Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

^ Дифференциальные уравнения первого порядка.


Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:




Если такое соотношение преобразовать к виду то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.


Преобразуем такое выражение далее:



Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:




  • это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.


Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.


^ Уравнения вида y’ = f(x).


Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С.


Задания для самоконтроля:

1. Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

3. Дать определение частного решения. В чем состоит начальное условие для уравнения первого порядка?

4. Сформулировать теорему существования и единственности решения уравнения первого порядка.

5. Дать геометрическую иллюстрацию частного и общего решений дифференциального уравнения первого порядка.

Литература: 10 раздел. Учебно-методическое обеспечение дисциплины. Литература 9, 12, 18,19,21,22.


Лекция 2. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.


Цель лекции: дать понятие уравнения с разделяющимися и с разделенными переменными. Рассмотреть метод разделения переменных. Ознакомление методом интегрирования диф ур.

Вопросы к теме:

1) Уравнение с разделенными переменными.

2) Уравнение с разделяющимися переменными.

3) Метод разделение переменных.


^ Краткое содержание темы:




оставить комментарий
страница1/6
Дата20.04.2012
Размер0,51 Mb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5   6
не очень плохо
  1
средне
  1
хорошо
  1
отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх