Решение с помощью переходной матрицы

скачать
Непрерывное оптимальное управление

в динамических системах

Дмитрий К. Ефимов

Россия, Санкт-Петербург

Октябрь 30, 2009

Решение с помощью переходной матрицы

Рассмотрим задачу оптимального управления как задачу регулиро- вания линейной динамической системы с квадратичным функционалом, ко- торую можно решать до конца.

Требуется минимизировать критерий качества

(1)

при ограничениях

(2)

где, как и прежде ,

,

а A, F,Ф,C и R могут быть как постоянные так и переменные матрицы раз-

мера

соответственно. Будем предпола-

гать, что матрица R симметрическая и положительно определённая, а мат-

рицы ^ Ф,С симметрические и положительно полуопределённые .

Не теряя общности , можно положить tиtt=T.

Для задачи (1), (2) канонические условия являются не только необходи-

мыми, но также и достаточными и имеют вид

(3)

(4)

(5)

(6)

Решая (6) относительно u(t) и подставляя решение в (3), находим, что

должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений

, (7)

, (8)

(9)

где

Отметим , что B- симметрическая и положительно полу-

определённая матрица, и кроме этого матрицы С, B, Ф в своей внутрен-

ней структуре содержат знак минус, что сделано для удобства дальнейших

преобразований.

Пусть

для

будет матрицей перехода размером

, определяемой уравнением

, (10)

где I - единичная матрица размера

Разобьём матрицу перехода

на четыре блока размера

каждый :

(11)

Тогда для любого

(12)

(13)

Далее, в силу (9)

(14)

и, следовательно, для

(15)

при условии, что матрица, обратная к

(16)

существует для всех

определим матрицу

равенством

(17) получаем

(18)

и, значит, (7) принимает вид

(19)

Далее, из (17) имеем

. (20)

Дифференцирование обеих частей равенства (20) по t даёт

. (21)

Матрица перехода удовлетворяющая сопряжённому дифференциально-

му уравнению имеет вид

, (22)

Разобьём матрицу перехода

на четыре блока размером

каждый:

. (23)

После подстановки (23) в (22) и матричного перемножения, получим

(24)

Таким образом, с учётом (24) получим из (21) соотношение

, (25)

которое после приведения подобных членов и умножения обеих частей на

(см.(16)) приводит к уравнению

. (26)

Выведем из матриц

знак минус ( смотри замечание к форму- лам (7-9)) и введём значение

в формулу (26), получим привычный вид матричного дифференциального уравнения типа Риккати :

(27)

, с граничными условиями

.

Все векторы и матрицы в значениях (1-27) могут быть как постоянные

так и переменные функции зависящие от времени и обладать вполне опре-

делёнными внутренними качествами :

фазовый вектор состояния ;

вектор функций, указывающий скорость изменения фазовых коорди-

нат;

матрица, представляющая линейный оператор преобразования век-

тора состояния фазовых координат, в вектор функций, указывающий

скорость их изменения ;

матрица стабилизационного преобразования параметров вектора уп-

равления в дополнительный вектор функций скорости изменения фа-

зовых координат;

вектор управления;

функция целевого функционала, которая представляет собой сумму

квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от

суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления;

матрица формирования целевого терминального граничного условия;

матрица формирования допустимых максимальных значений пара-

метров фазового пространства на интервале интегрирования;

матрица ограничений на параметры управления;

функция Гамильтона , которая определяется как сумма подинтеграль-

ной функции целевого функционала и скалярного произведения векто-

тора сопряжённых переменных и вектора функций, указывающих

скорость изменения фазовых координат. Эта функция мысленно под-

разумевается.