Решение с помощью переходной матрицы icon

Решение с помощью переходной матрицы



Смотрите также:
Решение с помощью метода прогонки...
Программа для аттестационных испытаний по дисциплине: «математический анализ и линейная алгебра»...
Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера...
Решение: 38. Доказать совместность системы линейных алгебраических уравнений и решить ее: 1...
Матрицы и действия над ними...
Календарно-тематический план учебная дисциплина: «Математика»...
Решение систем линейных уравнений. Система линейных алгебраических уравнений (слау) имеет вид...
Вычислите определитель матрицы...
Решение. Решение задачи осуществим с помощью диа­граммы Эйлера-Венна (рис. 5)...
A. Для простоты считаем ее самосопряженной невырожденной матрицей...
A. Для простоты считаем ее самосопряженной невырожденной матрицей...
Решение задач одно из важных применений Excel...



скачать
Непрерывное оптимальное управление

в динамических системах


Дмитрий К. Ефимов

Россия, Санкт-Петербург

Октябрь 30, 2009


Решение с помощью переходной матрицы


Рассмотрим задачу оптимального управления как задачу регулиро- вания линейной динамической системы с квадратичным функционалом, ко- торую можно решать до конца. Требуется минимизировать критерий качества



(1)

при ограничениях

(2)



где, как и прежде ,,

а A, F,Ф,C и R могут быть как постоянные так и переменные матрицы раз-

мера , и соответственно. Будем предпола- гать, что матрица R симметрическая и положительно определённая, а мат-

рицы ^ Ф,С симметрические и положительно полуопределённые .

Не теряя общности , можно положить tиtt=T.

Для задачи (1), (2) канонические условия являются не только необходи-

мыми, но также и достаточными и имеют вид

(3)

(4)

, (5)


(6)

Решая (6) относительно u(t) и подставляя решение в (3), находим, что

должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений

, , (7)

, (8)

(9)


где Отметим , что B- симметрическая и положительно полу-

определённая матрица, и кроме этого матрицы С, B, Ф в своей внутрен-

ней структуре содержат знак минус, что сделано для удобства дальнейших

преобразований.

Пусть для будет матрицей перехода размером

, определяемой уравнением


, (10)



где I - единичная матрица размера


Разобьём матрицу перехода на четыре блока размера

каждый :

(11)

Тогда для любого

(12)

(13)

Далее, в силу (9)

(14)


и, следовательно, для

(15)

при условии, что матрица, обратная к

(16)

существует для всех определим матрицу равенством

(17) получаем (18)

и, значит, (7) принимает вид

(19)

Далее, из (17) имеем

. (20)

Дифференцирование обеих частей равенства (20) по t даёт



. (21)

Матрица перехода удовлетворяющая сопряжённому дифференциально-

му уравнению имеет вид

, , (22)

Разобьём матрицу перехода на четыре блока размером

каждый:

. (23)


После подстановки (23) в (22) и матричного перемножения, получим


(24)

Таким образом, с учётом (24) получим из (21) соотношение





=



, (25)

которое после приведения подобных членов и умножения обеих частей на (см.(16)) приводит к уравнению

, . (26)

Выведем из матриц знак минус ( смотри замечание к форму- лам (7-9)) и введём значение в формулу (26), получим привычный вид матричного дифференциального уравнения типа Риккати :

(27)

, с граничными условиями .

Все векторы и матрицы в значениях (1-27) могут быть как постоянные

так и переменные функции зависящие от времени и обладать вполне опре-

делёнными внутренними качествами :

фазовый вектор состояния ;

вектор функций, указывающий скорость изменения фазовых коорди-

нат;

матрица, представляющая линейный оператор преобразования век-

тора состояния фазовых координат, в вектор функций, указывающий

скорость их изменения ;

матрица стабилизационного преобразования параметров вектора уп-

равления в дополнительный вектор функций скорости изменения фа-

зовых координат;

вектор управления;

функция целевого функционала, которая представляет собой сумму

квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от

суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления;

матрица формирования целевого терминального граничного условия;

матрица формирования допустимых максимальных значений пара-

метров фазового пространства на интервале интегрирования;

матрица ограничений на параметры управления;

функция Гамильтона , которая определяется как сумма подинтеграль-

ной функции целевого функционала и скалярного произведения векто-

тора сопряжённых переменных и вектора функций, указывающих

скорость изменения фазовых координат. Эта функция мысленно под-

разумевается.

начальный момент процесса управления ;

конечный момент процесса управления ;

вектор сопряжённых переменных ;

индекс, указывающий транспонирование матрицы или вектора ;

текущее реальное время процесса управления ;

матрица формирования допустимых оптимальных значений парамет-

ров фазового пространства процесса управления на всём интервале

интегрирования ;

область допустимых решений ;




Библиографический список.



  1. Брайсон А., Хо Ю - Ши . Прикладная теория оптимального управления.

- М.: Мир, 1972. - 544 с.

  1. Полак Э. Численные методы оптимизации. - М.: Мир, 1974.- 376 с.

  2. Портер У. Современные основания общей теории систем. - М.: Наука,

1971. - 556 с.




Скачать 55,87 Kb.
оставить комментарий
Дата29.09.2011
Размер55,87 Kb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх