Методические указания к выполнению лабораторной работы №5 «Исследование устойчивости линейных систем» по дисциплине

скачать Федеральное агентство по образованию РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет УТВЕРЖДАЮ Декан АВТФ _____________С.А. Гайворонский «___»_________________2008г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ Методические указания к выполнению лабораторной работы № 5 «Исследование устойчивости линейных систем» по дисциплине «Математические основы общей теории систем» для студентов направления 010500 «Прикладная математика и информатика» Томск 2008г. УДК 681.513.2 Математические основы общей теории систем. Методические указания к выполнению лабораторной работы № 5. «Исследование устойчивости линейных систем» по дисциплине «Математические основы общей теории системе» для студентов направления 010500 «Прикладная математика и информатика». – Томск: Изд. ТПУ, 2008. - 8с. Составители – доц. канд. техн. наук Ю. В. Бабушкин Резензент – доц. канд. техн. наук В. Г. Гальченко Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изучению методическим семинаром кафедры прикладной математики «___»_________2008г. Зав. кафедрой Проф. д-р физ. -мат. наук _________________Григорьев В.П. ^ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 5 Тема: исследование устойчивости линейных систем Цель работы Исследование устойчивости линейных систем при помощи критериев устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста. ^ 2. Краткая теория Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Для линейных систем определены следующие условия устойчивости: - линейная система асимптотически устойчива, если все корни характеристического уравнения системы имеют отрицательные вещественные части; - линейная система неустойчива, если среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один корень с положительной ве­щественной частью; - линейная система устойчива неасимптотически, если среди корней характеристического уравнения имеется один нулевой или пара мнимых корней, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Существуют правила, которые позволяют судить о знаках действительных частей корней без решения самого характеристического уравне­ния системы. Эти правила называют критериями устойчивости. ^ Критерий устойчивости Гурвица Согласно критерию Гурвица для устойчивости линейной системы, описываемой характеристическим уравнением (1) необходимо и достаточно, чтобы при были положительны главный определитель Гурвица (2) и все диагональные миноры , , ….. Если главный определитель или один из диагональных миноров равен нулю, то система находится на границе устойчивости. ^ Критерий устойчивости Михайлова Частотный критерий Михайлова позволяет определить устойчивость системы по частотному годографу (кривой Михайлова), по­лученному из ее характеристического многочлена (3) путем подстановки , (4) где - вещественная часть ; - мнимая часть . Годограф Михайлова есть кривая, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении от 0 до. Годограф начинается при на вещественной оси в точке а0 и при уходит в бесконечность в соответствующем квадранте. Если характеристическое уравнение имеет m правых и n - m левых корней, то при изменении от 0 до приращение аргумента вектора будет равно . Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф Михайлова начинался на положительной вещественной полуоси и, нигде не обращаясь в нуль, обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов. Если система находится на границе устойчивости, то годограф Ми­хайлова проходит через начало координат. ^ Критерий устойчивости Найквиста Частотный критерий Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы по виду ее амплитудно-фазочастотной характеристики (АФЧХ) в разомкнутом состоянии. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид , тогда передаточная функция замкнутой системы равна . Введем функцию . Числитель этой функции представляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель - характеристический по­лином разомкнутой системы. Степени этих многочленов одинаковы и равны n. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы уравнение A(p) + B(p) не имело корней с положительной действи­тельной частью. Тогда . Таким образом, если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарный поворот вектора при изменении от 0 до был равен нулю. Полученное условие устойчивости можно распространить на плоскость амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы . Для того, чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ системы в разомкнутом состоянии не охватывала точку (-1,j0) (рис. 1). Рис. 1. АФЧХ устойчивой системы Для исследования устойчивости линейных систем удобно использовать логарифмические амплитудно (ЛАЧХ) и фазовую частотные (ЛФЧХ) характе­ристики, определяемые по формулам , , которые строятся в логарифмическом масштабе. По взаимному расположению ЛАЧХ и ЛФЧХ находятся показатели устойчивости - запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе (рис.2). Рис.2. К определению запаса устойчивости по амплитуде и по фазе Если запас устойчивости по амплитуде или по фазе равен нулю, то замкнутая система находится на границе устойчивости. ^ 3. Исходные данные Вид передаточной функции разомкнутой системы . Варианты заданий исходных данных приведены в таблице. Таблица. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t1,c T1,c T2,c T3,c 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 6 7 8 9 5 6 7 8 4 5 6 7 3 4 5 6 2 3 4 5 1 2 3 4 ^ 4. Порядок выполнения и содержание работы 4.1. Для заданного варианта аналитически найти условия устойчивости замкнутой системы с единичной обратной отрицательной связью для параметра Кр по критерию Гурвица, Михай­лова и Найквиста. Выбрать величину Кр из области устойчивости самостоятельно. 4.2. Запустить пакет программ ТАУ-1 на диске X в каталоге Tsoft, разделе TAU1файл taу.bat. 4.3. В меню выбрать программу CONTROL - система автоматического регулирования. 4.4. Задать параметры передаточной функции системы согласно задан­ному варианту для шести значений Кр (Kp, Кр/2, Kp/4, 2*Kp, 5*Kp, 10*Kp) и снять: - корневые годографы; - переходные процессы; - годографы Найквиста; - логарифмические частотные характеристики; - записать сведения о корнях характеристического урав­нения по критерию Рауса (аналог Гурвица). 4.5. Построить асимптотические логарифмические частотные характеристики для выбранного Кр. Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе. Сравнить с запасом устойчивости по годог­рафу Найквиста. 4.6. Построить кривую Михайлова и определить устойчивость системы. ^ 5. Контрольные вопросы 5.1. Что понимается под устойчивостью системы? 5.2. Что является определяющим в передаточной функции системы для устойчивости системы? 5.3. Для каких систем можно использовать критерии Гурвица, Михайлова и Найквиста? ^ 6. Требования к отчету В отчете должны быть представлены: цель работы, структурная схема системы, исходные данные, результаты аналитического и эксперименталь­ного изучения системы, выводы. Литература 1. Основы автоматического регулирования и управления. Под ред. В.М. Пономарева, А.П. Литвинова, М., Высшая школа, 1974 г. 2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под ред. В.А. Бесекерского, М., Наука, 1978 г. 3. Справочное пособие по теории систем автоматического регули­рования и управления. Под ред. Е.А. Санковского, Мн., Вышэйш. школа, 1973 г. Скачать 75,97 Kb. оставить комментарий Дата 29.09.2011 Размер 75,97 Kb. Тип Методические указания, Образовательные материалы