Пузанов В. П
скачатьМосковский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ» ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет « Специальное машиностроение » Кафедра « Подводные роботы и аппараты » 2000 год. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ. Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид  К такой структурной схеме (расчётной схеме) можно привести любую систему автоматического управления с помощью правил преобразования структурных схем. Как следует из расчётной структурной схемы  или  . В случае если  или  для всех значений  , то говорят, что система автоматического управления разомкнута – отсутствует главная обратная связь.Передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления  . Ее, как правило, можно представить в виде ,где  - передаточная функция элементарных звеньев.В этом случае модули и аргументы передаточных функций системы и звеньев  ;  , ;  связаны между собой соотношением  ,  .Отсюда следует, что логарифмические амплитудно-частотные характеристики разомкнутой системы определяются как  .Из сказанного следует, что для построения логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы автоматического управления нужно:
Пример 1. Построить логарифмические частотные характеристики системы с передаточной функцией  .  Решение. Передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде последовательного соединения элементарных звеньев: 
Затем строим логарифмические частотные характеристики каждого из этих звеньев и производим их графическое сложение (см. рис.1). Можно предположить несколько иной, более простой порядок построения логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы. Проиллюстрируем это на конкретном примере. Пример. Построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику системы, передаточная функция которой  .Решение. Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде .Асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика состоит из пяти асимптотических логарифмических амплитудно-частотных характеристик пяти элементарных звеньев.  - усилительное звено. - интегрирующее звено.  - апериодическое звено. - дифференцирующее (форсирующее) звено 1-го порядка. - колебательное звено.Определим сопрягающие частоты:  ;  ;  .Пусть постоянные времени таковы, что  .Отметим эти частоты на оси  (частот). Напомним, что на этой оси масштаб логарифмический.Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика определяется уравнением:  .Напоминание. При построении асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристики элементарных звеньев при частотах, меньших сопрягающей частоты, под корнем оставляют только единицу, а остальными членами пренебрегают. При частотах, больших сопрягающей частоты, оставляют члены с наивысшей степенью .В рассматриваемом примере при  уравнение первой асимптоты будет .Согласно этому уравнению, первую асимптоту проводят через точку с координатами  с наклоном  (см. рис. 2).Она оканчивается на первой сопрягающей частоте  . При  аналогично имеем .Это уравнение второй асимптоты. Её наклон изменился на  и обусловлен апериодическим звеном.Вторую асимптоту проводят от конца первой асимптоты до второй сопряжённой частоты согласно ее уравнению с наклоном  .При  имеем .Это уравнение третьей асимптоты. Её наклон изменяется на +20 дБ/дек и обуславливается форсирующим звеном первого порядка. Третью асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьей сопрягающей частоты с наклоном (-20 дБ/дек). При  имеем .Это уравнение последней, четвертой асимптоты. Её наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на  и обуславливается колебательным звеном.Теперь можно сформулировать общее правило построение асимптотической амплитудно-частотной характеристики системы с передаточной функцией  ,где  - передаточная функция элементарных звеньев.^
,где - передаточная функция  -го элементарного звена.
Если какая-либо сопрягающая частота является кратной и ее кратность равна  (имеется одинаковых элементарных звеньев), то изменение наклона при этой частоте в раз больше, чем при соответствующей простой частоте.Для колебательных звеньев необходимо выполнить поправки в соответствии с графиками, шаблонами и т.п., можно по формуле:   ^ . Одной из основных задач теории автоматического управления является изучение характерных особенностей процессов, которые протекают в исследуемой системе. Это осуществляется средствами математики. Каждую систему управления можно описать системой дифференциальных уравнений - это математическая модель системы в форме дифференциальных уравнений. Математической моделью процессов в исследуемой системе является решение дифференциальных уравнений, которые описывают динамические процессы в исследуемой системе. Это решение (для выходной переменной) имеет вид  , где  -собственное движение системы, определяется общим решением соответствующего однородного уравнения;  -вынужденное движение, определяется частным решением неоднородного уравнения и зависит от вида правой части уравнения.С точки зрения протекания процессов в системе, требования к процессам делятся на три группы: 1.Устойчивость системы 2.Качество переходного процесса 3.Точность отработки заданного входного воздействия С точки зрения теории автоматического управления - в основном определяет характер переходных процессов в исследуемой системе; характеризует устойчивость системы. - установившиеся процессы в системе. На эту составляющую накладывается переходной процесс, влияние которого становится незначительным по истечении времени.^ Под устойчивостью системы понимают ее способность возвращаться в состояние равновесия после снятия возмущающих факторов, действующих на систему. Если система неустойчива, то под воздействием внешних возмущений или после их снятия, она переходит из одного состояния равновесия в другие состояния равновесия (или остается в исходном состоянии). Если система неустойчива, то она не возвращается в состояние равновесия, из которого ее вывели, а либо удаляется от него, либо совершает вокруг него недопустимо большие колебания. Устойчивость системы автоматического управления затухание процессов в системе:  при  О качестве процессов управления, о неточности отработки заданного входного воздействия речь может идти толь для устойчивых систем. ^ Переходной процесс в системе автоматического управления – это  .Качество переходного процесса принято часто характеризовать при помощи следующих величин, называемых показателями качества: 
^ Точность системы автоматического управления определяется формулой установившегося процесса . При этом установившаяся ошибка системы будет  при  и характеризует степень близости выходной переменной к заданному значению после окончания переходного процесса в системе.Переходной процесс в системе автоматического управления как правило рассматривают при подаче на вход системы постоянного входного воздействия  при нулевых начальных условиях.Если  - тогда математической моделью переходного процесса является переходная функция замкнутой системы.^ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. Пусть структурная схема системы автоматического управления преобразована к расчетной структурной схеме:  Как следует из ранее изложенного для замкнутой системы справедливы следующие соотношения:  , .Изучим временные и частотные характеристики замкнутых систем. ^ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. Переходная функция замкнутой системы . Переходная функция замкнутой системы автоматического управления - это ее реакция на единичное входное воздействие:  ;  .Следуя ранее введенным обозначениям, - переходная функция системы, а ее изображение по Лапласу -  ,  .При  , будем иметь  и, следовательно,  . Тогда, по передаточной функции разомкнутой системы управления определим переходную функцию замкнутой системы:  . . (1)Из последнего равенства следует, что для получения переходной функции замкнутой системы управления необходимо:
 .
Не используя равенства (1), можно определить установившееся значение переходной функции замкнутой системы, если воспользоваться «предельными» теоремами преобразования Лапласа. Имеем:  .Следовательно,  (2)Для замкнутых систем автоматического управления особый интерес представляет изучение изменения во времени ошибки системы  . Для ошибки системы справедливы следующие равенства:  ;  .Таким образом для имеем и окончательно  (3)Для того чтобы получить закон изменения во времени ошибки системы необходимо:
 , т.е.  .Не используя равенства (3), можно определить установившееся  и начальное значение ошибки системы, если воспользоваться «предельными» теоремами преобразования Лапласа. Имеем  (4) , . (5)Импульсная переходная (весовая) функция замкнутой системы . Весовой функцией замкнутой системы автоматического управления называется функция, описывающая реакцию замкнутой системы, когда на ее вход подается  -функция при нулевых начальных условиях ;  .Следуя ранее введенным обозначениям,  – импульсная переходная (весовая) функция системы, а ее изображение по Лапласу –  ,  .При , будем иметь  и, следовательно,  . Тогда, по передаточной функции разомкнутой системы управления определим весовую (импульсную переходную) функцию замкнутой системы . . (6)Из полученного равенства следует, что для получения импульсной переходной функции (весовой функции) замкнутой системы необходимо:
Для рассматриваемого случая, чтобы определить закон изменения во времени ошибки системы  необходимо вычислить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке: , а затем найти обратное преобразование по Лапласу от  , т.е.  .Установившееся и начальное значения функций  и находим на основании предельных теорем преобразования Лапласа: , , , .Установим связь между импульсной переходной (весовой) функцией и переходной функцией замкнутой системы. Имеем ; ; ;  ; .Следовательно  . Применим обратное преобразование Лапласа к обеим частям последнего равенства  . Но так как  , то на основании свойства преобразования Лапласа ( при нулевых начальных условиях умножение на  в области изображений соответствует дифференцированию по в области оригиналов) имеем .
|
.
.
.
и наносят значения сопрягающих частот на ось 
.
дБ/дек до первой сопрягающей частоты.
или на 
в зависимости от того, является ли сопрягающая частота – сопрягающей частотой апериодического, дифференцирующего звена первого порядка и т.п.
-ой асимптоты зависит от того, сопрягающей частотой какого элементарного звена является 
.
.
, 
, 
- заданная малая постоянная величина (обычно 5% от установившегося значения)
.
по формуле:
, т. е. 
.
по формуле: 
.
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 