Учебно-методический комплекс по дисциплине математика Специальность icon

Учебно-методический комплекс по дисциплине математика Специальность



Смотрите также:
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Введение в специальность» специальность:...
Учебно-методический комплекс по дисциплине дискретная математика Специальность...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика» (название)...
Учебно-методический комплекс по дисциплине высшая математика Специальность...
Учебно-методический комплекс по дисциплине По дисциплине «математика» (название дисциплины в...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Юридическая психология специальность «Юриспруденция»...
Учебно-методический комплекс по дисциплине алгебра специальность: 032200. 00 Физика и математика...
Учебно-методический комплекс по дисциплине Математика специальность...
Учебно-методический комплекс по дисциплине эконометрика Специальность...
Учебно-методический комплекс По учебной дисциплине «Астрономия» По специальности: 03220000...
Учебно-методический комплекс По учебной дисциплине «Астрономия» По специальности: 03220000...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Технология строительных процессов» Специальность...



скачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ


«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»


(МИИТ)


УТВЕРЖДАЮ:

Проректор по учебно-методической

работе – директор РОАТ

__________Апатцев В.И.

«__»__________2011 г.


Кафедра Высшая и прикладная математика


Автор Садыкова Оксана Ильисовна


УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ


Математика


Специальность: 080103.65 «Национальная экономика»



Утверждено на заседании

Учебно-методической комиссии РОАТ

Протокол № 4 от «01» июля 2011г.

Председатель УМК______Горелик А.В.

Утверждено на заседании

кафедры

Протокол № 7 от «21» июня 2011г.

Зав. кафедрой________Ридель В.В.



Москва 2011 г.

Автор-составитель:


Садыкова О.И., кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Высшая и прикладная математика»


Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика» составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности: 080103.65 «Национальная экономика».


Дисциплина входит в федеральный компонент цикла математических и естественнонаучных дисциплин и является обязательной для изучения.


^ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ


«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


^ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»


(МИИТ)


СОГЛАСОВАНО:

Выпускающая кафедра «Экономическая теория»

Зав. кафедрой________Степанян Т.М.

«_____» ___________2011г.

УТВЕРЖДАЮ:

Проректор по учебно-методической

работе – директор РОАТ

__________ Апатцев В.И.

«__» ________ 2011г.




Кафедра Высшая и прикладная математика


Автор Садыкова О.И., к.п.н., доцент


^ РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ


Математика


Специальность: 080103.65 «Национальная экономика».



Утверждено на заседании

Учебно-методической комиссии РОАТ

Протокол № 4 от «01» июля 2011г.

Председатель УМК______Горелик А.В.

Утверждено на заседании

кафедры

Протокол № 7 от «21» июня 2011г.

Зав. кафедрой________Ридель В.В.




  1. Цели и задачи дисциплины


Курс математики является фундаментом дальнейшего образования экономиста. Знание математики необходимо для изучения специальных дисциплин в особенности. Цель преподавания математики в РОАТ МИИТ состоит в том, чтобы ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения как теоретических, так и практических задач; привить студентам умение и привычку к самостоятельному изучению учебной литературы по математике; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных задач и умение сформулировать задачи по специальности на математическом языке.

^ 2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ


Изучив дисциплину «Математика» студент должен:

    1. Изучить основы линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии.

    2. Изучить основы математического анализа функций одной и нескольких переменных.

    3. Изучить элементы дискретного анализа.

    4. Изучить основы математического программирования

    5. Знать основные типы дифференциальных и разностных уравнений и методы их решения.

    6. Знать и уметь использовать на практике признаки сходимости числовых и функциональных рядов.

    7. Знать, важнейшие понятия теории вероятностей и математической статистики.

    8. Иметь представление о временных рядах, математическом моделировании.

^ 3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Специальность: 080103.65 «Национальная экономика» (очная форма обучения)


Вид учебной работы

Количество часов

Всего по уч. плану

Курс

1

2

1 се-местр

2 се-местр

3 се-местр

4 се-местр

1. Аудиторные занятия

421

110

98

1.1. Лекции

161

42

51

34

34

1.2. Практические и семинарские занятия

260

56

68

68

68

1.3. Лабораторные работы (лабораторный практикум) и т.д.
















1.4. Индивидуальные занятия
















2. Самостоятельная работа

429

107

107

107

108

^ 3. ВСЕГО ЧАСОВ НА ДИСЦИПЛИНУ

850




. Вид и количество текущего контроля (контрольная работа, курсовая работа, курсовой проект)
















5. Виды промежуточного контроля (экзамен, зачет)

экзамен

экза-мен

экза-мен

экза-мен

экза-мен


^ 4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ


4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ


N

Раздел дисципли-ны

1 курс

2 курс

1

семестр

2 семестр

3

семестр

4

семестр

Лекции, ч

Практические занятия, ч

Лекци, ч

Прак-

Тичес-кие занятия, ч

Лекции,ч

Прак

тика,ч

Практические занятия,ч

Лекции, ч

1

Элементы линейной алгебры

8

10



















2

Элементы аналитической геомет-рии

10

12



















3

Введение в математический анализ


8

12



















4

Дифференциаль-ное исчисле-ние функции одной перемен-ной

8

12



















5

Примене-ние дифференциаль-ного исчисле-ния для исследования функ-ций и построе-ния их графиков

8

10



















6

Неопределенный интеграл







10

14
















7

Определенный интеграл







10

16
















8

Функции несколь-ких перемен-ных







10

10
















9

Ряды







11

14
















10

Обыкновенные дифферен

циальные и разност-ные уравне-ния







10

14
















11

Теория вероятностей и математическая статисти-ка















34

68










12



Эконо-мико-математические методы



















34

68





4.2. ^ СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ


Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ


1.1. Прямоугольная и аффинная системы координат. Метод координат.

1.2. Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел.

1.3. Векторы. Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы и длина вектора. Условие коллинеарности двух векторов.

1.4. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами. Условие ортогональности двух векторов.

1.5. Система векторов. Разложение вектора по системе векторов. Линейная зависимость и независимость, базисы и ранг системы векторов. Пространство Rn . Ортогональность.

1.6. Матрицы. Действия с матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.

1.7. Определители. Свойства определителей. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

1.8. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера.

1.9. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

1.10. Общее решение системы линейных уравнений в векторной форме.

1.11 Уравнение линий плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

1.12 Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.

1.13. Уравнения плоскости и прямой в прямоугольной системе координат. Условия параллельности и перпендикулярности. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Прямые и плоскости в аффинном пространстве.

1.14. Поверхности второго порядка. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений.

1.15. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации. Разложение вектора по ортогональному базису.

1.16. Собственные значения и собственные векторы матриц и их свойства. Теорема о базисе пространства Rn из собственных векторов матрицы. Собственные векторы симметрической матрицы.

1.17. Квадратичные формы Rn . Понятие канонический базис. Условие Якоби. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Раздел 2. ^ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


2.1 Множества. Операции над множествами. Числовые множества. Грани множеств. Множества в Rn. Выпуклые множества и их свойства. Соответствие множеств. Счетные и несчетные множества. Отношения. Отношения тождества и упорядоченности.

2.2. Функция. Функциональное отношение. Соответствие. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

2.3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Свойства сходящихся последовательностей.

2.4. Алгебраические композиции числовых последовательностей и их пределы. Композиции с неопределенностью. Признаки существования предела монотонной ограниченной последовательности. Первый и второй замечательные пределы. Лемма Кантора. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Признак Больцано-Коши.

2.5. Монотонные функции. Композиция и суперпозиция функций.

Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций.

Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Типы разрывов.

2.6. Сравнение бесконечно малых функций.

2.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Раздел 3. ^ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


3.1. Производная функции, ее геометрический смысл и смысл в прикладных задачах (скорость, плотность). Эластичность функции.

3.2. Правила нахождения производной. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

3.3. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

3.4. Производные и дифференциалы высших порядков.

3.5. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.

3.6. Многочлен и формула Тейлора. Представление функций exp(x), sin(x), cos(x), ln(1+x), (1+x)σ по формуле Тейлора.

Раздел 4. ^ ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ


4.1. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.

4.2. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.

4.3. Асимптоты графика функции.

4.4. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

4.5. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой в данной точке.

Раздел 5. ^ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


5.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

5.2. Методы интегрирования. Замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных выражений, тригонометрических функций, некоторых иррациональных функций. Понятие о неберущихся интегралах.

Раздел 6. ^ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства.

6.2. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.

6.3. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.

6.4. Приложения определенных интегралов.

6.5. Несобственные интегралы. Интегрирование неограниченных функций и по бесконечному промежутку. Несобственные интегралы от положительных функций. Признаки сравнения.

6.6. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием.


Раздел 7. ^ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ


7.1. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.

7.2. Частные производные. Полный дифференциал, его геометрический смысл, связь с частными производными, применение в приближенных вычислениях.

7.3. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.

7.5. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области.

7.6. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений.


Раздел 8. РЯДЫ

8.1. Понятие числового ряда и его сходимости. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов.

8.2. Признаки сходимости рядов: общий признак, признак сравнения, признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши.

8.3. Понятие знакопеременного ряда, абсолютно сходящегося ряда, условно сходящегося ряда. Теорема Дирихле. Теорема Римана.

8.4. Понятие знакочередующегося ряда. Признак Лейбница.

8.5. Понятие функционального ряда. Область сходимости. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.

8.6. Свойства равномерно сходящихся рядов.

8.7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости и способы его определения. Свойства степенных рядов.

8.8. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

8.9. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Раздел 9. ^ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия: определение, решение, общее решение, частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши о существовании и единственности решения (без доказательства). Интегральная кривая. Начальные условия. Задача Коши. Особые точки. Геометрический смысл уравнения первого порядка. Элементы качественного анализа.

9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Виды уравнений и методы решения. Уравнения с разделяющимися переменными. Неполные уравнения. Линейные уравнения, однородные и неоднородные.

9.3. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия. Теорема Коши о существовании и единственности решения (без доказательства). Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

9.4. Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные уравнения, однородные и неоднородные.

9.5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Краевая задача.

9.6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Система уравнений первого порядка. Нормальная форма. Теорема Коши. Задача Коши и краевая задача для уравнения n-го порядка. Линейные уравнения n-го порядка. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

9.7. Линейные обыкновенные разностные уравнения. Основные понятия. Сетки и сеточные функции. Однородные и неоднородные уравнения. Свойства решений.

9.8. Решение линейных обыкновенных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры. Системы линейных разностных уравнений первого порядка.

Раздел 10. ^ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА


10.1. Случайные события. Алгебра событий. Классическое и статистическое определение вероятности события.

10.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

10.4. Виды случайных величин. Распределение дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия числа появления события в независимых испытаниях. Начальные и центральные моменты.

10.5. Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей. Квантиль. Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана. Моменты.

10.6. Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа.

10.7. Системы случайных величин. Распределение двумерной случайной величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Линейная регрессия.

10.8 Закон распределения вероятностей для функций случайных величин.

10.9. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема и ее следствия.

10.10. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Генеральная совокупность и выборка. Типы выборок. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.

10.11 Статистические оценки. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. Анализ смещенности выборочной средней и выборочной дисперсии. Начальный и центральный эмпирические моменты. Число степеней свободы. Основные законы распределения статистических оценок.

10.12. Точечная и интервальная оценки. Доверительный интервал. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения.

10.13. Доверительный интервал для оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения нормального распределения.

10.14. Статистическая гипотеза. Ошибки первого и второго рода. Проверка статистических гипотез. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей, сравнение выборочной средней с математическим ожиданием, сравнение выборочной дисперсии с генеральной дисперсией, сравнение двух математических ожиданий.

10.15. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона.

10.16. Зависимости между случайными величинами в экономике. Типы зависимостей. Линейная связь. Корреляция. Регрессионный анализ. Выборочное уравнение регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным и сгруппированным данным.

10.17. Дисперсионный анализ. Понятие о дисперсионном анализе. Факторная и остаточная дисперсии.

10.18. Основные понятия многомерного статистического анализа. Методы факторного анализа, их область применения. Метод главных компонент. Классификация объектов, описываемых количественными и качественными признаками. Примеры кластер-анализа.

Раздел 11. ^ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ


11.1. Математическое программирование

11.1.1. Математическая модель задачи математического линейного программирования. Примеры составления математических моделей экономических задач. Каноническая форма и приведение к ней общей задачи линейного программирования.

11.1.2. Графический метод решения задач линейного программирования. Задачи с двумя и с n переменными. Свойства решений задач линейного программирования. Многоугольники и многогранники. Экстремум целевой функции. Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.

11.1.3. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Нахождение начального опорного решения и переход к новому опорному решению. Преобразование целевой функции. Улучшение опорного решения. Алгоритм симплексного метода. Метод искусственного базиса и особенности его алгоритмов.

11.1.4. Теория двойственности. Виды математических моделей двойственных задач. Правила составления двойственных задач. Первая и вторая теоремы двойственности. Двойственный симплексный метод и его алгоритм. Постоптимальный анализ.

11.1.5. Транспортная задача линейного программирования. Формулировка, математическая модель, необходимое и достаточное условия разрешимости, свойства системы ограничений, опорное решение. Методы построения начального опорного решения. Переход от одного опорного решения к другому. Распределительный метод. Метод потенциалов и его алгоритмов. Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность. Транспортная задача по критерию времени. Применение транспортной задачи для решения экономических задач.

11.1.6. Целочисленное программирование. Метод Гомори. Метод ветвей и границ.

11.1.7. Нелинейное программирование. Выпуклые функции и множества. Задача выпуклого программирования. Методы решения задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера. Примеры экономических задач.

11.1.8. Динамическое программирование. Принцип оптимальности и реккурентные соотношения Беллмана. Примеры экономических задач.

11.2. Элементы теории Марковских процессов и систем массового обслуживания

11.2.1. Цепи Маркова. Вероятности переходов и состояний. Классификация состояний. Эргодическая теорема. Процессы гибели и рождения, вероятности состояний.

11.2.2. Системы массового обслуживания с ожиданием, отказами, ограниченным накопителем, ограниченным временем ожидания. Замкнутые, разомкнутые, многофазные системы массового обслуживания. Стохастические сети.


^ 5.САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА


Перечень тем самостоятельных занятий


Раздел 1. Метод координат. Комплексные числа, действия с ними. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. И его свойства. Система векторов. Разложение вектора по системе векторов.

Матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы. Определители. Свойства определителей. 39 часа.

Раздел 2.

Функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Свойства функций непрерывных на отрезке. 39 часа.

Раздел 3.

Производная функции ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, произведения и частного. Ее геометрический смысл и смысл в прикладных задачах. 39 часа.

Раздел 4.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Несобственные интегралы. Использование понятия определенного интеграла в экономике. 39 часа.

Раздел 5.

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия со сходящимися рядами. Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки. Условные сходимости математические: сравнения, Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Функциональные ряды. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Теорема сходимости Чебышева. Теорема. Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. 39 часа.

Раздел 6.

Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике. 39 часа.


Раздел 7.

Генеральная совокупность и выборка. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки. Точечная и интервальные оценки. Основные законы распределения статистических оценок. Метод моментов и метод наименьшего правдоподобия. Регрессионный анализ. Выборочное уравнение регрессии. Дисперсионный анализ. Факторная и выборочная дисперсии. 39 часа.

Раздел 8.

Транспортная задача линейного программирования. Метод потенциалов. Примеры решения экономических задач. 39 часа.

Раздел 9.

Основные понятия и виды графов. Операции над графами. Матрицы графов. Примеры. 39 часа.

Раздел 10.

Математическая модель и ее основные элементы. Моделирование в экономике. Функции полезности, спроса и предложения. Уравнение Слутского. Применение эластичности в экономическом анализе. 39 часа.

Раздел 11.

Производственные функции. Модели оптимизации производства.

Статистическая и динамическая модель межотраслевого баланса. Модель Леонтьева. Модель Неймана. 39 часа.


^ 6. Информационно – методическое обеспечение дисциплины


6.1. Основная литература


  1. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник / Под ред. проф. В. И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2009.

  2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие/ Под ред. проф. В. И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2009.

  3. Красс М. С. Математика для экономических специальностей. Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2007.

  4. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Учебник. – М.: Дело, 2007.

  5. Высшая математика для экономистов. Учебник/ Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005.

  6. Малыхин В. И. Математика в экономике. Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003.

  7. Клименко Ю. И. Высшая математика для экономистов в примерах и задачах. Учебное пособие. – М.: Экзамен, 2006.


^ 6.2. Дополнительная литература

  1. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1998.

  2. Математика. Рабочая программа для студентов I и II курсов специальностей: 060400 (Ф), 060500 (БУ), 060700 (НЭ), 060800 (Э), 061100 (МО), 061500 (М), 351400 (ЭИ). – М.: РОАТ, 2009, шифр 3/12/1.

  3. Математика. Задания на контрольные работы №1 – 3 для студентов- заочников I курса специальностей: 060400 (Ф), 060500 (БУ), 060700 (НЭ), 060800 (Э), 061100 (МО), 061500 (М), 351400 (ЭИ). – М.: РОАТ, 2009, шифр 3/9/3.

  4. Ридель В.В., Алексеев В.Н., Приказчиков Д.А. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Уч. пособие. -М.:МИИТ, 2009.-76с.

  5. Блистанова Л.Д. Методические указания по выполнению контрольных заданий N 1-4.- М.: РГОТУПС, 2006.-128с.

  6. Алексеев В.Н., Приказчиков Д.А., Ридель В.В. Ряды. Уч. пособие-М.:МИИТ, 2010.

  7. Малышева И.А. Теория массового обслуживания: Уч.пос.-М.: МИИТ, 2010.-96с.



^ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Успешное освоение дисциплины предполагает активное, творческое участие студента путем планомерной, повседневной работы.

Изучение дисциплины следует начинать с проработки рабочей программы, особое внимание, уделяя целям и задачам, структуре и содержанию курса.


Самостоятельная работа студентов заключается в изучении рекомендуемой литературы согласно разделам рабочей программы, решении типовых задач и подготовке к зачетам , экзаменам.

Задачи и упражнения для аудиторной и самостоятельной работы студента обеспечивают закрепление лекционного материала и подготовку к выполнению контрольной и лабораторных работ.

Степень усвоения студентами теоретических знаний и практических навыков проверяется сдачей зачета и экзамена по курсу.


^ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ


Одной из важных форм обучения студента-очника является самостоятельное изучение дисциплины. Для самостоятельного изучения математики имеется список литературы в рабочей программе. Помимо литературы из рабочей программы, преподаватель может рекомендовать литературу по своему усмотрению, наиболее соответствующую разработанному им курсу лекционных и практических занятий.

В университете проводятся лекции, но они не могут охватить все вопросы программы и имеют установочный характер. Преподавателю рекомендуется ориентироваться на уровень того потока студентов, с которыми он проводит занятия. В помощь студенту преподаватель должен проводить консультации.

Преподаватель выдает студентам задачи для самостоятельного решения после каждого практического занятия. Для проверки своих решений студенту предлагается воспользоваться пакетом прикладных программ.

Также рекомендуется давать аудиторные контрольные работы. Преподаватель рецензирует контрольную работу и отмечает ошибки. Выносится заключение: «Работа к зачету допущена» или «Работа к зачету не допущена». Зачет по контрольной работе студент получает после собеседования с преподавателем.


^

МАТЕРИАЛЫ ТЕКУЩЕГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ


Вопросы и примеры для самопроверки


Часть1


1. Сформулируйте определение понятия “система координат” на прямой, на плоскости, в пространстве.

2. Что называется базисом системы координат на прямой, на плоскости, в пространстве?

3. Что называется вектором?

4. Как задать вектор, определить его длину, направление и проекции в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости, в пространстве?

5. Что называется декартовой ортонормированной системой координат на плоскости, в пространстве?

6. Запишите формулу разложения вектора на составляющие в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости, в пространстве.

7. Что называется радиусом-вектором?

8. Задайте точку и нарисуйте её положение на прямой, на плоскости, в пространстве.

9. Задайте координаты четырех вершин треугольной пирамиды и нарисуйте положение пирамиды в пространстве.

10. Запишите формулу расстояния между двумя точками на плоскости, в пространстве.

11. Что называется скалярным произведением двух векторов; скалярное произведение – это число или вектор?

12. Запишите формулу скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов.

13. Как определить угол между двумя векторами с помощью скалярного произведения?

14. Каковы способы задания прямой, запишите различные формы уравнения прямой на плоскости.

15. Каковы способы задания плоскости, запишите различные формы уравнения плоскости в пространстве.

16. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными?

17. Что называется матрицей?

18. Что называется определителем матрицы?

19. Как вычислить определитель 2-го, 3-го и -го порядка методом разложения по элементам любой строки и любого столбца?

20. Что называется векторным произведением двух векторов; векторное произведение – это число или вектор?

21. Запишите формулу векторного произведения через координаты перемножаемых векторов.

22. Как определить площадь треугольника с помощью векторного

произведения, каковы должны быть исходные данные?

23. Что называется смешанным произведением трех векторов; смешанное произведение – это число или вектор?

24. В чем состоит геометрический смысл смешенного произведения трех векторов?

25. Запишите формулу смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.

26. Запишите условие компланарности трех векторов с помощью смешенного произведения.

27. Выведите уравнение плоскости с помощью условия компланарности трех векторов.

28. Как определить объем треугольной пирамиды с помощью смешанного произведения трех векторов?

29. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки; в чем состоит смысл коэффициентов этого уравнения?

30. Каковы способы задания прямой в пространстве?

31. Запишите условие коллинеарности двух векторов.

32. Запишите канонические уравнения прямой в пространстве.


Часть2

1. Что называется кривыми линиями второго порядка?

2. Запишите общие уравнения кривых линий второго порядка.

3. Что называется окружностью, в чём состоит основное свойство окружности?

4. Запишите каноническое уравнение окружности.

5. Как по виду канонического уравнения окружности установить координаты центра окружности и радиус?

6. Что называется эллипсом, в чем состоит основное свойство эллипса?

7. Какие точки плоскости называются фокусами эллипса?

8. Запишите соотношение между длинами большой и малой полуосей эллипса и расстоянием от центра эллипса до фокуса.

9. Запишите каноническое уравнение эллипса.

10. Как по виду уравнения эллипса установить координаты его центра и длины большой и малой полуосей?

11. Что называется гиперболой, в чем состоит основное свойство гиперболы?

12. Какие точки плоскости называются фокусами гиперболы?

13. Запишите соотношение между длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы и расстоянием от центра гиперболы до фокуса.

14. Запишите каноническое уравнение гиперболы.

15. Как по виду уравнения гиперболы установить координаты её центра и длины действительной и мнимой полуосей?

16. Запишите уравнение асимптот гиперболы.

17. Что называется параболой, в чем состоит основное свойство параболы?

18. Какая точка плоскости называется фокусом параболы?

19. Что называется директрисой параболы, запишите уравнение директрисы.

20. Запишите каноническое уравнение параболы.

21. Как по виду уравнения параболы установить координаты вершины параболы и положение директрисы на плоскости?

22. Запишите общее уравнение окружности, эллипса, гиперболы и параболы.

23. При каких условиях из общего уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы получаем общее уравнение окружности, общее уравнение эллипса, общее уравнение гиперболы, общее уравнение параболы?

24. Выполните преобразование общего уравнения окружности к виду канонического уравнения окружности.

25. Выполните преобразование общего уравнения эллипса к виду канонического уравнения эллипса.

26. Выполните преобразование общего уравнения гиперболы к виду канонического уравнения гиперболы.

27. Выполните преобразование общего уравнения параболы к виду канонического уравнения параболы.


Часть 3


1. Что называется аффинной, или общей декартовой, системой координат в трехмерном пространстве?

2. Что называется базисом аффинной системы координат?

3. Что называется координатной плоскостью?

4. Какую проблему позволяет решить система координат?

5. Что называется аффинными координатами точки пространства?

6. Как, используя линейные операции над векторами, разложить радиус-вектор произвольной точки пространства на составляющие по координатным осям?

7. Что называется декартовой косоугольной системой координат?

8. В каком случае аффинная система координат становится прямоугольной ортонормированной системой координат?

9. Запишите условие, при котором на трех векторах, как на сторонах, можно построить параллелепипед.

10. Запишите условие, при котором три вектора образуют базис системы координат.


Часть 4


1. Запишите алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса, используя два элементарных преобразования системы: деление уравнений на коэффициенты при неизвестных и вычитание уравнений.

2. В каких случаях находит применение метод Гаусса решения системы линейных уравнений?

3. Что мы понимаем под эквивалентными системами линейных уравнений?

4. Какие преобразования системы линейных уравнений называются элементарными?

5. К системе какого вида имеет своей целью приведение заданной системы линейных уравнений методом Гаусса?

6.Как решается система линейных уравнений треугольного вида, полученная из исходной методом Гаусса?

7. В чем заключается проверка полученного решения системы линейных уравнений?

8. Существует ли возможность, если ″да″, то опишите её, решения системы линейных уравнений методом Гаусса в компактном виде без переписывания обозначений самих неизвестных?

9. Какие системы линейных уравнений называются определенными, неопределенными?

10. Какие системы линейных уравнений называются совместными, несовместными?

11. Запишите вид противоречивого уравнения.

12. Позволяет ли метод Гаусса обнаружить противоречивое уравнение и сделать заключение о несовместности системы линейных уравнений?

13. В чем состоит жорданово преобразование системы линейных уравнений?

14. Опишите метод Жордана–Гаусса решения системы линейных уравнений.

15. Какое неизвестное в системе линейных уравнений называется разрешающим?

16. Что называется разрешенным уравнением в системе линейных уравнений, решаемых методом Жордана-Гаусса?

17. Что называется разрешенной системой линейных уравнений?


Часть 5


1. Сформулируйте определение понятия ″функция″.

2. Запишите определение понятия ″функция″ в символической логической форме.

3. Какие формы записи используют для обозначения функции?

4. Что называется областью определения функции, независимой переменной (аргументом), областью значений функции, зависимой переменной?

5. В каком случае аргумент называют прообразом, а значение функции образом?

6. Запишите выражение прообраза через образ.

7. Что называется обратной функцией?

8. Что называется графиком функции?

9. Приведите примеры функций.

10. Что называется основными элементарными функциями?

11. Что называется суперпозицией функций?

12. Что называется элементарной функцией?

13. Что называется конечной и бесконечно удаленной точкой числовой оси?

14. Что называется окрестностью конечной и бесконечно удаленной точки, как её обозначить символически?

15. Что называется числовой функцией, числовой последовательностью?

16. Что называется пределом числовой последовательности, как его обозначить символически?

17. Что называется бесконечно малой числовой последовательностью?

18. Сформулируйте определение предела функции по Гейне (в терминах последовательностей).

19. Запишите определение предела функции по Гейне в логической символической форме.

20. Пользуясь определением предела функции по Гейне, ответить на вопрос: существует или нет предел заданной функции в точке , если существует, то найти его значение:

1)

2) .

21. Сформулируйте определение предела функции по Коши в общем случае (в терминах окрестностей).

22. Сформулируйте определение конечного предела функции по Коши в конечной точке (в терминах неравенств)(( ) − определение).

23. Запишите определение предела функции по Коши в логической

символической форме.

24. Сформулируйте определение конечного предела функции по Коши в бесконечно удаленной точке (в терминах неравенств).

25. Сформулируйте определение бесконечного предела функции по Коши в конечной точке (в терминах неравенств).

26. Пользуясь определением предела функции по Коши, доказать справедливость выражений:

1)

2)

3) .

27. Запишите и объясните символическое обозначение одностороннего предела функции в точке слева и справа.

28. Являются ли эквивалентными определения предела функции по Гейне и по Коши и различна ли целесообразность их применения?

29. Что называется бесконечно большой и бесконечно малой функцией?

30. Приведите пример бесконечно большой и бесконечно малой функции.

31. Сформулируйте теорему существования конечного предела функции в точке.

32. Сформулируйте основные теоремы о пределах, используемые для нахождения предела функции.

33. Запишите формулы двух замечательных пределов.

34. Какие локальные свойства функции в точке исследуются с помощью предела?

35. Какие выражения при нахождении предела функции не имеют смысла и называются неопределенными?

36. Объясните простейшие приёмы раскрытия неопределенностей, используемые при нахождении предела функции.

37. Найдите пределы:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9) .

5)


Часть 6

1. Сформулируйте определение непрерывной в точке функции, запишите условие непрерывности.

2. В каком случае символы предела и функции можно поменять местами?

3. Сформулируйте теоремы о непрерывности основной элементарной функции и элементарной функции в каждой точке области определения.

4. Что называется точкой разрыва функции?

5. Что называется точкой разрыва 1-го рода, приведите пример.

6. Что называется скачком функции в точке, приведите пример.

7. Что называется точкой устранимого разрыва, приведите пример.

8. Что называется точкой разрыва 2-го рода, приведите пример.

9. Что называется неэлементарной функцией, приведите пример.


Упражнения для самостоятельной работы

Упражнение 1


1-10. Даны вершины А1 (, ,), А2 (, , ), А3 (, , ),

А4 (, , ), пирамиды.

Найти:

  1. длину ребра А1А2;

  2. угол между ребрами А1А2 и А1А4;

  3. уравнение грани А1А2 А3 и ее площадь;

  4. уравнения высоты, опушенной из вершины А4 на грань А1А2 А3.

1. А1 (3,2,1), А2 (1,3,2), А3(2,0, –1), А4(4,–2,3).

2. А1 (2,–1,8), А2 (3,4,4), А3(2,–1,2), А4(6,1,6).

3. А1 (8,5,0), А2 (–3,7,–5), А3(–4,1,3), А4(–2,1,–4).

4. А1 (0,1,–1), А2 (3,–4,4), А3(6,–1,3), А4(5,2,–1).

5. А1 (3,2,–3), А2 (3,–1,1), А3(0,2,–2), А4(4,–2,3).

6. А1 (0,6,–1), А2 (3,–8,2), А3(4,–1,0), А4(2,1,–4).

7. А1 (2,–3,2), А2 (0,5,4), А3(5,6,1), А4(–2,1,3).

8. А1 (6,–2,0), А2 (6,2,–1), А3(2,–1,4), А4(–2,7,4).

9. А1 (1,4,–2), А2 (–3,0,3), А3(8,0,1), А4(1,–4,0).

10. А1 (1,8,2), А2 (4,–1,2), А3(–1,5,3), А4(3,3,–3).


Упражнение 2


11–20. Составить уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется следующее условие:

11. Сумма квадратов расстояний до точек А(1;1) и В(–3;3) равна 20.

12. Сумма квадратов расстояний до точек А(3;-3), В(1;1) и С (–1;1) равна 28.

13. Сумма квадратов расстояний до точек А(3;-3), В(–1;1), С (–1;0) и D(2;–4) равна 58.

14. Квадрат расстояния до точки А(0;3), на 3 больше квадрата расстояния до оси абсцисс.

15. Сумма расстояний до точек А(6;0) и О(0;0) равна 10.

16. Квадрат расстояния до точки А(2;0) на 16 больше квадрата расстояния до оси координат.

17. Сумма квадратов расстояний до сторон прямоугольника, образованного прямыми , , , равна 20.

18. Расстояние до точки А(0;3) равно расстоянию до оси абсцисс.

19. Разность расстояний до точек А(0;10) и О(0;0) равна 8.

20. Расстояние до точки А(2;0) равно расстоянию до оси ординат.


Упражнение 3


21-30. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

21. (7;3;0), (4;1;1), (–7;1;12), (–11;8;5).

22. (2;0;3), (–9;2;10), (–4;2;10), (–1;-2;–10).

23. (1;2;2), (5;–2;–7), (0;5;–1), (–2;6;–6).

24. (–2;3;1), (2;6;7), (4;–1;0), (6;–3;–5).

25. (1;3;1), (1;–8;2), (0;–5;3), (3;–8;2).

26. (2;5;–1), (–1;2;–6), (–2;1;1), (–11;–5;–1).

27. (–1;4;3), (5;0;1), (–1;4;4), (–7;8;7).

28. (3;3;2), (1;2;3), (1;–1;4), (4;–1;7).

29. (–2;–1;1), (2;3;0), (–4;2;3), (–10;–9;3).

30. (1;5;1), (–2;5;4), (3;–1;2), (4;19;9).


Упражнение 4


31–40. Применяя метод Гаусса исключения неизвестных, решить систему линейных уравнений. Сделать проверку найденного решения.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.


Упражнение 5


41–50. Найти:

41. а) б) в)


42. а) б) в)


43. а) б) в)


44. а) б) в)


45. а) б) в)


46. а) б) в)


47. а) б) в)


48. а) б) в)


49. а) б) в)


50. а) б) в)


Упражнение 6


51-60. Задана функция . Найти все точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.

51. 52.

53. 54.


55. 56.

57. 58.

59. 60.




Скачать 350,02 Kb.
оставить комментарий
Садыкова О.И
Дата10.03.2012
Размер350,02 Kb.
ТипУчебно-методический комплекс, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх