Лекции по Теории Функций Комплексного Переменного icon

Лекции по Теории Функций Комплексного Переменного


1 чел. помогло.

Смотрите также:
Рабочая учебная программа дисциплины Теория функций комплексного переменного Направление...
Рабочая учебная программа дисциплины Теория функций комплексного переменного Направление...
Программа курса лекций (3 курс, 6 семестр, 32 ч., экзамен) Профессор, д ф. м н...
Ф. И. О. научного руководителя, учёная степень, учёное звание...
Программа дисциплины дпп. Ф. 04 Теория функций комплексного переменного (050201. 65 Математика)...
Рабочая программа дисциплины (модуля) дифференциальные уравнения...
Высшая математика I теория функций комплексного переменного иттф (гр. 9-12)...
Программа дисциплины дпп. Ф. 0 3 Теория функций действительного переменного (050201...
Рабочая программа дисциплины (модуля) Математический анализ...
Изложение курса строится на основе классических курсов теории функций действительного и...
Зарождение теории Галуа (XIX век)...
Математические и естественнонаучные дисциплины Базовая часть...



страницы:   1   2   3   4
скачать
ЛЕКЦИИ


по


Теории Функций Комплексного Переменного


Автор: Каменский А.Г.


Набор: Шатов А.Н.

e-mail: nclog@bk.ru


2003г.


Лекция №1

Комплексные числа


Опр. x+iy – комплексное число, где x,y – действительные числа, i – мнимая единица.

;

Опр. Комплексное число – упорядоченная пара действительных чисел: z=(a,b).


Пусть =(a,b); =(c, d);

+=(a+c, b+d);

g= (ga, gb), где g – действительное число;

=(ac-bd, ad+bc);

(0,1)=i;

(0,1)(0,1)=(-1,0);

z=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x+iy;

;


y


(x,y)




x


|z| = = r;

arg z= = arctg - аргумент комплексного числа;

Arg z = + 2 - главный аргумент;

z = r(cos + i*sin)= r;

= cos + i*sin - формула Эллера.

=+i=(cos+i*sin);

=+i=(cos+i*sin);

=(cos(+)+i*sin(+));

=(cos n+sin n);

(cos + i*sin), k=0,1,…,n-1;

= x-iy

z=|z=;

^ Топология комплексной плоскости


Опр. - расстояние между числами .

Опр. -окрестностью z называется множество всех таких точек :

Опр. = w



Опр. Множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Опр. Множество называется открытым, если каждая его точка принадлежит ему с некоторой ее окрестностью.

Опр. Множество называется связанным, если всякие его две точки можно соединить ломанной с конечным числом звеньев, целиком принадлежащих этому множеству.

^ Опр. Открытое связанное множество называется областью.

Опр. Множество называется односвязанным, если оно ограничено одной несамопересекающейся замкнутой кривой и оно связанное.

Опр. Множество называется двусвязанным, если оно ограничено двумя несамопересекающейся замкнутыми кривыми и оно связанное.


^ Функции комплексного переменного


Опр. Если даны множества М и G на комплексной плоскости и каждому z из M соответствует w из G, то говорят, что функция .

Опр. ;



Опр. (1) - степенной ряд.

Утв. Ряд (1) сходится внутри круга и расходится вне его. При он сходится равномерно.


Некоторые разложения:

;

;


;


Докажем формулу Эллера:

= cos + i*sin



;

;

-доказывается умножением рядов.

;

;

Периодичность функции :

;


Опр. =, если



Опр. Множество точек z: называется окрестностью бесконечно удаленной точки.

Лекция 2

^ Дифференцируемость функций комплексного переменного


Опр. , если этот lim и не зависит от того, как стремится к нулю.


Если z=z+iz, то


Теорема. Если дифференцируема в точке z и ,то в точке z выполняются условия Коши-Римана:



Док-во:


Y z+


z z+


X

;

;


.

Теорема. Если u и v дифференцируемые функции в точке z и для них выполнены условия Коши-Римана, то w=u+iv будет дифференцируемой в точке z.

;

;


;

^ Опр. Функция f(z) наз. Аналитической в точке z, если она дифференцируема в точке z и в некоторой ее окрестности.

Пример.









условия Коши-Римана выполняются





^ Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части.







Опр. Функция называется гармонической в области G, если в этой области выполняются условие:



Утв. Если функция аналитическая, то ее действительная и мнимая части – гармонические функции.

Док-во:

;

;

т.к. , складывая эти равенства, получаем , т.е.

u – гармоническая функция. Аналогично v - гармоническая функция.

Доказано.







Пример.





Опр. Функция f(z) называется однолистной в области G, если:



Пример.

- не однолистная на всей плоскости

- однолистная в области


Поверхности Римана


1.




z х W v

- +

- -

+

y u

+









Разрежем плоскость W по лучу Ох. Верхний край первой плоскости соединим с нижним краем второй, верхний край второй соединим с нижним краем третей и т.д. до n. Верхний край n-ой плоскости склеим с нижним краем первой. Получим поверхность Римана для функции .


2.

y + v



-

+

+

x u -







Лекция 3

Конформные отображения



Опр. Отображение обладающие свойствами консерватизма углов и постоянства растяжений называется конформным.

Теорема. Если аналитическая функция в области G в G, то задает конформное отображение области G.

Док-во:

y v

w




z

x u


; ;

; ;

- постоянство растяжений.





- консерватизм углов.

Доказано.


1. Линейная функция.



1) - параллельный перенос.

2)







При линейном преобразовании прямые переходят в прямые, окружность переходит в окружность.


2. Дробно-линейная функция.




, т.е. дробно-линейное преобразование сводится к линейному и функции .

Опр. Обобщенная окружность:



, т.е. это окружность или прямая.

Теорема. Дробно-линейная функция отображает обобщенную окружность в обобщенную окружность.

Док-во:

























- обобщенная окружность.

Опр. Точки B и С - сопряженные относительно окружности Г, если любая окружность , проходящая через эти точки, ортогональна Г.

Лемма. Если точки В и С явл. Сопряженными относительно окр-ти с центром О, А-точка пересечения Г и ., то .

Утв. Если дробно – линейное отображение, то переводит точки, сопряженные относительно окружности, в точки, сопряженные относительно ее образа.





Z W

А С



В

O




;



, т.е. сопряженными являются точки 0 и .


Примеры решения задач:

Задача 1.

Отобразить полуокружность в единичный круг.


Z W


-1 1


Решение:



и сопряженные относительно Ох, т.е. действительная ось отображается в окружность.

;

- искомое отображение.


Задача 2.

Отобразить отрезок в единичный круг.

Z

3i

i


Решение:

- отобразить отрезок в ;

;

;

;




Задача 3.

Отобразить полосу в единичный круг.





  1. 2



Решение:


;

;

;

;

;

;







Функция Жуковского


;

;

;

,

1) - эллипс



2)


- функция, обратная функции Жуковского.


^ Теорема Римана

Если G – односвязная область, граница которой состоит более чем из одной точки, то существует аналитическая функция, задающая конформное отображение G на единичный круг.

Лекция 4


^ Интеграл функции комплексного переменного


Пусть на комплексной плоскости задана кривая L - кусочногладкая, конечная, ориентированная.














;










Опр. - некоторая функция

, где .

Существование интеграла и методы его вычисления.


Утв1. Если ; u и v – непрерывные функции; дуга L – кусочно гладкая, то соответствующие криволинейные интегралы и .


Док-во:







Утв2. Если , u и v – непрерывные, дуга L – кусочно гладкая, то .

Док-во:

По Утв1

;

;

.

Свойства интеграла


1.

2.

3.

4. , где -L – обход дуги L в обратную сторону.

5. Если , то , где -длина L.

Док-во:








длина хорды.

Замечание. Криволинейный интеграл существенно зависит от кривой.

Утв. .


Док-во:

.

След.

Утв. где

Док-во:



()






Основная теорема Коши для односвязаной области


Если G – односвязная область, - аналитическая внутри G. Г – замкнутый контур, лежащий внутри G, то

Док-во:

G

Г


Из Утв1. (1)

Из теории криволинейного интеграла известно, что

если , (2)

то (3)

т.к. f – аналитическая, то выполнены условия Коши – Римана:



в силу (2) и (3) из (1) следует, что

След. Если дуги и соединяют точки А и В и, при этом дуга обходится в направлении от А к В, а дуга обходится в направлении от В к А, то

Док-во:

.

^ Зам. Для аналитической функции важны лишь начало и конец дуги.


Основная теорема Коши для многосвязной облости


Теорема. Если G – многосвязаная область, связанная некоторыми контурами, - аналитическая функция в G и на границе G, то интеграл по границе области G, проходимой по следующему правилу: при прохождении контура непосредственно примыкающая к нему область должна находится по левую руку (Г проходится по часовой стрелке, а -по стрелке) равен нулю.





Скачать 370,36 Kb.
оставить комментарий
страница1/4
Каменский А.Г
Дата04.03.2012
Размер370,36 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4
отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх