Исследование движений твердого тела в физике представляет интерес также с иной точки зрения. Ведь с твердым телом часто связывают систему отсчета. Изнание ее возможных движений является весьма важным

скачать Лекция 13 Движения твердого тела Равновесие твердого тела. Кинематика и динамика форм движений твердого тела. Вычисление моментов инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Сведение плоского движения к поступательному и аксиальному движениям. Мгновенная ось вращения. Главные и свободные оси вращения твердого тела. Кинетическая энергия вращательного движения. Многие прикладные задачи механики связаны с равновесием или с разнообразными движениями твердого тела. Исследование этих движений, вообще говоря, представляет достаточно сложную математическую задачу. Аналитическими методами они решаются лишь в относительно простых случаях. Здесь мы рассмотрим некоторые простейшие движения, причем, считая тело абсолютно твердым. Исследование движений твердого тела в физике представляет интерес также с иной точки зрения. Ведь с твердым телом часто связывают систему отсчета. И знание ее возможных движений является весьма важным. Мы уже установили, что твердое тело обладает шестью степенями свободы. Для исследования движений такой системы необходимо иметь шесть независимых скалярных (или двух векторных) уравнений. Таковыми являются уравнение движения центра инерции и уравнение моментов: (13.1) . (13.2) Причем уравнение моментов можно применить как относительно произвольной неподвижной точки и центра инерции тела, так и относительно любой точки, мгновенная скорость которой параллельна скорости центра инерции тела. Заметим, что в правых частях этих уравнений входят лишь внешние силы. Внутренние силы никак не влияют на равновесие и движения тела. Если на тело наложены связи, то, убывая число степеней свободы, они уменьшают и количество уравнений, описывающих его движения. Равновесие твердого тела. Для покоящегося твердого тела уравнения (13.1), (13.2) переходят в (13.3) которые представляют необходимые, но недостаточные условия равновесия твердого тела, так как при их выполнении центр инерции может двигаться с постоянной скоростью, а само тело – вращаться с постоянной угловой скоростью. Вопросами равновесия тел занимается отдельный раздел механики – статика. ^ Типы движения твердого тела. Различаются следующие типы движения твердого тела: - поступательное, - аксиальное, - сферическое, - плоское, - произвольное. Однако оказывается, основными являются поступательное и аксиальное типы движений, так как скоро увидим, что все остальные движения сводятся к этим двум. Поступательным называется движение, при котором линии, соединяющие любые две точки твердого тела, перемешаются параллельно самим себе. Это простейший тип движения, при котором все точки твердого тела имеют одинаковые скорости, ускорения и описывают одинаковые траектории. Поэтому исследование поступательного движения сводится к изучению движения его какой-либо точки, например его центра инерции. Следовательно, поступательное движение обладает тремя степенями свободы и описывается уравнением движения центра инерции (13.1), с помощью которого, имея начальные условия, находим закон движения. Основные формулы, описывающие поступательное движение, являются: (13.4) Аксиальным называется движение тела вокруг неподвижной оси. Очевидно, при этом все точки описывают окружности, центры которых лежат на неподвижной оси, которая называется осью вращения. ^ Кинематика аксиального движения. Если описание кругового движения материальной точки можно осуществить «линейными» кинематическими характеристиками , не прибегая к угловым величинам , то при описании аксиального движения твердого тела нельзя обойтись без введения последних. Дело в том, что разные точки вращающегося тела характеризуются разными значениями , в то время как все они имеют одинаковые и . Что касается линейным параметрам, то они связаны с угловыми параметрами формулами (13.5) и характеризуют движения отдельных точек, а не вращения тела в целом. ^ Динамика аксиального движения. Аксиальное движение обладает одной степенью свободы. Закон движения (13.6) определяется решением основного уравнения динамики вращательного движения , (13.7) где – момент инерции тела и момент внешних сил относительно оси вращения соответственно, а (13.8) - проекции углового ускорения и угловой скорости на ось вращения. Задавая начальные условия движения и , по известному моменту внешних сил и решая уравнения (13.7) и (13.8), получим соответствующий закон движения (13.6). Момент импульса (угловой момент ) и кинетическая энергия аксиального движения тела, как показали ранее, выражаются формулами , (13.9) где - момент инерции тела относительно неподвижной оси. Аналогия формул, описывающих поступательное и аксиальное движения очевидна. Заменой из формул поступательного движения получаем соответствующие формулы аксиального движения и наоборот. Сферическим называется движение тела с одной неподвижной точкой. Такое тело может совершить лишь независимые вращения вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через неподвижную точку О. Так что сферическое движение обладает тремя степенями свободы и описывается уравнениями моментов (13.2) относительно неподвижной точки. Более удобными для применения представляются эти уравнения, написанные относительно вращающейся с твердым телом системе отсчета. Они называются уравнениями Эйлер, которые выходят за рамки курса общей физики. Здесь мы ограничимся лишь доказательством теоремы Эйлера, которая твердит, что в любой момент времени сферическое движение можно представить как аксиальное движение вокруг некоторой мгновенной оси, проходящей через закрепленную точку. Рис. 13.1 Пусть тело участвует в двух вращениях – с угловой скоростью вокруг оси ОА, которая в свою очередь вращается с угловой скоростью вокруг оси ОВ (рис.13.1а ). За элементарный промежуток времени некоторая точка D тела в результате этих вращений совершит перемещения . В итоге эта точка относительно неподвижной точки О переместится на что соответствует вращению тела с угловой скоростью направленной вдоль мгновенной оси ОМ (рис.13.1б ). Полученный результат можно обобщить в случае произвольного числа вращений. Т.е. если тело одновременно участвует в n вращениях с угловыми скоростями вокруг разных осей, проходящих через неподвижную точку О, то такое движение равносильно вращению тела с угловой скоростью , которая в данный момент времени дает положение мгновенной оси в пространстве. ^ Связь момента импульса с угловой скоростью. Рассмотрим момент импульса твердого тела, совершающего сферическое движение. Относительно закрепленной точки О(рис.13.2) (13.10) где подставляя выражение и раскрывая двойное векторное произведение, получим: Проектируя этот вектор на ось X декартовой системы координат, связанной с точкой О, получим . Рис. 13.2 Аналогичным образом получим (13.11) Представим полученные выражения в следующем компактном виде: (13.12) где суммирование производится по повторяющемуся индексу . Величина называется тензором момента инерции тела, который имеет девять компонент. Поскольку этот тензор симметричен, т.е. то независимых компонент всего шесть. Записывают компоненты тензора обычно в виде следующей таблицы: , (13.13) где (13.14) - диагональные компоненты, которые суть моменты инерции тела относительно осей X,Y,Z, а (13.15) называются центробежными компонентами тензора инерции. Сумма диагональных компонентов равна , (13.16) где - момент инерции тела относительно точки. Не имея физического смысла, он является полезным при вычислении моментов инерции тел, имеющих центральную симметрию. Компоненты тензора меняются при переходе в другую систему координат как произведение координат. В частности, для каждого твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные направления, проходящие через его центр инерции, относительно которых центробежные компоненты тензора инерции обращаются в нуль, и тензор (13.13) принимает диагональную форму. Эти направления называются главными осями тела (обозначим их ), а моменты инерции относительно них – главными моментами инерции тела (соответственно – ). Рис. 13.3 Тело, у которого все главные моменты инерции различны, называют асимметрическим волчком. Если два главных момента инерции равны друг другу, например ,то твердое тело называется симметрическим волчком. Таковым является любое тело вращения, например юла. В этом случае выбор направлений главных осей в плоскости произволен. Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело называется шаровым волчком. В этом случае произволен выбор всех трех главных осей инерции – в качестве них можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции тела (рис.13.3). Нахождение главных осей инерции упрощается, если твердое тело обладает той или иной симметрией. Ясно, что положение центра инерции и направление главных осей инерции должны обладать той же самой симметрией. Так, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две главные оси инерции, а третья – перпендикулярна к ней. Очевидным примером таких тел являются плоские тела, в которых масса распределена в одной плоскости. В этом случае связь между тремя главными моментами инерции (13.16) очень упрощается. Так, если эта плоскость выбрана в качестве плоскости то поскольку для всех частиц , то имеем и тогда получаем (13.17) Если помимо того тело симметрично относительно оси Z (кольцо, диск), то . (13.18) Обсудим теперь полученные выражения (15.11) для связи момента импульса тела с угловой скоростью его вращения. Заметим, что в общем случае направления векторов момента импульса и угловой скорости вращения не совпадают, даже если тело закреплено в его центре инерции и координатные оси направлены вдоль его главных осей. В последнем случае связь (15.11) сильно упрощается: . (13.19) Отсюда видно, что если телу сообщается вращение вокруг одной из главных осей, то лишь тогда и будут сонаправленными вдоль той же главной оси. Выведем теперь формулу кинетической энергии тела, совершающего сферическое движение. По определению , (13.20) где пользовались следующим свойством смешанного векторного произведения 13.21) Наиболее простую форму принимает формула (13.20), когда тело вращается вокруг его неподвижного центра инерции. При этом с учетом (13.19) имеем . (13.22) Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела зависит от выбора оси, относительно которой он определяется. Теорема Гюйгенса-Штейнера позволяет ограничиться вычислением моментов инерции тел, проходящих лишь через его центр инерции. Она гласит: ^ Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси , проходящей через центр масс (), сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между параллельными осями: . (13.23) Доказательство. По определению . Учитывая, что , получим . Рис. 13.4 Пользуясь свойством С-системы отсчета, что , получим результат (13.23). Если тело является сплошным, то при вычислении его моментов инерции в формулах (13.14) следует перейти от суммы к интегралу. Для этого следует тело мысленно разбить на элементарные части с массами , моменты инерции которых определятся как , где - расстояние от рассматриваемой оси (рис.13.5). Полный момент инерции тела выразится интегралом Рис. 13.5 , (13.24) где интегрирование производится по массе тела. Введением объемной плотности массы : , (13.25) где - элементарный объем, занимаемый массой , можно в (13.24) перейти к интегрированию по объему тела: . (13.26) Если же масса распределена по каким-то поверхностям, или линиям, то следует ввести поверхностную или линейную плотности массы: , (13.27) где - площадь элементарной поверхности и длина элементарного отрезка соответственно, и перейти к интегрированиям по поверхности, или по длине тела: . (13.28) Плоским называется такое движение, при котором определенное сечение твердого тела остается в пересекаемой плоскости (рис.13.6а). Например, скатывание прямого цилиндра с круговым, или эллиптическим сечением по плоскости. При этом перпендикулярные к оси цилиндра сечения остаются в одной и той же плоскости. Рис.13.6 а Рис.13.6 б Следовательно, исследование плоского движения приводится к исследованию движения фигуры Ф сечения тела в плоскости Ρ (рис. 13.6б). Кинематика плоского движения. Свяжем «неподвижную» СО с плоскостью Р. Положение фигуры в плоскости Р можно задавать радиус-вектором произвольной точки О фигуры и углом , составленном любым отрезком ОА с осью . Так что плоское движение обладает тремя степенями свободы, а закон движения представляют зависимости . (13.29) Если за элементарное время отрезок ОА поворачивается на угол , то на тот же угол повернутся любые отрезки на фигуре Ф. Поэтому, как , так и угловая скорость вращения не зависят от выбора точек О и А. Определим скорость произвольной i–той точки фигуры. Из рис.13.6б следует, что . За время dt эти вектора получают приращения: . (13.30) Так как О и А являются точками твердого тела, то расстояние между ними, т.е. модуль вектора , не может меняться. Единственно возможное приращение вектор ri получит из-за поворота фигуры на угол , т.е. . Подставляя последнее в (15.30) и деля на , получим скорость i –той точки тела, совершающего плоское движение , (13.31) где - скорость точки О. Из полученной формулы видно, что плоское движение тела представляет наложение двух движений. А именно, поступательное движение со скоростью фиксированной точки О (заметьте, все точки в данный момент участвуют в этом движении), и вращение с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости фигуры. Следовательно, плоское движение есть наложение поступательного и аксиального движений. Более того, покажем теперь, что плоское движение в любой момент времени можно представить как чисто аксиальное движение вокруг, так называемой, мгновенной оси вращения. Действительно, в формуле (13.31) первое слагаемое одно и тот же для всех точек фигуры, а второе, меняется от точки к точке, как по величине, так и по направлению. Поэтому, существует точка М (на теле или вне него), которая в данный момент находится в покое относительно плоскости Р: . (13.32) Отсюда можно найти положение этой точки относительно точки О. Для этого помножим векторно это условие на и раскроем двойное векторное произведение по правилу бац-цаб. После этого получим , модуль которого суть . (13.33) Исключив теперь из (13.31) и (13.32) , для скорости плоско-движущегося тела получим формулу (13.31') где есть радиус-вектор i-той точки относительно точки M (рис.13.7). Полученный результат показывает, что в каждый момент времени плоское движение представляется как аксиальное движение вокруг оси, проходящей через точку M, которая непрерывно меняет свое положение в теле и в пространстве. Ее называют мгновенной осью вращения тела. Вращение вокруг мгновенной оси происходит той же угловой скоростью , что и вокруг оси, проходящей через точку О. рис.13.7а рис.13.7б Заметим, что выбор точки О был совершенно произвольным. В качестве таковой удобнее брать центр инерции тела С. Скоро убедимся, что такой выбор имеет преимущества. Формула (13.31) при этом принимает вид (13.34) Динамика плоского движения. Так как плоское движение обладает тремя степенями свободы, то уравнения, описывающие это движение, решая которых мы получим закон движения (13.29) являются , (13.35) первое из которых описывает поступательную составляющую, а вторая – вращательную. Вычислим теперь кинетическую энергию плоского движения. Подставляя выражение (13.31) в формулу кинетической энергии, получим , Где – момент инерции тела относительно точки О, - радиус-вектор центра инерции тела относительно точки О. Очевидно, если в качестве точки О выбрать центр инерции тела С, то последний член в выражении кинетической энергии обратится в ноль, так как : . (13.36) Преобразуем эту формулу с учетом (13.33): , (13.37) где также пользовались теоремой Гюйгенса-Штейнера. Здесь – момент инерции тела относительно мгновенной оси. Результат (13.37) выражает доказанный нами факт, что в любой момент времени плоское движение представляет собой аксиальное движение тела вокруг мгновенной оси. ^ Произвольное движение твердого тела, как было показано Эйлером, также сводится к совокупности поступательного и аксиального движений. А именно, формула (13.31) оказывается справедливой и для произвольного движения, лишь с тем отличием, что ось вращения, проходящая через произвольно выбранную точку О, теперь является мгновенной осью, которая со временем меняет ориентацию относительно тела. Контрольные вопросы: Каковы необходимые условия равновесия твердого тела? Какие типы движения твердого тела являются основными? Какова аналогия между формулами и уравнениями поступательного и аксиального движений? Как сводится плоское движение аксиальному движению? Что такое мгновенная ось вращения? Как определяются главные оси твердого тела? Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера. Какой формулой определяется кинетическая энергия плоского движения? Литература Абрамян М.Г. Физические основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском яз.). Сивухин Д.В. Обший курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Наука, 1975 -480 с. (БКФ, Механика). Абрамян М.Г., Бадалян Э.С. Задачник по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 – 220 стр. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. M., Наука, 1979; «Лань», 2001 – 416 стр. Задачи По кинематике твердого тела . Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = Аt –Вt3, где А = 6 рад/с, В = 2 рад/с3. Найти а) средние значения угловой скорости и углового ускорения до остановки тела, б) угловое ускорение в момент остановки тела. (Ответ: а) <Ω>=2А/3=4 рад/с, <ε>=-(3АВ)1/2=-6 рад/с2, б) ε=-2(3АВ)1/2=-12 рад/с2). Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, замедляясь с угловым ускорением ε ~ Ω1/2. Найти среднее значение угловой скорости до остановки тела, если в начальный момент времени Ω=Ωo. (Ответ: <Ω>=Ωo/3). Диск радиуса R катится с постоянной скоростью vc по горизонтальной плоскости без скольжения. Изобразить поле скоростей на диске в данный момент времени. Обсудить полученный результат. Найти закон движения точки В диска (рис. ), предполагая что в момент t = 0, она находится в начале координатной системы. Какова траектория движения точки? Какой путь проходит точка между двумя соприкосновениями с поверхностью? (Ответ: x =R(Ωt-sinΩt),  y=R(1-cosΩt), где Ω=vc/R. Траектория – циклоида, 8R) ^ По вычислению моментов инерции тел. Вычислить главные моменты инерции a) однородного стержня длины и массы , б) тонкой однородной пластинки размерами и массы . (Ответ: а) ) Вычислить моменты инерции относительно осей симметрии a) тонкого проволочного кольца, б) однородного диска, с) однородного сплошного конуса. Радиусы кольца, диска, основания конуса равны R, массы - . (Ответ: а) б) c)) Однородный диск радиуса R имеет круглый вырез (рис. ). Найти момент инерции такого диска относительно перпендикулярной оси, проходящей: а) через точку О; б) через его центр инерции. Масса диска с вырезом - . (Ответ: ). Найти главный момент инерции однородного сплошного шара радиуса R и массы . (Ответ: ). Найти главные моменты инерции сплошного цилиндра длины , радиуса R и массы . (Ответ: ). ^ По динамике твердого тела На однородный сплошной цилиндр массы M и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы . Цилиндр может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Найти зависимость от времени угловой скорости цилиндра и кинетической энергии системы. (Ответ: ). Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости Ω0 и поместили в угол (рис. ). Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки, если коэффициент трения со стенками равен μ? (Ответ: n=(1+μ2)Ω02R/8πμ(1+μ)g). Однородную шайбу радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости Ω0 и положили на горизонтальную поверхность. Через какое время остановится шайба, если коэффициент трения равен μ? (Ответ: t = 3Ω0R/4μg). Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины L может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы m, в результате чего стержень отклонился на угол α. Считая m<2gL/3m2)1/2sin(α/2); б) Δр=M(gL/6)sin(α/2); в) х=2L/3). Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростьюΩ0, затем положили на горизонтальную плоскость. Найти: а) время, в течение которого движение будет со скольжением; б) работу силы трения скольжения. Коэффициент трения равен μ. (Ответ: а) t=Ω0R/3μg; б) А=-mΩ02R2/6). Решите предыдущую задачу с другим начальным условием, когда в начальный момент цилиндру сообщается поступательное движение со скоростью v0с. (Ответ: а) t = v0/3μg; б) А=-mv02/6). Сплошной однородный цилиндр радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом (под наклон). Найти максимальную скорость цилиндра, при котором переход в наклонную плоскость произойдет без скачка. (Ответ: vm2=gR(7соsα-4)/3). На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток массы m и моментом инерции I=kmR2, где k числовой коэффициент (радиус инерции), R – внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен r. Катушку без скольжения начали тянуть за нить с постоянной силой F, направленной под углом α к горизонту. Найти ускорение оси катушки, и работу силы F за первые t секунд движения. (Ответ: а=F(соsα-r/R)/m(1+k); А= F2 t2(соsα-r/R)2/2m(1+k)). Однородный шар радиуса R и массы m положен на наклонную плоскость с углом наклона α. При каких значениях α качение шара будет происходить без скольжения? Какова при этом сила трения сцепления? (Ответ: tgα < μ(1+mR2/Iс); Fсц= mgsinα/(1+mR2/Iс); где Iс=2mR2/5) Определить ускорение, с которым цилиндрическая бочка массы М, целиком наполненная жидкостью массы m, скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Трением между жидкостью и стенками бочки пренебречь. (Ответ: a=(M+m)gsinα /(2M+m)) По наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, скатывается полый цилиндр массы М и радиуса R. По поверхности цилиндра бежит собака массы m таким образом, что все время занимает наивысшее положение на поверхности цилиндра. Определить ускорение оси цилиндра. (Ответ: a=(M+m)gsinα /(2M+m(1+cosα))) 13.21. Шарик массой m1= 60 г, привязанный к концу нити длиной L1=l,2 м, вращается с частотой 1=2c-1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачива­ется, приближая шарик к оси до расстояния L2=0,6 м. С какой частотой 2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь. 13.22. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D=75 см и массой m=40 кг приложена сила F=1кН. Определить угловое ускорение и час­тоту вращения маховика через время t=10 с после начала действия силы, если радиус R шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь. 13.23. На обод маховика диаметром D=60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m= 2 кг. Определить момент инерции J маховика, если он, вра­щаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t= 3 с приобрел угловую скорость =9рад/с. 13.24. Нить с привязанными к ее концам грузами мас­сами m1= 50 г и m2 = 60 г перекинута через блок диа­метром D = 4 см. Определить момент инерции J блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угло­вое ускорение  = 1,5 рад/с2. Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь. 13.25. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению  = At + Bt3, где А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с3. Определить вращающий момент, действующий на стержень через время t = 2 с, после начала вращения, если момент инерции стержня J = 0,048 кг м2. 13.26. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью v=8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь s== 18 м. 13.27. Определить момент силы, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой  = 12 с-1, чтобы он остановился в течение времени t= 8 с. Диаметр блока D = 30 см. Массу блока m= 6 кг считать равномерно распределенной по ободу. 13.28. Блок, имеющий форму диска массой m= 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m1 = 0.3 кг и m2 = 0,7 кг. Определить силы натяжения нити по обе стороны блока. 13.29. К краю стола прикреплен блок. Через блок пе­рекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по по­верхности стола, а другой – вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент трения между поверхностями груза и стола, если массы каждого груза и масса блока одинаковы и грузы движутся с ускорением а = 5,6 м/с2. Проскальзыванием нити по блоку и силой трения, действующей на блок, пренебречь. 130. К концам легкой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массами m1= 0,2 кг и m2= 0,3 кг. Во сколько раз отличаются силы, действующие на нить по обе стороны от блока, если масса блока m= 0.4 кг, а его ось движется вертикально вверх с ускорением а = 2 м/с2? Силами трения и проскальзывания нити по блоку пренебречь. Скачать 244,66 Kb. оставить комментарий Дата 04.03.2012 Размер 244,66 Kb. Тип Исследование, Образовательные материалы