Лекция Методы анализа линейных электрических цепей при гармоническом воздействии Методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа. Метод контурных токов. Метод узловых напряжений icon

Лекция Методы анализа линейных электрических цепей при гармоническом воздействии Методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа. Метод контурных токов. Метод узловых напряжений



Смотрите также:
Лекция 1
Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного фильтра...
Лекция Режим гармонических колебаний в линейных цепях...
Гармонический сигнал основная форма токов в электросиловых цепях...
Лекция Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии Ток, напряжение...
Программа обсуждена на заседании кафедры вычислительной математики...
Программа дисциплины ен. Ф. 01 «Математика. Численные методы» Специальность 032100 050201...
Программа вступительного испытания по дисциплине «Теоретические основы электротехники»...
Расшифровка : Наука в целом (информационные технологии 004)...
Программа дисциплины ен. Ф. 01 «Математика. Численные методы» Специальность 032200 (050203...
Программа дисциплины ен. Ф. 01 «Математика. Численные методы» Специальность 032200 (050203...
Отчет о лаботарорной работе методы и средства анализа данных по теме...



скачать

Лекция 7. Методы анализа линейных электрических цепей при гармоническом воздействии


Методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа. Метод контурных токов. Метод узловых напряжений.


Цель изучения

1) Освоение ряда методов анализа линейных цепей при гармоническом воздействии.

2) Определение параметров, влияющих на выбор метода анализа

7.1. Методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа


К методам формирования уравнений электрического равновесия цепей, основанным на непосредственном применении законов Кирхгофа, относятся метод токов ветвей и метод напряжений ветвей.

^ Метод токов ветвей предполагает, что в качестве независимых переменных, относительно которых составляется сокращенная система уравнений электрического равновесия, используют токи ветвей исследуемой цепи. Ток и напряжение каждой ветви, за исключением ветвей, содержащих идеализированные источники тока и напряжения, связаны между собой однозначной зависимостью, которая определяется компонентным уравнением данной ветви. Таким образом, зная токи всех ветвей электрической цепи, можно определить напряжения этих ветвей.

Применение метода тока ветвей позволяет уменьшить число уравнений, входящих в систему уравнений электрического равновесия до р   рит (pчисло ветвей, ритчисло ветвей с идеальными источниками тока).


Пример 7.1. Составим систему уравнений электрического равновесия по методу токов ветвей для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, а.

Граф этой цепи, соответствующий сокращенному топологическому описанию, изображен на рис. 3.1, б. Как видно из рисунка, для данного топологического описания число ветвей р = 6, число узлов q = 4, причем ни одна из ветвей не содержит источников тока (рин = 0) и не составлена только из источников напряжения (рин = 0). Выбирая дерево графа и систему независимых контуров в соответствии с рис. 3.1, в—д, составим основную систему уравнений электрического равновесия.


Уравнений баланса токов (q — 1 = 3):



(7.1)

Уравнения баланса напряжений (p – q +1 = 3):



(7.2)




в) г) д)

Рис. 7.1. Схема электрической цепи, граф и система независимых контуров к примеру 7.1.


Компонентные уравнения (р=6):





(7.3)

Подставляя уравнения (3.3) в (3.2), получим систему уравнений электрического равновесия цепи:



(7.4)


Таким образом, число уравнений в системе уменьшилось от 12 до 6.


В связи с тем что напряжения на связанных индуктивностях выражаются через токи этих индуктивностей, метод токов ветвей может быть применен для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями .


Дуальным по отношению к методу токов ветвей является метод напряжений ветвей.

При составлении системы уравнений электрического равновесия цепи с помощью этого метода в качестве независимых переменных используют неизвестные напряжения ррин ветвей. Система уравнений электрического равновесия в этом случае включает в себя р q + 1 уравнений баланса напряжений и q — рин — 1 уравнений баланса токов, причем неизвестные токи всех ветвей, входящие в эти уравнения, должны быть выражены через напряжения этих же ветвей. Число ветвей, напряжения которых могут быть заданы независимо, не может превышать числа независимых узлов q 1.

Применение метода напряжений ветвей позволяет уменьшить число уравнений, входящих в систему уравнений электрического равновесия до р   рин, где рин число ветвей, содержащих идеальные источники напряжения.

Метод напряжений ветвей нельзя использовать для формирования уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями. Таким образом, метод напряжений ветвей является менее общим, чем метод токов ветвей.

Итак, методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа, позволяют уменьшить число уравнений в системе от 2ритрин до ррит или ррин.
^

7.2. Метод контурных токов


Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей: токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей.

Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из р рит q + 1 уравнений, называемых контурными уравнениями.

Рассмотрим методику формирования контурных уравнений на примере простой цепи, не содержащей источников тока, схема которой приведена на рис. 7.1, а.

Выбирая произвольно дерево графа этой цепи, убеждаемся, что токи ветвей дерева однозначно выражаются через токи главных ветвей. Контурный ток i-гo контура Iii равен току главной ветви, входящей в данный контур. Направление контурного тока во всех элементах контура совпадает с направлением его обхода, т. е. с направлением соответствующей главной ветви. Токи всех ветвей цепи могут быть выражены через контурные токи этой цепи. Например, для рассматриваемого примера



(7.5)


Таким образом, если определить токи главных ветвей, то, используя соотношения (3.5), можно найти токи остальных ветвей цепи, а затем найти неизвестные напряжения ветвей. Следовательно, для полного описания процессов в цепи достаточно определить только токи главных ветвей исследуемой цепи. Из соотношения (7.5) также следует, что максимальное количество токов ветвей, которые могут быть заданы независимо, не может превышать числа главных ветвей.

Для определения токов главных ветвей цепи (см. рис. 7.1) воспользуемся уравнениями, составленными на основании второго закона Кирхгофа, выразив входящие в них напряжения ветвей через токи главных ветвей. Подставляя (7.3), (7.5) в уравнение (7.2), получаем:


(7.6)

На практике контурные уравнения формируют не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия, поэтому применение этого метода позволяет упростить и составление, и решение уравнений электрического равновесия цепи.

В матричной форме система уравнений вида (7.6) запишется в следующем виде:


,

где Zij – матрица сопротивлений контуров,

Iii – матрица контурных токов,

Еii – матрица контурных ЭДС.

Для рассматриваемого примера






Сформулируем правила составления контурных уравнений.


1. Формирование Zij.

Собственным сопротивлением Zii i-гo контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур. В цепи (см. рис. 7.1, а) выделено три независимых контура (см. рис. 7.1, в—д), их собственные сопротивления:


Z11=Z1+Z4+Z6, Z22=Z2+Z5+Z6, Z33=Z1+Z2+Z3.


Взаимным, или общим, сопротивлением i-гo и j-го контуров называется сопротивление Zij, равное сумме сопротивлений ветвей, общих для этих контуров. Взаимное сопротивление берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении; если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления, то взаимное сопротивление берут со знаком минус. Если рассматриваемые контуры не имеют общих ветвей, то их взаимное сопротивление равно нулю. Взаимные сопротивления контуров цепи (см. рис. 7.1):


Z12=Z21=Z6, Z13=Z31=Z1, Z23=Z32= - Z2.


Для линейных цепей, составленных только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения, матрица контурных сопротивлений квадратная и симметричная относительно главной диагонали.


2. Формирование Iii.

Это матрица-столбец неизвестных контурных токов.


3. Формирование Еii.

Контурная э. д. с. Еii i-гo контура – это алгебраическая сумма э. д. с. всех идеализированных источников напряжения, входящих в данный контур. Если направление э. д. с. какого-либо источника, входящего в i-й контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая э. д. с. входит в Eii со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Контурные э. д. с. рассматриваемой цепи:





Решая систему уравнений (7.6) любым из методов, можно найти все неизвестные контурные токи цепи.

Например, выражение для контурного тока kk-го контура при использовании формулы Крамера:


(7.7)

где — определитель системы уравнений (7.6); ij— алгебраическое дополнение элемента Zij этого определителя. В аналогичной форме могут быть записаны выражения для контурных токов всех остальных контуров. На практике обычно используют более экономичные методы, такие, как метод исключения Гаусса.

При составлении контурных уравнений цепей, граф которых является планарным, в качестве независимых удобно выбирать контуры, соответствующие ячейкам графа.

Если электрическая цепь содержит независимые источники тока, то следует:

  1. заменить источники тока независимыми источниками напряжения с помощью эквивалентных преобразований,

либо

  1. выбрать дерево цепи таким образом, чтобы ветви с источниками тока вошли в состав главных ветвей. Количество неизвестных контурных токов сокращается при этом на число независимых источников тока. Матрица контурных сопротивлений в этом случае будет не квадратной: число столбцов будет равно числу независимых контуров, а число строк — числу неизвестных контурных токов.

Метод контурных токов можно использовать и для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями, однако алгоритм формирования матрицы контурных сопротивлений при этом усложняется.

^

7.3. Метод узловых напряжений


Напряжения всех ветвей электрической цепи могут быть выражены через узловые напряжения этой цепи т.е. напряжения независимых узлов рассматриваемой цепи относительно базисного. Напряжение некоторой ветви, включенной между i-м и базисным узлами, равно узловому напряжению i-гo узла Ui0, взятого со знаком плюс или минус в зависимости от направления напряжения этой ветви, а напряжение ветви, включенной между i-м и j-м узлами (рис. 7.2), — разности узловых напряжений этих узлов Ui0-Uj0.



Рис. 7.2. К определению понятия узлового напряжения.

Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи, в котором в качестве независимых переменных используются неизвестные напряжения независимых узлов относительно базисного, называется методом узловых напряжений.

Рассмотрим метод формирования узловых уравнений на примере цепи, не содержащей источников напряжения (рис. 7.3). Данная цепь получена из цепи, схема которой изображена на рис. 7.1а, путем преобразования источников напряжения в источники тока и замены комплексных сопротивлений ветвей их комплексными проводимостями.





Рис. 7.3. К составлению уравнений электрического равновесия методом узловых напряжений.


Цепь имеет три независимых узла, для которых можно составить уравнения баланса токов:



(7.8)

Выразим неизвестные токи ветвей цепи через напряжения этих ветвей, а напряжения ветвей — через соответствующие узловые напряжения:


(7.9)

Подставляя выражения (7.9) в (7.8), получим систему уравнений для определения трех неизвестных узловых напряжений:


(7.10)

На практике узловые уравнения формируют не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия, поэтому применение этого метода позволяет упростить и составление, и решение уравнений электрического равновесия цепи.

В матричной форме система уравнений вида (7.10) запишется в следующем виде:


,

где Yij – матрица проводимостей узлов,

Ui0 – матрица напряжений узлов,

Ji0 – матрица узловых токов.

Для рассматриваемого примера





Сформулируем правила составления узловых уравнений.

  1. Формирование Yij.

Собственная проводимость Yii i-гo узла - это сумма проводимостей всех ветвей, подключенных к данному узлу. Для рассматриваемой цепи


Y11 = Y1+Y3+Y4; Y22 = Y4+Y5+Y6; Y33 = Y2+Y3+Y5.


Взаимная проводимость i-гo и j-го узлов — это сумма проводимостей всех ветвей, включенных непосредственно между этими узлами, взятая с противоположным знаком. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные непосредственно между i-м и j-м узлами, то Yij = 0. Для цепи, схема которой приведена на рис. 7.3:


Y12 = Y21 = -Y4, Y23 = Y32 = -Y5, Y13 = Y31 = -Y3.


Для линейной электрической цепи состоящей только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников тока матрица узловых проводимостей квадратная и симметричная относительно главной диагонали.


  1. Формирование Ui0.

Это матрица-столбец неизвестных напряжений узлов.


2. Формирование Ji0.

Узловым током Ji0 i-го узла называется алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к данному узлу. Если ток какого-либо источника тока направлен к i-му узлу, то он входит в Ji0 со знаком плюс, если ток направлен от i-го узла, то он входит в знаком минус. Для рассматриваемой цепи





Решая систему уравнений (7.10) любым из методов, можно найти все неизвестные узловые напряжения цепи цепи.

Например, выражение для напряжения k-го узла при использовании формулы Крамера:



(7.11)


где — определитель системы уравнений (3.10);

ij— алгебраическое дополнение элемента Yij этого определителя.

В аналогичной форме могут быть записаны выражения для напряжений всех остальных узлов.


Если цепь содержит независимые источники напряжения, то следует:

  1. заменить источники напряжения независимыми источниками тока с помощью эквивалентных преобразований,

либо

  1. составить систему узловых уравнений с учётом того, что не все узловые напряжения будут независимы: узловые напряжения двух узлов, между которыми включён источник напряжения, будут отличаться только на напряжение этого источника. Количество неизвестных узловых напряжений сокращается при этом на число независимых источников напряжения. Матрица контурных проводимостей в этом случае будет не квадратной: число столбцов будет равно числу независимых узлов, а число строк — числу неизвестных независимых узловых напряжений. Целесообразно, по возможности, выбирать в качестве базисного тот узел, к которому подключён источник напряжения.

Метод узловых напряжений применим для анализа цепей любой топологии. Нецелесообразно применять его для анализа цепей со связанными индуктивностями, так как существенно усложняется алгоритм формирования узловых уравнений.

Выводы


  • Активная мощность в нагрузке максимальна, если активная часть сопротивления нагрузки и источника равны, а реактивные части этих сопротивлений равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. В настоящее время существует большое количество методов анализа цепей при гармоническом воздействии, отличающихся способом формирования уравнений электрического равновесия и выбором основных переменных.

  • Методы контурных токов и узловых напряжений позволяют сократить число переменных в системе уравнений электрического равновесия по сравнению с методами токов и напряжений ветвей.

  • Наиболее просто формируются уравнения электрического равновесия методом узловых напряжений, однако непосредственное его применение имеет ряд ограничений.










Скачать 121,08 Kb.
оставить комментарий
Дата04.03.2012
Размер121,08 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх