скачать Следующая статья Министерство общего и профессионального образования Российской ФедерацииТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТюмГУ) Кватернионыв теории потенциала и теории упругости
Зав кафедрой математического моделирования д.ф.-м.н., профессор Кутрунов В.Н. Ассистент кафедры строительной механики Тюменской архитектурно-строительной академии Кутрунова (Курята) З.С. Тюмень 2002РЕФЕРАТ Объём 48с., 5 рис., 3 табл., 43 источника. ^ Объектом исследования являются интегральные уравнения теории упругости, теории потенциала. Используемый и развиваемый аппарат - теория кватернионных аналитических функций. Цель работы –на основе аналогов тождеств Грина в теории кватернионных аналитических функций получить универсальные тождества, позволяющие исследовать эллиптические дифференциальные уравнения, точнее, соответствующие им интегральные уравнения. Найденные тождества позволили более детально изучить спектры специальных интегральных операторов, возникающих при построении этих тождеств. Оказалось, что эти специальные интегральные операторы тесно связаны с интегральными операторами теории потенциала, теории упругости и, по-видимому, с интегральными операторами общих эллиптических задач. В результате удалось более детально изучить спектр интегрального оператора потенциала двойного слоя, спектры интегральных операторов теории упругости. В частности, спектр интегрального оператора потенциала двойного слоя в плоском случае, за исключением точки –1, симметричен относительно нуля[34,38] (В тексте приводятся только тезисы этих работ). Спектры интегральных операторов теории упругости (аналогов операторов двойного слоя ) содержат три точки непрерывного спектра, что отличает их от вполне непрерывных операторов (об этом не знали грузинские математики, с их точки зрения спектр сингулярных интегральных операторов теории упругости устроен так же как и спектр операторов теории потенциала.). Наличие трёх точек спектра и кватернионных тождеств позволило предложить удивительно простой способ регуляризации сингулярных уравнений теории упругости, заключающийся в таком операторном полиномиальном преобразовании исходного уравнения, при котором все точки непрерывного спектра преобразуются в нулевую точку.[2] (В данном тексте эти результаты не приведены, см. ПММ). Косвенным подтверждением правильности всей теории (включая получение кватернионных тождеств) явилось сопоставление построенных регуляризованых уравнений теории упругости с регуляризацией, выполненной Мазьёй В.Г.[42] с помощью теории символа (в этой теории спектральные характеристики операторов никак не используются). Наши результаты отличались. После телефонного разговора с Мазьёй В.Г. выяснилось, что он уже нашёл ошибку в своих расчётах и опубликовал исправленный вариант работы [43]. Этот вариант совпал с нашим, но в нашем случае, кроме простоты идеи регуляризации, появились и другие формы регуляризованых уравнений. Вероятно, обнаружение трёх точек непрерывного спектра должно повлиять и на численное решение сингулярных интегральных уравнений, так как замена интегральных операторов конечными суммами без предварительной регуляризации очень сильно искажает спектр. Кватернионные интегральные тождества позволили рассмотреть и другие задачи, например, удалось построить новые интегральные уравнения восстановления векторного поля по ротору и дивергенции [4], очень детально исследовать спектры некоторых интегральных операторов частных задач теории упругостих [34,39]. Последние могут служить для тестирования пакетов программ, решающих общие задачи теории упругости. Наконец, информация о спектре использована для создания итерационного метода решения сингулярных интегральных уравнений. Работы по применению кватернионных функций продолжаются нами и сейчас. Направление: прямая запись дифференциальных уравнений (эллиптического типа, например, теории упругости) в терминах кватернионов и их прямое решение с использованием кватернионных аналитических функций. Мы считаем, что кватернионы, кватернионные функции, должны оказаться наилучшим аппаратом для описания физических процессов, описывающих трехмерный мир. Опыт работы с кватернионами в теории потенциала (а это громадное число физических задач) и в теории упругости, позволяет нам думать, что окружающий нас мир обладает векторными и скалярными свойствами. Теории, описывающие его, содержат уравнения, описывающие эти свойства по отдельности. Кажется, что это совсем разные уравнения, их по разному выводят, по разному решают, можно не заметить существования какого то из свойств и получить ошибочный результат. Только в кватернионах эти свойства нераздельны, присутствуют всегда парой, дополняют, переливаются друг в друга. При описании трёхмерного мира за кватернионами будущее. В заключение благодарю «физическое лицо» Павлова Дмитрия Геннадьевича за этот конкурс. Мне стало казаться, что занятия кватернионами сегодня сродни занятиям вечным двигателем, которые никому кроме авторов не нужны. Время такое, учёные переключаются в бизнес, а в науке поддерживается только то, что даёт мгновенную отдачу. По этой причине и не зависимо от результатов и целей данного конкурса с удовольствием участвую в нём, правда из Тюмени ехать в Москву стало дороговато и далековато, чего не было раньше. СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ 6 1. ИНТЕГРАЛьНЫЕ ТОЖДЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 7 ^ 1.2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПРОИЗ- ВОЛ 10 ^ 2.1 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 13 2.2 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ^ 2.3 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 15 2.4 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 16 ^ 3.1 ПРОСТЕЙШАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРНОГО ПОЛИНОМА НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 25 3.2 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ЗАДАННЫХ НА ОКРУЖНОСТИ 35 Вставка 43 ЗАКЛЮЧЕНИЕ (о роли кватернионных аналитических функций в данных построениях) 45 ЛИТЕРАТУРА 47 ВВЕДЕНИЕ Известно, что в теории дифференциальных уравнений большую роль играют различные интегральные представления, например, интегральное представление функции u по значению этой функции, её нормальной производной на границе и известному значению ∆u в области, где ∆ -оператор Лапласа. Это представление называется формулой Грина. Если ∆u =0, то из формулы Грина получается интегральное представление гармонической функции u. Если бы на границе были известны сама функция и её нормальная производная, то полученное представление было бы решением краевой задачи для уравнения Лапласа. Проблема, однако, заключается в том, что эти два граничных значения не могут быть заданы произвольно, они должны быть согласованы между собой. По этой причине представления подобного типа часто называются тождествами в том смысле, что если известна гармоническая функция и значение нормальной производной на границе, то подстановка этих величин в интегральное равенство удовлетворяет его тождественно. Подобная проблема характерна и для других функций, например, удовлетворяющих уравнениям теории упругости, или условиям аналитичности кватернионных функций. Все эти интегральные равенства оказываются тождествами в узком смысле, например, тождества для произвольных, но гармонических функций. Тем не менее, эти равенства могут быть использованы для построения тождеств, верных уже для “произвольных” функций. Такого типа тождества построены в данной работе. Они эффективно применены для исследования спектра ряда операторов. В частности, обнаружены точки непрерывного спектра интегральных операторов теории упругости. Информация о спектре операторов полезна и для численной реализации. В отчёте предложено простейшее изложение разработанного нами ранее приближенного метода решения операторных уравнений, метода операторного полинома наилучшего приближения, предложен метод тестирования численных алгоритмов, основанный на сопоставлении информации о спектре для точного и приближенного операторов. Идея такого тестирования усилена тем, что для специальных (простейших) областей иногда удаётся получить более точную информацию о спектре. В частности, в данной работе получена дополнительная информация о спектре для некоторых операторов, заданных на окружности. Из этих операторов состоят интегральные операторы теории упругости, поэтому открываются новые возможности для тестирования алгоритмов решения интегральных уравнений теории упругости. ^ Для получения тождеств используются: интегральное представление произвольной гармонической функции/1/, интегральное представление произвольной кватернионной аналитической функции /2/, интегральное представление произвольного решения дифференциальных уравнений Ляме в теории упругости /3/. Методика построения тождеств может быть применена к другим дифференциальным операторам и этим расширяется область ее применимости.
Выпишем все исходные интегральные тождества. а). ^ /1/ .Введем обозначения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б). Интегральное представление произвольной кватернионной аналитической функции, /2/. ![]() Это представление записано для функций q, удовлетворяющих в области ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() в). Интегральное представление решений уравнений теории упругости, / 3/. ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() здесь ![]() ![]() Для равноправия вхождения производных в левые и правые части в равенстве (1.1) следует вычислить нормальную производную, получится система двух равенств, выражающая саму функцию и ее нормальную производную в области через их граничные значения. Равенство (1.2) не дополняется, а к равенству (1.4) следует добавить это же равенство после применения к нему дифференциального оператора напряжения. Дополнительные уравнения имеют вид: ![]() ![]() В исходных представлениях (1.1), (1.2), (1.4) и дополнительных равенствах (1.7) и (1.8) следует перейти к пределу на границу области. Существенную роль в таких предельных переходах играют интегралы типа Гаусса. В теории потенциала такой интеграл имеет вид ![]() Причем в случае ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() Интегралы (1.10) и (1.11) в случае ![]() а).Для гармонической функции имеем два предельных равенства, /1/: ![]() ![]() Здесь выполнен предельный переход к точке ![]() ![]() ![]() б). Для кватернионной аналитической функции предельное равенство имеет вид,/2/. ![]() в). Аналогично для теории упругости, /3/: ![]() ![]() Если функции ![]()
Если в представлении (1.1) заменить ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Введем граничные интегральные операторы : ![]() Подстановка приводит к равенствам ![]() Произвол в выборе функций ![]() ![]() ![]() ![]() Эти равенства верны для произвольных функций ![]() ![]() б). Имеют место аналогичные рассуждения для интегрального представления кватернионной аналитической функции /2/. В равенстве (1.2) функцию ![]() ![]() ![]() Непосредственно проверяется, что ![]() ![]() ![]() Тогда предельные равенства (1.14) и (1.20) имеют вид соответственно, /2/: ![]() Подставляя ![]() ![]() ![]() Это равенство является тождеством для произвольной кватернионной функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где буквами ![]() ![]() в).Пользуясь представлением решения теории упругости в форме (1.5) и предельными равенствами (1.15) и (1.16), можно получить тождества типа (1.18)-(1.19), (1.23)-(1.24) для интегральных операторов теории упругости. Введем операторы ![]() Первый из этих операторов известен как прямое значение обобщенного потенциала простого слоя, второй - прямое значение обобщенного потенциала двойного слоя. Техника получения тождеств громоздка, но аналогична предыдущему. Впервые они получены Д.Г.Натрошвили, /4/, и имеют следующий вид: ![]() ![]() Применим полученные тождества для получения ряда известных и новых фактов.
2.1 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА Рассмотрим тождества (1.18)-(1.19). Теорема2.1. Спектры операторов ![]() ![]() ![]() Доказательство. Действительно, известно что В -оператор потенциала двойного слоя, его спектр дискретен, расположен на интервале ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Далее легко устанавливаются спектральные свойства операторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ^ Из тождеств (1.23) и (1.24) следуют две теоремы. Теорема 2.2. За исключением точек ![]() ![]() ![]() Доказательство. Известно, что спектр оператора потенциала двойного слоя ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() . Следовательно, всякой собственной функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично доказывается, что всякой собственной функции оператора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2.3. Точки ![]() ![]() Доказательство. По определению /6/, число ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть такая последовательность уже найдена. Подставляя ее в тождества (1.24) и переходя к пределу найдем ![]() Из первого предельного равенства следует, что либо ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проверка показывает, что точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если использовать соотношения (1.22) и (1.25), то для граничных значений кватерниона ![]() ![]() ![]() ![]() ^ Обратимся теперь к граничным сингулярным интегральным уравнениям теории упругости, которые могут быть записаны через операторы (1.26). ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2.4. Спектры интегральных операторов теории упругости имеют не одну, а три точки непрерывного спектра. Доказательство опирается на обобщение теоремы Вейля о вполне непрерывных возмущениях: прибавление к замкнутому линейному оператору произвольного вполне непрерывного оператора не изменяет непрерывной части спектра, /6/: Доказательство. Действительно, интегральные операторы теории упругости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Другое применение тождеств (1.27) и (1.28) в теории упругости было указано Д.Г.Натрошвили. /4/. А именно тождества (1.27)-(1.28) позволяют преобразовать интегральные уравнения первого рода к интегральным уравнениям второго рода, что обеспечивает корректность задачи и возможность использования теорем существования и единственности. Таким образом предложена схема построения интегральных тождеств определённого типа и на различных примерах показана эффективность их применения для исследования свойств интегральных операторов. 2.4 Интегральные уравнения восстановления векторного поля. В этом пункте методами кватернионных функций построена компактная система интегральных уравнений для восстановления векторного поля по его ротору и дивергенции. Использованы интегральные тождества общего вида, пригодные для исследования краевых задач эллиптического типа. Определение. Кватернионами называются числа ![]() ![]() ![]() ![]() Действия над кватернионами определяются через действия над мнимыми единицами. Если на мнимые единицы ![]() ![]() ![]() Эти соотношения позволяют интерпретировать операцию умножения кватернионов ![]() ![]()
|