Отчёт о научно-исследовательской работе. Nгос регистрации 01 80 005757 инв. N02. 90 002391. Тюмень. Тюмгу 1999 47 стр. Курята З. С. Шагисултанова Ю. Н. Кутышева Е. Б
| скачать Следующая статья Министерство общего и профессионального образования Российской ФедерацииТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТюмГУ) Кватернионыв теории потенциала и теории упругости
Зав кафедрой математического моделирования д.ф.-м.н., профессор Кутрунов В.Н. Ассистент кафедры строительной механики Тюменской архитектурно-строительной академии Кутрунова (Курята) З.С. Тюмень 2002РЕФЕРАТ Объём 48с., 5 рис., 3 табл., 43 источника. ^ Объектом исследования являются интегральные уравнения теории упругости, теории потенциала. Используемый и развиваемый аппарат - теория кватернионных аналитических функций. Цель работы –на основе аналогов тождеств Грина в теории кватернионных аналитических функций получить универсальные тождества, позволяющие исследовать эллиптические дифференциальные уравнения, точнее, соответствующие им интегральные уравнения. Найденные тождества позволили более детально изучить спектры специальных интегральных операторов, возникающих при построении этих тождеств. Оказалось, что эти специальные интегральные операторы тесно связаны с интегральными операторами теории потенциала, теории упругости и, по-видимому, с интегральными операторами общих эллиптических задач. В результате удалось более детально изучить спектр интегрального оператора потенциала двойного слоя, спектры интегральных операторов теории упругости. В частности, спектр интегрального оператора потенциала двойного слоя в плоском случае, за исключением точки –1, симметричен относительно нуля[34,38] (В тексте приводятся только тезисы этих работ). Спектры интегральных операторов теории упругости (аналогов операторов двойного слоя ) содержат три точки непрерывного спектра, что отличает их от вполне непрерывных операторов (об этом не знали грузинские математики, с их точки зрения спектр сингулярных интегральных операторов теории упругости устроен так же как и спектр операторов теории потенциала.). Наличие трёх точек спектра и кватернионных тождеств позволило предложить удивительно простой способ регуляризации сингулярных уравнений теории упругости, заключающийся в таком операторном полиномиальном преобразовании исходного уравнения, при котором все точки непрерывного спектра преобразуются в нулевую точку.[2] (В данном тексте эти результаты не приведены, см. ПММ). Косвенным подтверждением правильности всей теории (включая получение кватернионных тождеств) явилось сопоставление построенных регуляризованых уравнений теории упругости с регуляризацией, выполненной Мазьёй В.Г.[42] с помощью теории символа (в этой теории спектральные характеристики операторов никак не используются). Наши результаты отличались. После телефонного разговора с Мазьёй В.Г. выяснилось, что он уже нашёл ошибку в своих расчётах и опубликовал исправленный вариант работы [43]. Этот вариант совпал с нашим, но в нашем случае, кроме простоты идеи регуляризации, появились и другие формы регуляризованых уравнений. Вероятно, обнаружение трёх точек непрерывного спектра должно повлиять и на численное решение сингулярных интегральных уравнений, так как замена интегральных операторов конечными суммами без предварительной регуляризации очень сильно искажает спектр. Кватернионные интегральные тождества позволили рассмотреть и другие задачи, например, удалось построить новые интегральные уравнения восстановления векторного поля по ротору и дивергенции [4], очень детально исследовать спектры некоторых интегральных операторов частных задач теории упругостих [34,39]. Последние могут служить для тестирования пакетов программ, решающих общие задачи теории упругости. Наконец, информация о спектре использована для создания итерационного метода решения сингулярных интегральных уравнений. Работы по применению кватернионных функций продолжаются нами и сейчас. Направление: прямая запись дифференциальных уравнений (эллиптического типа, например, теории упругости) в терминах кватернионов и их прямое решение с использованием кватернионных аналитических функций. Мы считаем, что кватернионы, кватернионные функции, должны оказаться наилучшим аппаратом для описания физических процессов, описывающих трехмерный мир. Опыт работы с кватернионами в теории потенциала (а это громадное число физических задач) и в теории упругости, позволяет нам думать, что окружающий нас мир обладает векторными и скалярными свойствами. Теории, описывающие его, содержат уравнения, описывающие эти свойства по отдельности. Кажется, что это совсем разные уравнения, их по разному выводят, по разному решают, можно не заметить существования какого то из свойств и получить ошибочный результат. Только в кватернионах эти свойства нераздельны, присутствуют всегда парой, дополняют, переливаются друг в друга. При описании трёхмерного мира за кватернионами будущее. В заключение благодарю «физическое лицо» Павлова Дмитрия Геннадьевича за этот конкурс. Мне стало казаться, что занятия кватернионами сегодня сродни занятиям вечным двигателем, которые никому кроме авторов не нужны. Время такое, учёные переключаются в бизнес, а в науке поддерживается только то, что даёт мгновенную отдачу. По этой причине и не зависимо от результатов и целей данного конкурса с удовольствием участвую в нём, правда из Тюмени ехать в Москву стало дороговато и далековато, чего не было раньше. СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ 6 1. ИНТЕГРАЛьНЫЕ ТОЖДЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 7 ^ 1.2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПРОИЗ- ВОЛ 10 ^ 2.1 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 13 2.2 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ^ 2.3 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 15 2.4 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 16 ^ 3.1 ПРОСТЕЙШАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРНОГО ПОЛИНОМА НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 25 3.2 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ЗАДАННЫХ НА ОКРУЖНОСТИ 35 Вставка 43 ЗАКЛЮЧЕНИЕ (о роли кватернионных аналитических функций в данных построениях) 45 ЛИТЕРАТУРА 47 ВВЕДЕНИЕ Известно, что в теории дифференциальных уравнений большую роль играют различные интегральные представления, например, интегральное представление функции u по значению этой функции, её нормальной производной на границе и известному значению ∆u в области, где ∆ -оператор Лапласа. Это представление называется формулой Грина. Если ∆u =0, то из формулы Грина получается интегральное представление гармонической функции u. Если бы на границе были известны сама функция и её нормальная производная, то полученное представление было бы решением краевой задачи для уравнения Лапласа. Проблема, однако, заключается в том, что эти два граничных значения не могут быть заданы произвольно, они должны быть согласованы между собой. По этой причине представления подобного типа часто называются тождествами в том смысле, что если известна гармоническая функция и значение нормальной производной на границе, то подстановка этих величин в интегральное равенство удовлетворяет его тождественно. Подобная проблема характерна и для других функций, например, удовлетворяющих уравнениям теории упругости, или условиям аналитичности кватернионных функций. Все эти интегральные равенства оказываются тождествами в узком смысле, например, тождества для произвольных, но гармонических функций. Тем не менее, эти равенства могут быть использованы для построения тождеств, верных уже для “произвольных” функций. Такого типа тождества построены в данной работе. Они эффективно применены для исследования спектра ряда операторов. В частности, обнаружены точки непрерывного спектра интегральных операторов теории упругости. Информация о спектре операторов полезна и для численной реализации. В отчёте предложено простейшее изложение разработанного нами ранее приближенного метода решения операторных уравнений, метода операторного полинома наилучшего приближения, предложен метод тестирования численных алгоритмов, основанный на сопоставлении информации о спектре для точного и приближенного операторов. Идея такого тестирования усилена тем, что для специальных (простейших) областей иногда удаётся получить более точную информацию о спектре. В частности, в данной работе получена дополнительная информация о спектре для некоторых операторов, заданных на окружности. Из этих операторов состоят интегральные операторы теории упругости, поэтому открываются новые возможности для тестирования алгоритмов решения интегральных уравнений теории упругости. ^ Для получения тождеств используются: интегральное представление произвольной гармонической функции/1/, интегральное представление произвольной кватернионной аналитической функции /2/, интегральное представление произвольного решения дифференциальных уравнений Ляме в теории упругости /3/. Методика построения тождеств может быть применена к другим дифференциальным операторам и этим расширяется область ее применимости.
Выпишем все исходные интегральные тождества. а). ^ Интегральное представление гармонической функции  , /1/ .Введем обозначения  ,  внешние нормали к поверхности  в точках   конечная область с кусочно-гладкой границей ,   (1.1)б). Интегральное представление произвольной кватернионной аналитической функции, /2/.  (1.2)Это представление записано для функций q, удовлетворяющих в области  кватернионному равенству (1.3)где  - кватернионный оператор Гамильтона,  ,  мнимые единицы кватерниона. Определение и действия над кватернионами более подробно изложены в пункте 2.4.в). Интегральное представление решений уравнений теории упругости, / 3/.   (1.4)где  граничные значения вектора напряжения, а  граничные значения вектора перемещения точек упругого тела, занимающего область  ,  тензор Кельвина-Сомильяна, а  силовой тензор влияния, причем (1.5)где  радиус-векторы точек пространства,  диадные произведения векторов,  единичный тензор,  коэффициент Пуассона,  постоянная Ламе. Вектор напряжения  вычисляется по вектору перемещения  с помощью дифференциального оператора напряжений  , /4/: (1.6)здесь  , нормаль в точке площадки, на которой вычисляется вектор напряжения. Для равноправия вхождения производных в левые и правые части в равенстве (1.1) следует вычислить нормальную производную, получится система двух равенств, выражающая саму функцию и ее нормальную производную в области через их граничные значения. Равенство (1.2) не дополняется, а к равенству (1.4) следует добавить это же равенство после применения к нему дифференциального оператора напряжения. Дополнительные уравнения имеют вид:  (1.7) (1.8)В исходных представлениях (1.1), (1.2), (1.4) и дополнительных равенствах (1.7) и (1.8) следует перейти к пределу на границу области. Существенную роль в таких предельных переходах играют интегралы типа Гаусса. В теории потенциала такой интеграл имеет вид  (1.9)Причем в случае  это равенство имеет место для ляпуновской поверхности. Для кватернионных аналитических функций применяется аналог интеграла Гаусса: (1.10)Здесь  мнимый кватернион,  кватернионный оператор Гамильтона и умножение под интегралом выполняется по правилу умножения кватернионов. В теории упругости также имеет место аналог интеграла Гаусса (1.11)Интегралы (1.10) и (1.11) в случае  сингулярны, понимаются в смысле главного значения по Коши и верны для ляпуновских поверхностей. Классические выкладки, связанные с предельным переходом известны, запишем конечный результат во всех трех случаях.а).Для гармонической функции имеем два предельных равенства, /1/:  (1.12) (1.13)Здесь выполнен предельный переход к точке  из области . В последнем равенстве производная  не занесена под интеграл, так как в противном случае потребовалось бы определить смысл интеграла, содержащего высокую особенность подынтегральной функции.б). Для кватернионной аналитической функции предельное равенство имеет вид,/2/.  (1.14)в). Аналогично для теории упругости, /3/:  (1.15) (1.16)Если функции  и их производные являются граничными значениями решений соответствующих краевых задач, то равенства (1.12)-(1.16) являются тождествами. Используем их для получения тождеств, содержащих произвол.
Если в представлении (1.1) заменить и  произвольными функциями  и  соответственно, то функция  будет гармонической. Используя интеграл Гаусса (9), можно получить предельные граничные значения этой гармонической функции и ее производной по направлению  . Подстановка этих функций в левые и правые части тождеств (1.12)-(1.13) приводит к равенствам, содержащим две произвольные функции  и  . Введем граничные интегральные операторы :  (1.17)Подстановка приводит к равенствам  .Произвол в выборе функций и позволяет положить их последовательно равными нулю. Окончательно получим:  (1.18) (1.19)Эти равенства верны для произвольных функций и .б). Имеют место аналогичные рассуждения для интегрального представления кватернионной аналитической функции /2/. В равенстве (1.2) функцию под интегралом можно заменить на произвольную кватернионную функцию : (1.20)Непосредственно проверяется, что  .Используя (1.10), можно вычислить предельное граничное значение функции  и подставить его в тождество (1.14).Введем оператор (1.21)Тогда предельные равенства (1.14) и (1.20) имеют вид соответственно, /2/:  . Подставляя  вместо , получим: (1.22)Это равенство является тождеством для произвольной кватернионной функции  . Оно может быть преобразовано в четыре тождества. Пусть дан произвольный кватернион  , где  его скалярная, а  векторная части .Используя вид оператора  , векторную интерпретацию кватернионного умножения и произвол в выборе  тождества (1.22) представляются в форме (1.23) (1.24)где буквами  обозначены интегральные операторы: (1.25)в).Пользуясь представлением решения теории упругости в форме (1.5) и предельными равенствами (1.15) и (1.16), можно получить тождества типа (1.18)-(1.19), (1.23)-(1.24) для интегральных операторов теории упругости. Введем операторы  (1.26)Первый из этих операторов известен как прямое значение обобщенного потенциала простого слоя, второй - прямое значение обобщенного потенциала двойного слоя. Техника получения тождеств громоздка, но аналогична предыдущему. Впервые они получены Д.Г.Натрошвили, /4/, и имеют следующий вид:  (1.27) (1.28)Применим полученные тождества для получения ряда известных и новых фактов.
2.1 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА Рассмотрим тождества (1.18)-(1.19). Теорема2.1. Спектры операторов  и  действительны, совпадают, собственные числа имеют равные конечные кратности, могут сгущаться только к нулю и расположены на интервале  .Доказательство. Действительно, известно что В -оператор потенциала двойного слоя, его спектр дискретен, расположен на интервале , собственные числа имеют конечную кратность и могут сгущаться лишь к нулю.Пусть  , тогда из последнего равенства (1.19) следует  , то есть собственные числа  принадлежат спектру оператора, а  являются соответствующими собственными функциями. Аналогично доказывается обратное утверждение. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между спектрами операторов и .Далее легко устанавливаются спектральные свойства операторов  и  . Действительно, из первого равенства (1.19) следует  , а из последнего равенства (1.18) -  , причем  .^ Из тождеств (1.23) и (1.24) следуют две теоремы. Теорема 2.2. За исключением точек  спектры операторов и  совпадают, собственные числа имеют одинаковую кратность, а собственные функции взаимно выражаются с помощью квадратур.Доказательство. Известно, что спектр оператора потенциала двойного слоя дискретен, собственные числа  имеют конечную кратность, могут сгущаться к точке  . Покажем, что если исключить , то спектры операторов и тождественно совпадут. Пусть . Обозначим  . Подставляя в тождества (1.23) вместо  величину и учитывая введенные значения, найдем, что  . Следовательно, всякой собственной функции оператора соответствует собственная функция оператора и они взаимно пересчитываются с помощью операторов  и  . Аналогично доказывается, что всякой собственной функции оператора соответствует собственная функция оператора . Из взаимно однозначного соответствия собственных функций операторов и следует равная конечная кратность собственных чисел этих операторов и наличие одной точки сгущения  .Теорема 2.3. Точки  являются точками непрерывного спектра оператора бесконечной кратности.Доказательство. По определению /6/, число будет точкой непрерывного спектра оператора , если найдется некомпактная последовательность  , такая что  .Пусть такая последовательность уже найдена. Подставляя ее в тождества (1.24) и переходя к пределу найдем  .Из первого предельного равенства следует, что либо  , тогда из второго равенства и некомпактности последовательности вытекает, что, либо  , тогда из некомпактности последовательности и второго равенства следует, что  и . Следовательно, точками непрерывного спектра могут быть только точкиПроверка показывает, что точки оказываются собственными числами оператора бесконечной кратности. Действительно, рассмотрим кватернион  , где  и  произвольная гармоническая функция в области  или  . Легко видеть, что кватернион - К-аналитическая функция в области гармоничности функции  . Для граничных значений К-аналитической функцииверно равенство  .Если использовать соотношения (1.22) и (1.25), то для граничных значений кватерниона из этого равенства получится . Следовательно, являются собственными числами оператора и из произвольности гармонической функции следует их бесконечная кратность. К этим двум точкам непрерывного спектра следует добавить ещё точку сгущения =0, других точек непрерывного спектра у оператора D нет.^ Обратимся теперь к граничным сингулярным интегральным уравнениям теории упругости, которые могут быть записаны через операторы (1.26).  где  - граничное значение вектора перемещения, а  - граничное значение вектора напряжения. Первое интегральное уравнение решает первую, а второе - вторую краевые задачи.( аналоги задач Дирихле и Неймана в теории упругости). Аналогично предыдущему тождества (1.27)-(1.28) позволяют доказать совпадение спектров операторов  и  , что является аналогом второй теоремы Фредгольма для вполне непрерывных операторов. В отличие от вполне непрерывных операторов содержание четвертой теоремы Фредгольма изменяется.Теорема 2.4. Спектры интегральных операторов теории упругости имеют не одну, а три точки непрерывного спектра. Доказательство опирается на обобщение теоремы Вейля о вполне непрерывных возмущениях: прибавление к замкнутому линейному оператору произвольного вполне непрерывного оператора не изменяет непрерывной части спектра, /6/: Доказательство. Действительно, интегральные операторы теории упругости и (1.26) с учетом ядра  и оператора (1.25) представляются в виде сумм  где  - число зависящее от коэффициента Пуассона, - сингулярный интегральный оператор, имеющий три точки непрерывного спектра, а  и  - интегральные операторы со слабой особенностью, которые можно считать вполне непрерывными возмущениями оператора  . Следовательно, операторы и имеют такое же количество точек непрерывного спектра, что и оператор .Другое применение тождеств (1.27) и (1.28) в теории упругости было указано Д.Г.Натрошвили. /4/. А именно тождества (1.27)-(1.28) позволяют преобразовать интегральные уравнения первого рода к интегральным уравнениям второго рода, что обеспечивает корректность задачи и возможность использования теорем существования и единственности. Таким образом предложена схема построения интегральных тождеств определённого типа и на различных примерах показана эффективность их применения для исследования свойств интегральных операторов. 2.4 Интегральные уравнения восстановления векторного поля. В этом пункте методами кватернионных функций построена компактная система интегральных уравнений для восстановления векторного поля по его ротору и дивергенции. Использованы интегральные тождества общего вида, пригодные для исследования краевых задач эллиптического типа. Определение. Кватернионами называются числа  , где  — мнимые единицы,  — действительные числа,  — мнимый кватернион, /9-13/. Повторяющийся индекс обозначает суммирование.Действия над кватернионами определяются через действия над мнимыми единицами. Если на мнимые единицы  смотреть как на орты декартового базиса, то основные операции между ними могут быть выражены через скалярные и векторные произведения:  — символы Леви- Чивита.Эти соотношения позволяют интерпретировать операцию умножения кватернионов  через скалярные и векторные произведения:
|
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 