скачать З ![]() Исследовать устойчивость состояния равновесия нелинейной следящей системы.
Исходные данные. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Введение. Линеаризацию нелинейностей будем проводить, используя метод гармонической линеаризации. Важное преимущество метода гармонической линеаризации заключается в возможности его применения к системам высокого порядка с любой сложностью линейных частей системы и с самыми разнообразными комбинациями мест, включения нелинейных звеньев. В более или менее простых нелинейных системах метод гармонической линеаризации позволяет решить задачу полностью аналитически или с применением графо - аналитических построений . В основу метода гармонической линеаризации исследования периодических процессов в нелинейных автоматических системах положено гармоническое представление сигналов системы. Далее будем рассматривать системы автоматического управления с одним нелинейным звеном. Кроме этого полагаем, что линейная часть системы имеет передаточную функцию ![]() Тогда структурную схему системы можно представить в виде, представленном на рисунке 1. ![]() Итак, на основании выше изложенного представим нашу систему, как замкнутую систему, к которой не приложены внешние воздействия. ![]() Звено с передаточной функцией ![]() ![]() ![]() Вычислим передаточную функцию линейной части. ![]()
Передаточная функция линейной части системы будет выглядеть следующим образом: ![]() По определению передаточная функция ![]() ![]() ![]() ![]() На основании свойств преобразования Лапласа из последнего равенства получаем дифференциальное уравнение относительно регулируемой величины x(t) ![]() При подстановке чисел: ![]() ^ Проиллюстрируем вычисление коэффициентов гармонической линеаризации на примере релейной характеристики общего вида (см. рис. 1.а). ![]() Если на вход этого нелинейного звена поступает гармонический сигнал ![]() ![]() (см.рис.1.в ), то на его выходе возникает периодический сигнал, период которого равен ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Во - вторых, для определения характерных точек графика сигнала на выходе нелинейного звена. В данном случае это точки ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим коэффициент гармонической линеаризации ![]() ![]() ![]() откуда , с учетом выполненных построений последовательно получаем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку в нашем случае m=1, то коэффициент ![]() ![]() Вычислим коэффициент гармонической линеаризации ![]() ![]() ![]() откуда, с учетом выполненных построений последовательно получаем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставив m=1, получим: ![]() В результате имеем: ![]() При подстановке чисел: ![]() ![]() ^ Пусть теперь структурная схема гармонически линеаризованной системы управления имеет вид, показанный на рисунке 2, и пусть линейная часть системы с передаточной функцией ![]() обладает свойством фильтра. Тогда уравнение гармонически линеаризованной системы запишется в виде ![]() где амплитуда ![]() ![]() ![]() Линеаризованное уравнение замкнутой системы ![]() ![]() При условии, что в нашем случае: ![]() Линеаризованное уравнение для нашего случая будет выглядеть следующим образом ![]() При подстановке чисел: ![]() ^ Уравнение ![]() можно рассматривать как линейное уравнение с постоянными коэффициентами, для которого характеристическое уравнение будет ![]() в нашем случае ![]() в результате получаем характеристическое уравнение ![]() При подстановке чисел: ![]() ^ Если в системе возможен периодический процесс ![]() ![]() ![]() ![]() тогда характеристическое уравнение для нашего случая будет выглядеть следующим образом ![]() ![]() Выделим действительную и мнимую части: ![]() ![]() где ![]() ![]() Приравниваем действительную и мнимую части к нулю: ![]() Мы получили систему уравнений, решением которой и будут частота автоколебаний ![]() ![]() Решая второе уравнение системы относительно ![]() ![]() Решая первое уравнение относительно переменной ![]() ![]() где ![]() Подставляя численные значения, получаем: ![]() ![]() Условие устойчивости После того, как были определены амплитуда ![]() ![]() В основе анализа устойчивости периодических процессов в системе управления лежит исследование расположения корней характеристического полинома гармонически линеаризованной системы ![]() Периодический процесс в системе имеет место в том случае, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой гармонически линеаризованной системы ![]() проходит через точку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, требуется, чтобы на данной частоте ![]() ![]() ![]() или ![]() Отсюда следует, что на рис. ![]() положительный отсчет амплитуды ![]() ![]() ![]() Аналитические зависимости для анализа устойчивости периодических процессов в нелинейных системах управления можно получить с помощью критерия Михайлова для гармонически линеаризованной системы. Для этой цели в характеристический полином ![]() гармонически линеаризованной замкнутой системы подставим ![]() ![]() В приведённом выше выражении выделим действительную и мнимую части ![]() Так как мы исследуем периодический процесс в системе управления, то годограф Михайлова должен пройти через начало координат плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть теперь в (1) ![]() ![]() сы. Таким образом, можно сделать следующий вывод. Для устойчивого периодического процесса в нелинейной системе управления требуется, чтобы при ![]() ![]() Условие устойчивости периодических процессов в нелинейной системе управления формулируется следующим образом. В системе возникают устойчивые, периодические процессы (автоколебания), если: 1. Выполняется условие ![]() 2. Все остальные корни характеристического полинома ![]() гармонически линеаризованной системы (кроме использованной нами пары чисто мнимых) имели отрицательные вещественные части, т. е. полином ![]() удовлетворял критерию Михайлова (Гурвица). Т. к. в нашем случае действительная и мнимая части будут равны: ![]() То условие устойчивости примет следующий вид: ![]() Вычисляем ![]() ![]() ![]() получили неравенство ![]() При подстановке чисел, получаем следующие решения данного неравенства: ![]() следовательно, при значениях амплитуды ![]() ^ Коэффициент передачи линейной части в нашем случае будет ![]() Будем определять его, используя условие устойчивости Найквеста. Периодический процесс в системе имеет место в том случае, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой гармонически линеаризованной системы ![]() проходит через точку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В нашем случае характеристический полином линеаризованной системы выглядит следующим образом: ![]() Выделим действительную и мнимую части: ![]() ![]() где ![]() ![]() Исходя из выше изложенного, критический коэффициент передачи будем определять, решая следующее неравенство: ![]() В результате имеем следующее выражение для ![]() ![]() Подставляя численные значения всех известных величин, получаем, что коэффициент передачи линейной части ![]() ![]()
|