Учебное пособие для студентов ммф томск 2007 icon

Учебное пособие для студентов ммф томск 2007


Смотрите также:
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...
Учебное пособие Томск 2007 Н. Н. Соколов История Франции на рубеже XVIII-XIX вв. Учебное пособие...
Учебное пособие Томск 2007 ббк: Т3(2)4-2 я73...
Учебное пособие Томск 2007 ббк 65. 272...
Учебное пособие Томск 2007 ббк 65. 272...
Учебное пособие Издательство тпу томск 2007...
Учебное пособие Издательство тпу томск 2007...
Учебное пособие Издательство Томского политехнического университета Томск 2007...
Учебное пособие Издательство тпу томск 2007...
Учебное пособие Томск 2007 ббк ю25 я 73...
Учебное пособие Издательство Томского политехнического университета Томск 2007...
Учебное пособие Нижний Новгород 2007 Балонова М. Г...



Загрузка...
скачать
Федеральное агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГУ)

Механико-математический факультет (ММФ)


УТВЕРЖДАЮ

Декан ММФ ТГУ

__________В.Н. Берцун

«_24» _мая_________2007 г.


ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

И ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ЭКЗАМЕНЫ

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ

НА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ

Учебное пособие для студентов ММФ


Томск 2007

РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО методической комиссией механико-математического факультета

Протокол от " 24 " мая___ 2007 г. №_3___


Учебное пособие содержит краткую справку по истории государственных экзаменов по специальности на механико-математическом факультете Томского государственного университета, а также программы государственных экзаменов по математике и механике, и Положение о дипломных работах.

Пособие предназначено для студентов пятого курса направления 010000 (физико-математические науки) специальностей 010100 (математика) и 010900 (механика) дневной формы обучения.


СОСТАВИТЕЛИ:

Гришин А.М., Крылов П.А., Пестов Г.Г., Старченко А.В.…………………….


^ О государственных экзаменах по специальностям

математика” - 010100 и ’’механика” - 010900

на механико-математическом факультете.


Государственный экзамен по специальности на ММФ является завершающим экзаменом в системе подготовки специалистов по математике и по механике и непосредственно предшествует дипломированию и защите дипломной работы.

Государственные экзамены по математике и механике наряду с выполнением и защитой дипломной работы были введены на механико-математическом факультете ТГУ с начала его создания в 1948 году. Программа госэкзаменов в то время охватывала сравнительно небольшой круг вопросов. Так, программа по математике включала только избранные вопросы по математическому анализу, алгебре и геометрии.

В начале 60-х годов прошлого века обязательные государственные экзамены на факультете были отменены. Однако, в виде исключения, по решению Совета факультета допускалась сдача государственных экзаменов без защиты дипломной работы.

Новая история государственных экзаменов по специальностям “математика” и ”механика” на механико-математическом факультете начинается с 1989 года. С целью повышения уровня подготовки выпускников мехмата в июне-июле 1989 года методическая комиссия ММФ приняла решение о введении на факультете государственных экзаменов по математике (для студентов, обучающихся по специальности “математика”) и по механике. (для студентов, обучающихся по специальности “механика”). Реализация этих решений потребовала большой работы всех кафедр факультета. В сентябре 1989 методическая комиссия обсудила и утвердила общие принципы, которым должны удовлетворять программы госэкзаменов по специальности на ММФ.

Проект программы госэкзамена по математике обсуждался в сентябре-октябре на двух заседаниях подкомиссии по математике. Одновременно на другой подкомиссии обсуждался проект программы госэкзамена по механике. После соответствующей доработки проекты обеих программ были приняты, Затем они были размножены и доведены до сведения преподавателей и студентов.

Введение госэкзаменов по специальности было существенным усилением требований к подготовке студентов. Поэтому к обсуждению как программы госэкзаменов, так и процедуры проведения экзаменов, были привлечены студенты факультета.

Состоялось несколько заседаний в разном составе, с участием преподавателей и студентов, прежде, чем удалось достичь согласия всех заинтересованных сторон.

Были приняты следующие установки по составлению программы и экзаменационных билетов, а также по процедуре проведения госэкзаменов по специальности.

  1. Разделы программы по отдельным дисциплинам составляются профилирующими кафедрами. Проект программы готовится методической комиссией ММФ и утверждается Советом факультета.

  2. К 1 ноября программа доводится до сведения студентов. Программа госэкзамена должна быть посильной для среднего студента.

  3. По каждому разделу программы читаются обзорные лекции силами профилирующей кафедры. Расписание обзорных лекций своевременно доводится до сведения студентов.

  4. Расписание государственных экзаменов составляется деканатом в сроки, предусмотренные учебным планом.

  5. За три дня до даты проведения государственного экзамена студент получает экзаменационный билет (впоследствии этот срок был сокращен до двух дней.).

  6. Каждый билет включает один теоретический вопрос и три задачи (впоследствии: два теоретических вопроса и две задачи.)

  7. Письменный текст доклада по вопросам экзаменационного билета студент представляет в Государственную Аттестационную комиссию в день экзамена.

  8. Государственная Аттестационная комиссия заслушивает доклад студента . Как правило, на него отводится около 15 минут. По окончании доклада члены ГАК задают вопросы.

  9. Оценки по государственному экзамену выставляются на заседании ГАК с учетом качества доклада и ответов на вопросы.

  10. Оценки по госэкзамену оглашаются в конце заседания ГАК в присутствии студентов председателем ГАК. Здесь же до сведения студентов доводятся замечания по докладам и ответам на вопросы.

  11. В первый год проведения госэкзаменов в программу госэкзаменов были включены только вопросы по трем дисциплинам. В последующие годы программа госэкзаменов будет пересматриваться с учетом результатов сдачи госэкзаменов.

Экзаменационные билеты были составлены на основе программ госэкзаменов. Первое сообщение о проекте экзаменационных билетов сделал председатель методкомиссии ММФ Пестов Г.Г. на заседании в феврале 1990 года. В этом заседании принимали участие и представители студентов. Были высказаны замечания и пожелания о некоторых изменениях в предложенном проекте.

Первый вариант экзаменационных билетов государственных экзаменов был принят методической комиссией факультета, а затем утвержден Советом ММФ в марте 1990 года.

С тех пор программа госэкзаменов пересматривается и корректируется с учетом изменений учебных планов и результатов госэкзаменов.

Государственный экзамен по специальности на ММФ, помимо своего квалификационного значения, дают студенту пятого курса возможность повторить наиболее важные темы курса математики, привести в систему свои знания, взглянуть с более широкой точки зрения на известный материал, осмыслить связи между отдельными математическими дисциплинами.

С другой стороны, для коллектива преподавателей факультета государственные экзамены служат постоянным средством контроля качества подготовки специалистов.

Председатели ГАК ежегодно выступают на Совете факультета с докладами о результатах государственных экзаменов, где они подвергаются всестороннему обсуждению. Итогом обсуждения является периодическая корректировка программ дисциплин, входящих в государственный экзамен, а также совершенствование методики приема экзаменов.


Порядок проведения и программа государственного экзамена по специальности 010100 Математика определены на ММФ ТГУ на основании методических рекомендаций и соответствующей примерной программы, разработанных НМС по математике и механике УМО университетов, Положения об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденного Минобразованием России, и государственного образовательного стандарта по специальности 010100 Математика.


^ ПРОГРАММА ГОСЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

(для специальности 010100 -математика.)


I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


  1. 1.Различные подходы к построению теории вещественных чисел. Полнота, компактность и связность множества . [Ф] том1, Введение; [ИСС] том1,гл.2; пар.1-6, [З1] гл.2, пар. 1

  2. Полные метрические пространства. Полнота C[a,b], n.[Ш 1 ч 3 ]12.2, 12.22, 12.23.

  3. Первый и второй замечательные пределы [K1] 4.5, 8.1.

  4. Свойства непрерывных отображений компактных множеств. [P] 4.5 - 4.17.

  5. Правило Лопиталя и формула Тейлора для вещественной функции вещественного аргумента. Различные формы остаточного члена.[K1] пар. 12, 13, [K2], 37.5, 37.6 [З 1] , гл.5, 3.2, 4.4, гл. 6, 3.3.

  6. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Признаки сравнения. Признаки Коши, Даламбера, Дирихле, Лейбница, интегральный признак. [K2], 34.1-34.13, [Ф] том 2, пп 365-68, 376-377, 381-384.

  7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема Тейлора. Радиус сходимости и круг сходимости. [K2] 37.1, 37.2.

  8. Построение меры Лебега в  n. [Кл] гл 3, пар 1-3.

  9. Определение и свойства интеграла Лебега. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. [P] гл. 10,[Кл] гл 5, пар.2, 3.

  10. Интеграл Римана [К1],пар.27 [З1] гл.6, пар.1,2

  11. Основные операции анализа над функциональными рядами. [К2] 36.1-36.4, [ИCC], том 2, гл. 2, пар. 3,4.

  12. Теорема о сечениях измеримого множества. Теорема Фубини в  n.[З2], гл. 9, пар. 4

  13. Дифференциал отображения из  m в  n. Производная матрица ( матрица Якоби). Основные правила дифференцирования. Теорема о смешанных производных. [З1] гл. 8, пар. 2,3, [К2] 41.6, 41.7.

  14. Теоремы о неявном отображении и об обратном отображении. [З1] гл. 8, пар. 5, [К2] 41.1-41.3.

  15. Замена переменных в кратном интеграле. [З2] гл. 9, пар.5.

  16. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. [К1] 33.1-33.6[К2] пар.53, 54.1-54.3[З1] гл.6, пар. 5.

  17. Внешние дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях в  3. Формулы Грина, Гаусса, Остроградского, Стокса. [З2] гл. 12, 13 Интеграл Лебега. [Кл] гл 5, пар.2, 3.


ЛИТЕРАТУРА.

  1. 1.(K1) Кудрявцев Л.Д.Курс математического анализа.T.1,1988,(K2), т. 2, (K3) т. 3.

  2. (31) Зорич В. А. Математический анализ, ч.1,1981; (32) ч. 2, 1984.

  3. (Ш1) Шилов Г. Е. Математический анализ, функции одного переменного. Ч.3, 1970.

  4. (Р) Рудин У. Основы математического анализа. 1976.

  5. (Кл) Клементьев З. И. Курс лекций по теoрии функций действительного переменного, 1978.

  6. (Ф) Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1,2,3.

  7. (ИСС) Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Т. 1, 1985.


^ II. АЛГЕБРА


  1. Определители порядка n и их свойства. Теорема Лапласа и ее следствия. Определитель произведения матриц. Обратная матрица.(K) гл.1, (Ф) гл.4, (C) гл.1, (Ko) гл.3.

  2. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Теорема Кронекера- Капелли. Построение общего решения системы линейных уравнений. Теорема о размерности пространства решений. (К) гл. 2, (Ф) гл. 4, (С) гл. 1, (Ко) гл. 2 § 4.

  3. Построение поля комплексных чисел. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из единицы. Единственность поля комплексных чисел. (К) гл. 4, (Ф) гл. 2, (Ко) гл. 5 §1.

  4. Многочлены. Деление с остатком. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов. Корни многочленов. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия. Неприводимые многочлены над полями C и R. (К) гл. 5, 10, (Ф) гл. 3,6-8, (Ко) гл. 5 §§ 2, 3.

  5. Линейные пространства над полем. Теорема о замене Базисы и размерность пространства. Арифметическое линейное пространство (пространство векторов-строк). Изоморфизм линейных пространств. Теорема о размерности суммы подпространств. (К) гл. 7, (М) гл. 2, (С) гл.3 , (Ко) гл. 2.

  6. Линейные операторы линейного пространства. Матрица линейного оператора. Переход к другому базису. Образ и ядро оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта оператора. (К) гл. 7 § 31, (М) гл. 3 §§1, 2, 4, (Ф) гл. 12, (Ко М) ч. 1.

  7. Кольцо и алгебра линейных операторов. Их изоморфизм кольцу и алгебре матриц. Группа обратимых операторов линейного пространства. Ее изоморфизм полной линейной группе. (К) гл. 7 §§ 31, 32, (М) гл. 3 §3, (Ф) гл. 12.

  8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теорема о совпадении собственных значений и характеристических корней линейного оператора. Алгоритм вычисления собственных значений и собственных векторов. (К) § 33, (М) гл. 3 § 5.

  9. Теорема Шура для комплексных пространств и ее аналог для вещественных пространств. Матричные варианты теоремы Шура. (Ф) гл. 13 §4.

  10. Ортогональные (унитарные) операторы евклидовых пространств. Их характеризация в терминах базисов и матриц. Критерий Эйлера-Даламбера, критерий унитарности. Ортогональная и унитарная группы. (К) 35, (М) гл. 5 §3, (Ф) гл.13 §§6, 7, (Ко М) ч. 2 §7.

  11. Сопряженные операторы. Симметрические (эрмитовы) операторы евклидовых (унитарных) пространств, их матрицы, собственные значения. Критерии симметричности и эрмитовости операторов. (К) § 36, (М) гл. 5 §§ 2, 3, (Ф) гл. 13 §§ 6,7, (Ко М) ч. 2 § 8.

  12. Билинейные и квадратичные формы на линейных пространствах и их матрицы. Теорема Лагранжа о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы. Квадратичные формы на евклидовых пространствах. Приведение квадратичной формы к главным осям. (К) гл. 6, гл. 8 §37, (М) гл. 6, (Ф) гл. 5.

  13. -матрицы их эквивалентность. Теорема об эквивалентности -матрицы канонической -матрице. Унимодулярные -матрицы. Критерий подобия числовых матриц. Жордановы матрицы. Теорема о приведении матрицы к жордановой нормальной форме. (К) гл. 13, (М) гл. 4 §3, (Ко М) ч. 1 §9, (Ко) Дополнение.

  14. Группы, подгруппы, теорема Kэли. Разложение группы по подгруппе. Теоpема Лагранжа и ее следствия. Теорема о циклических группах. Нормальные подгруппы, фактор-группы, примеры. Теорема о гомоморфизмах групп и ее применениях. (К) гл.14, (Ф) гл.10, (С) гл. 2 §3, (Kо) гл. 4 §§2,3, гл.7 §3.

  15. Кольца, пoдкольца. Делители нуля и обратимые элементы в конечных кольцах. Мультипликативная группа кольца. Идеалы фактор-кольца. Теорема о гомоморфизмах колец. Целостное кольцо, его поле дробей. Факториальные, евклидовы кольца. Кольца главных идеалов. (С) гл. 2 §§ 4, 6, (Ко) гл. 4 § 4, гл. 5 §§3, 4, гл. 9 §2.

  16. Поля, подполя. Теорема о конечных коммутативных кольцах без делителей нуля. Поле вычетов. Простые поля. Поле разложения многочлена. Конечные расширения полей. Алгебраические расширения полей. Теорема Штейница. Конечные поля. (К) гл.10, (Ко) гл.4 §4, гл.6 §3, гл. 9 §1.

ЛИТЕРАТУРА


  1. (К) Курош А.Г. Курс высшей алгебры, 1975.

  2. (М) Мальцев А.И. Основы линейной алгебры,1956.

  3. (Ф) Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре, 1984.

  4. (Ко М) Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия,1980.

  5. (С) Скорняков. Элементы алгебры, 1980.

  6. (Ко) Кострикин А.И. Введение в алгебру, 1977.

  7. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.1973.
^

III ГЕОМЕТРИЯ



1.Метрические инварианты кривых 2-го порядка. Приведение к каноническому виду уравнений кривых 2-го порядка при помощи инвариантов. Классификация кривых 2-го порядка.

\1\, гл.ХУ1, п.2-4.

2.Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Касательные прямые и касательная плоскость. Особые точки поверхности второго порядка. Асимптотические направления, конус асимптотических направлений. Центр поверхности второго порядка.

\1\, гл.Х1Х, п.3-5.

3.Понятие аффинного пространства. Автоморфизмы аффинного пространства. Аффинная группа преобразований. Формулы, определяющие аффинное преобразование. Основные свойства аффинной группы и ее инварианты.

\1\, гл.Х1, п.1-4.

4.Плоскости в n-мерном аффинном пространстве. Взаимное расположение плоскостей.

\2\, гл.Ш, п.3,7.

5.Касательная и нормали пространственной кривой. Деривационные формулы репера Френе. Кривизна и кручение кривой.

\3\, гл.1У, п.38-41, \5\, гл.4, п.1-4.

6.Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна нормального сечения. Главные кривизны. Формула Эйлера. Полная и средняя кривизна поверхности. Три типа точек на поверхности.

\3\, гл.У, п.48,54,55,56,57. \4\, Лекция 4.

7.Нормальная и геодезическая кривизны кривой на поверхности. Геодезические линии, их геометрические свойства.

\3\, гл.У11, п. 88, 89, 90, 92,93.


ЛИТЕРАТУРА

  1. Александров П.С. – Лекции по аналитической геометрии.

  2. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. – Линейная алгебра и многомерная геометрия.

  3. Рашевский П.К. – Курс дифференциальной геометрии.

  4. Постников М.М. – Гладкие многообразия.

  5. Щербаков Р.Н., Лучинин А.А. – Краткий курс дифференциальной геометрии.




  1. ^ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ




  1. Теорема существования для одного ДУ первого порядка и для системы таких уравнений. [I] гл.3 §§ 11,12,14, гл.4 § 31; [2] гл.4 §§ 20-21; [3] гл.2 §1.

  2. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Пространство решений. Формула Луивилля-Остроградского. [I] гл.5 §33; [2] гл.1 § 6; гл.2 §17; [3] гл.5 §§1,2.

  3. Неоднородные дифференциальные уравнения и системы. Метод вариаций произвольных постоянных. [I] гл.5 §§ 39,40; [2] гл.1 § 6; гл.2 §17,18; [3] гл.5 §3.

  4. Линейные однородные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Их решение. [I] гл.6 §45; [2] гл.2 §§ 7,8,14; [3] гл.6.



ЛИТЕРАТУРА


  1. Петровский И. Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений.

  2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

  3. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.



^ V. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО


  1. Голоморфность. АС п.6.3.

  2. Интегральная теорема и интегральная формула Коши. АС п..п.8.1, 8.2

  3. Изолированные особые точки и их классификация. АС п.п.14.1-14.4

  4. Вычеты и их приложения. АС п.п. 15.1, 15.2, 16.1, 16.2.

  5. Конформные отображения. АС п. 91.1.

  6. Свойства дробно-линейных функций. АС п.п. 19.3, 19.4.

  7. Теорема Римана о конформной эквивалентности круга и односвязной области. АС п. 20.1.



ЛИТЕРАТУРА


  1. Александров И. А. , Соболев В. В. Аналитические функции комплексного переменного. М.: Высшая школа, 1984.



^ VI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


1. Нормированнные и банаховы пространства. Примеры: C[a,b],с0, lp, Lp(μ). Неравенства Гельдера и Минковского. [4] §1; [I] стр. 52-55; [2] гл. 1 §5, гл. 2 §1.

  1. Линейные ограниченные операторы и функционалы. Сопряженные пространства. Описание сопряженных простpанств. (c0)*, (lp)*, (Lp(μ))*. Сопряженные операторы. [I] гл. 4 §1,2; [4] §§ 2, 3, 9.

  2. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. [3] гл. 3 §1, 4; [4] §§12 ,13.

  3. Теорема Бэра и теорема Банаха об обратном операторе. Теорема Банаха-Штейнгауза . [I] стр. 70-71, 224-227, стр. 41, 115-123; [4] §§3, 7 .

  4. Ортонормированные системы и ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Теорема Гильберта-Шмидта. [I] Гл. 3 §4, §6; [3] гл. 3 § 4.



ЛИТЕРАТУРА


  1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.

  2. Л. . Люстерник, В. И. Соболев. Краткий курс функционального анализа ,1982.

  3. А. А.Кирилов, А. Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. Наука ,1979.

  4. Г. В. Сибиряков. Введение в теорию пространств Банаха. Изд-во ТГУ, 1982.


^ VII. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


  1. Вероятностное пространство: Концепции Колмогорова и Мизеса.[1]

  2. Схема Бернулли.[1;2]

  3. Законы больших чисел.[1;2]

  4. Центральная предельная теорема.[1;2]

  5. Метод максимального правдоподобия.[2;3]

  6. Метод наименьших квадратов.[2;3]

  7. Статистическое оценивание параметров распределений.[2;3]

  8. Критерий 2 проверки статистических гипотез.[2;3]

  9. Критерий Колмогорова проверки статистических гипотез.[2;3]



^

ЛИТЕРАТУРА




1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.


2 Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М. “Инфра-М”, 1997.

3 Ивченко В. А., Медведев Г. И. Математическая статистика, М. 1985.


^ VIII. ТОПОЛОГИЯ


  1. Топологические пространства. Открытые и замкнутые множества. Окрестности. Задание топологии на языке окрестностей. Подпространства. [I] §1.1-1.2, [2] гл. 1 §1.

  2. Непрерывные отображения. Описание непрерывности на языке окрестностей, открытых и замкнутых множеств. Гомеоморфизмы. [I] §1,4, [2] гл. §3.

  3. Xаусфордовы, регулярные и нормальные пространства. Теорема Урысона. Вполне регулярные пространства. Теорема Титца-Урысона. [I] § 1.5, [2] гл. 3 §§ 1,2.

  4. Компактные пространства. Свойства компактных простраств. Теорема Тихонова. [I] § 3.1, [2] гл. 3 §3.

  5. Связные пространства и связные множества в топологических пространствах. [2] гл. 3 §5.



ЛИТЕРАТУРА





  1. Р. Энгелькинг. Общая топология. - М.: Мир, 1986.

  2. Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979.


^ IX. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ


  1. Приведение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка к канонической форме в точке. Локальная классификация уравнений с двумя неизвестными переменными Типы уравнений.

  2. Колебания струны.

  3. Интегральное представление гладких функций. Свойства гармонических функций.

  4. Основные (пробные) функции.

  5. Обобщенные функции (распределения).

  6. Прямое произведение и сверка обобщенных функций.

  7. Преобразование Фурье основных и обобщенных функций.

  8. Фундаментальные решения. Примеры.

Литература


  1. В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. – М.: 1976.

  2. В.С. Владимиров. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука. 1976.

  3. С.В. Михлин. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высшая школа. 1977.

  4. С.Л. Соболев. Уравнения математической физики. – М.: Наука. 1992.



^ X. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

  1. Основные этапы вычислительного эксперимента на ЭВМ. Составные части погрешности численного решения задачи. [1].

  2. Интерполирование сплайнами (Кубический сплайн на С2 [a,b].). [2].

  3. Формула Гаусса для приближенного вычисления интегралов. [3].

  4. Итерационные методы решения нелинейных уравнений (метод простой итерации, метод хорд и касательных). [4].

  5. Метод Эйлера и его модификации. [5,8].

  6. Явные и неявные схемы для уравнения теплопроводности (аппроксимация, устойчивость, сходимость). [5, 8].

  7. Метод вращений отыскания собственных значений и собственных векторов симметрических матриц. [7].

  8. Методы приближенного вычисления двойных интегралов. [8].

  9. Метод простой итерации и метод Зейделя для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. [7].



ЛИТЕРАТУРА





  1. Теория погрешностей (Метод. указания). Томск, 1988.

  2. Кубические сплайны (Метод. указания). Томск, 1989.

  3. Приближенное вычисление определенных интегралов (Метод. указания), Томск, 1988.

  4. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений ( Метод. указания), Томск, 1989.

  5. Крылов В. И. и др. Вычислительные методы. Т.2. М, 1977.

  6. Крылов В. И. и др. Вычислительные методы. Т.2. М., 1977.

  7. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений т.I,II. М .1966.

  8. Калиткин Н. Н. Численные методы М., 1978.



Порядок проведения и программа государственного экзамена по специальности 010900 Механика определены ММФ ТГУ на основании методических рекомендаций и соответствующей примерной программы, разработанных НМС по математике и механике УМО университетов, Положения об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденного Минобразованием России, и государственного образовательного стандарта по специальности 010900 Механика.


^ ПРОГРАММА ГОСЭКЗАМЕНА ПО МЕХАНИКЕ

(специальность «механика» 010900)


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Классическая динамика материальной точки и системы


  1. Теоремы о количестве движения материальной точки и механической системы. Законы сохранения, вытекающие из этих теорем.

  2. Теоремы о моменте количества движения материальной точки и механической системы. Вращение механической системы вокруг оси. Интегралы площадей.

  3. Теоремы о кинетической энергии материальной точки и механической системы. Интеграл энергии.

  4. Две задачи динамики. Алгоритм решения основной задачи динамики.

  5. Уравнения относительного движения и равновесия материальной точки. Силы инерции.

  6. Теорема о движении центра масс механической системы и применение ее при описании движения твердого тела.

  7. Динамика точки переменной массы. Две задачи Циолковского.

  8. Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения твердого тела.

  9. Дифференциальные уравнения движения точки по поверхности в декартовых координатах и естественные уравнения. Частные случаи движения точки по идеально гладкой поверхности вращения.

  10. Принцип Даламбера для системы материальных точек. Силы инерции при плоско-параллельном движении твердого тела.

  11. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода.

  12. Уравнения Лагранжа второго рода.

  13. Уравнения движения Рауса для голономной системы материальных точек. Циклические координаты.

  14. Вынужденные колебания точки. Влияние силы сопротивления на вынужденные колебания. Резонанс.

  15. Динамические уравнения Эйлера для движения твердого тела.

  16. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции.

  17. Задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Первые интегралы дифференциальных уравнений движения.

  18. Основные законы динамики.

  19. Теоремы сложения скоростей и ускорений при сложном движении точки.

  20. Канонические уравнения. Метод Пуассона нахождения первых интегралов.

  21. Законы сохранения, вытекающие из общих теорем динамики системы.

  22. Канонические преобразования. Частные виды производящих функций.

  23. Способы задания движения точки и соответствующие им дифференциальные уравнения движения.


Устойчивость, равновесие и вариационные

принципы механики

  1. Уравнения равновесия твердого тела. Уравнения равновесия плоской системы сил.

  2. Принцип виртуальных перемещений. Уравнения равновесия системы в декартовых координатах.

  3. Потенциальное поле сил. Принцип Торричелли.

  4. Устойчивость равновесия. Теоремы Лежен-Дирихле и Ляпунова.

  5. Малые движения голономной системы вблизи положения равновесия.

  6. Понятие об устойчивости движения. Три теоремы Ляпунова об устойчивости движения.

  7. Определение устойчивости движения по первому приближению.

  8. Вариационный принцип наименьшего принуждения Гаусса и принцип прямейшего пути Герца.

  9. Вариационный принцип стационарного действия Гамильтона-Остроградского.


Литература

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 2. 1955.

2. Томилов Е.Д. Теоретическая механика. Ч. 1. 1966; Ч. 2. 1970.

3. Берёзкин Е.Н. Курс теоретической механики. М: Изд-во МГУ, 1974, 648 С.

4. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. 41, 1965, 468 С., Ч 2., 1965. 520 С.


^ МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.

    1. Уравнение неразрывности в переменных Эйлера и Лагранжа.

    2. Интегральные законы сохранения в МСС. Формула перехода от интегральных уравнений к дифференциальным в переменных Эйлера.

    3. Тензор скоростей деформации, механический смысл его компонент.

    4. Тензор напряжений, его компоненты.

    5. Главные оси и главные напряжения в сплошной среде.

    6. Уравнения движения сплошной среды в напряжениях.

    7. Доказательство симметричности тензора напряжений.

    8. Алгебраические операции над тензорами. Перестановка индексов: Свертка. Перемножение.

    9. Модель упругой сплошной среды. Обобщенный закон Гука. Упругие константы

    10. Модели упруго-пластического тела.

    11. Плоские упругие волны.

    12. Модель вязкой жидкости. Обобщенный закон Стокса.

    13. Теория размерностей. -теорема.

    14. Система уравнений вязкой жидкости и критерии подобия.

    15. Переменные Эйлера и Лагранжа. Переход от одних переменных к другим.

    16. Скорость и ускорение в переменных Эйлера и Лагранжа.

    17. Модель идеальной жидкости. Обтекание круглого цилиндра и идеальной несжимаемой жидкостью.

    18. Полная система уравнений, описывающая движение идеальной жидкости.

    19. Вихревые и безвихревые течения идеальной жидкости.

    20. Уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера и Громека-Ламба.

    21. Интеграл Бернулли.

    22. Интеграл Коши-Лагранжа.

    23. Основы метода комплексных переменных в гидромеханике.

    24. Уравнения движения упругого тела в перемещениях.

    25. Теория пограничного слоя. Уравнения Прандтля.

    26. Турбулентное течение вязкой жидкости. Уравнения Рейнольдса. Турбулентные напряжения.

    27. Теорема Гельмгольца о распределении скорости в жидкой частице.


Литература

1. Гриднева В.А. Лекции по механике сплошной среды. Томск: Изд-во Том. ун-та. 2004. 428 с.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. М.: Наука, 1995.

3. Л.И.Седов. Методы подобия и размерности в механике, М.: Наука, 1987.

4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.:

Наука, 1987. – 840 с.


^ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА

  1. Истечение газа из ресивера. Течение в сопле Лаваля.

  2. Трубка тока в несжимаемой и сжимаемой жидкости.

  3. Уравнение неразрывности для смесей газов.

  4. Поверхность сильного разрыва и скорость ее перемещения.

  5. Условия динамической совместимости и типы сильных разрывов.

  6. Теория прямого скачка уплотнения. Адиабата Гюгонио.

  7. Поверхность слабого разрыва. Распространение возмущений от точечного источника звука.

  8. Система уравнений для одномерных нестационарных движений газа в переменных Эйлера и Лагранжа.

  9. Характеристики для одномерных неустановившихся течений газа.

  10. Метод характеристик в задачах газовой динамики.

  11. Простые волны.

  12. Центрированная, полная и неполная волны разрежения.

  13. Сверхзвуковое обтекание угла с раствором больше .

  14. Аэродинамические коэффициенты.

  15. Газодинамика гетерогенных сред. Основные понятия и определения.

  16. Замороженная и равновесная скорости звука. Влияние изменения состава среды на скорость звука.

  17. Основы гидродинамической теории детонации.

  18. Полная система уравнений динамики вязкого газа.


Литература

  1. Черный Г.Г. Газовая динамика М.: Наука, ГРФМЛ, 1988. 424 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.:

Наука, 1987. – 840 с.

3. Кочин Н. Е„ Кибель И. А., Розе Н. В.

Теоретическая гидромеханика: В 2-х т./Под ред.

И.А. Кибеля.-М.: Физматгиз, 1963. Часть1 -584 с.

Часть 2-728 с..

4. Г.Н. Абрамович. Прикладная газовая динамика. М.:

Наука, 1976.- 888 с.





^ ТЕРМОДИНАМИКА И МЕХАНИКА РЕАГИРУЮЩИХ СРЕД

  1. Процессы переноса и коэффициенты переноса.

  2. Законы Фурье, Фика и Ньютона.

  3. Уравнения состояния в термодинамике. Теплоемкость. Формула Майера.

  4. Основные термодинамические функции.

  5. Первое начало термодинамики. (Формулировка и пример).

  6. Принцип Ле-Шателье.

  7. Цикл Карно. Теорема Карно.

  8. Внутренняя энергия системы. Первое начало термодинамики.

  9. Температура и энтропия. Второе начало термодинамики.

  10. Фазовые переходы первого рода. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса.

  11. Энтропия в неравновесных системах.

  12. Полная система уравнений определяющих течение сжимаемого реагирующего газа.

  13. Критерии подобия комплексного и параметрического типа. Физический смысл критериев: .

  14. Понятие о сопряженных задачах механики реагирующих сред.


Литература

1. Алексеев Б.В., Гришин A.M. Физическая газодинамика реагирующих сред. М.: Высшая школа, 1985. 464 с.

2. Нигматулин Р.И. Механика многофазных сред. 4.1,2. М.: Наука, 1987.

3. Гришин A.M. Моделирование и прогноз катастроф. Ч. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003.518с.

4. Гришин A.M. Моделирование и прогноз катастроф. Ч. 2. Кемерово: Изд-во «Практика», 2005. 558 с.

5. Гришин A.M., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред. Новосибирск: Изд-во Наука. Сибирское отделение. 1984. 318с.

  1. Новиков И.И. Термодинамика.- Л.: Машинострое-

ние, 1984.

  1. Лушпа А.И. Основы химической термодинамики и кинетики химических реакций. М.: Изд-во Машиностроение, 1981. -240 с.

^ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1 Формула Тейлора для действительной функции одной действительной переменной.

2. Непрерывность и дифференцируемость функций многих переменных.

3. Ряды Тейлора для функций многих переменных

4. Необходимые условия экстремума функций многих переменных.

5. Достаточные условия локального экстремума действительной функции многих переменных.

6. Формула преобразования криволинейных интегралов в поверхностные и ее физический смысл.

7. Формула преобразования поверхностных интегралов в объемные и ее физический смысл.


АЛГЕБРА

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений, теорема Крамера, теорема Кронекера-Капелли.

2.Теорема о размерности пространства решений однородной системы.

3. Квадратичные формы и их классификация.

^ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Ортогональные матрицы, ортогональные преобразования.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка (теорема Пеано), существования и единственности (теорема Пикара)

2. Однородные линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Решение однородных и неоднородных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

^ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1 Классификация уравнений в частных производных второго порядка.

.2 Типы граничных условий и их физический смысл в механике сплошной среды.

3. Постановка основных краевых задач для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

4. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка в точке. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными.

5 Задача Коши для уравнения теплопроводности. 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона.

.6. Решение смешанной задачи методом Фурье.

7. Задача Коши для волнового уравнения.

^ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО

1. Условия Коши-Римана для аналитических функций.

2. Ряд Лорана.

3.Интегральная теорема и формула Коши. Вычеты.


^ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1. Метод наименьших квадратов.


МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

  1. Корректность и обусловленность постановки вычислительной задачи. Примеры корректно и некорректно поставленных, хорошо и плохо обусловленных вычислительных задач.

  2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Вопросы сходимости итерационных методов. Примеры итерационных методов решения СЛАУ.

  3. Приближение функций. Подходы к решению задачи приближения. Интерполяция функций, заданных таблично, сплайнами из C2[a; b]

  4. Замена дифференциальной задачи задачей разностной. Сетки. Сеточные функции. Нормы в пространствах сеточных функций. Шаблоны. Примеры дифференциальных и, соответствующих им, разностных задач.

  5. Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностной схемы. Связь между аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью. Примеры проверки аппроксимации и доказательства устойчивости разностных схемы.

  6. Явные и неявные разностные схемы и их разрешимость. Метод прогонки. Пояснить на примере краевой задачи третьего рода для уравнения теплопроводности.

  7. Экономичные разностные схемы. Метод расщепления и его применение к построению экономичных разностных схем.

  8. Методы построения разностных схем: метод неопределенных коэффициентов и итерационно-интерполяционный метод.

Литература

  1. Меркулова Н.Н., Михайлов М.Д. Методы приближенных вычислений: Учебное пособие. – Томск: Томский государственный университет, 2005. – 275 с.

  2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: «Наука», 1975. – 631 с.

  3. Берцун В.Н. Сплайны сеточных функций. Томск: Томский государственный университет, 2002. – 124 с.

  4. Годунов С.К, Рябенький В.С. Разностные схемы.- М.: Наука,1973- 400 с.

  5. Гришин А.М., Берцун В.Н., Зинченко В.И. Итерационно-интерполяционный метод и его приложения. Томск: Томский государственный университет, 1981. – 161 с.




Скачать 273,64 Kb.
оставить комментарий
Дата30.11.2011
Размер273,64 Kb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх