Учебное пособие Санкт-Петербург 2008 удк 531
скачать
Ю.А. Иванов Оценка работоспособности технологического оборудования с использованием законов теоретической механики  Санкт-Петербург 2008 Федеральное агентство по образованию _______________________________________________________________ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский Государственный технологический институт ( Технический университет ) Кафедра теоретической механики Ю.А. Иванов ^ работоспособности технологического оборудования с использованием законов теоретической механики Учебное пособие Санкт-Петербург 2008 УДК 531 ^ : Учебное пособие. – СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2008. – 75 с. Учебное пособие по курсу теоретической механики предназначено для студентов инженерно-кибернетического факультета. Выполнение курсовой работы с анализом функционирования элементов технологического оборудования обуславливается учебным планом. В пособии представлены основные положения теории, методические указания и примеры выполнения этапов задания. Новизной данного учебного пособия является практическое использование законов механики применительно к технологическому оборудованию, получение конкретных численных величин, их анализ с использованием компьютерных программных продуктов. Рецензенты: кафедра прикладной механики Балтийского Государственного университета. каф. прикладной механики доц. канд. техн. наук Бартенев Д.А. Рекомендовано к изданию РИСО СПбГТИ(ТУ) СПбГТИ(ТУ), 2008. ВведениеКурсовая работа состоит из трех этапов для студентов специальностей факультета информатики и пяти этапов для инженерно-кибернетического факультета. В структуру курсовой работы входят следующие темы:
Теоретическая механика изучает основные законы механического движения. На базе этих законов формируются многие инженерные задачи при осуществлении проектирования новых машин и аппаратов химико-технологического оборудования. Изучение положений теорий проводится не на реальных конструкциях, а на моделях имитирующих в общем случае те или иные характерные особенности механизмов оборудования.  а бРисунок 1а,б. Реальная система трубопроводов на химических заводах Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) ^ Кафедра теоретической механики Дисциплина: теоретическая механика К  урс II Группа С   тудент Дата ^ Т  ема:  О  сновная цель работы:С  рок предоставления к защите Список основной литературы: Руководитель: / / Студент: / / ^ При эксплуатации оборудования в потенциально опасных производствах немаловажную роль играют системы трубопроводов (рисунок 1) по которым подаются соответствующий набор компонентов. К трубопроводам подсоединены насосы, реакторы, охладители и т.п. При эксплуатации трубопроводов возможно уменьшение сечений за счет попадании посторонних предметов вовнутрь их или отложения на стенках солевых или других отложений. В результате меняются динамические характеристики движения, увеличивается нагрузка на преодоление заторов, растет давления внутри трубы, а это может привести к возникновению аварийных ситуаций. Умение правильно рассчитывать динамические параметры способствует обеспечению техники безопасности при эксплуатации технологического оборудования. Применение вычислительной техники позволяет анализировать ход и правильность математических вычислений и исследовать критические ситуации.
Движение материальной точки массы m под действием системы сил и реакций связей, обозначенных совокупно  с равнодействующей
подчиняется уравнению
здесь  – вектор ускорения точки, F – главный вектор всех действующих сил.^ Пусть материальная точка двигается вдоль прямолинейной оси Х. В этом случае текущая координата x подчиняется дифференциальному уравнению:
здесь  – скалярная проекция равнодействующей на ось X.Отметим, что уравнение (3.2) может быть переписано в виде:
где  – скалярная проекция скорости на ось X.Представим скорость в виде  . Для решения уравнения (2) необходимо разделить переменные следующим образом:
Интегрируя (3.8) с учетом начальных условий получим
Введем обозначение:  Тогда (3.9) может быть записано в виде:  Разрешив это уравнение относительно V, определяем зависимость между координатой и скоростью точки
Проинтегрируем полученное уравнение с учетом начальных условий и зависимости , предварительно разделив переменные
Окончательно определяем зависимость между координатой точки и временем:
Рассмотрим отдельно случай, когда не удается разрешить уравнение (3.9) относительно скорости (или требуется определить зависимость между скоростью и координатой точки). В этом случае целесообразно использовать преобразование:  Тогда исходное уравнение (3.2) после разделения переменных может быть представлено в виде:
Интегрируем (3.13) с учетом начальных условий
Разрешая (3.14) относительно скорости, определяем зависимость между скоростью и координатой
Для нахождения зависимости между координатой точки и временем применяется методика, изложенная выше (3.8)–(3.12). ^ В трубопроводе потенциально опасного производства движется частица, принимаемая за материальную точку. В результате загрязнения трубопровода частица имеет массу m кг. и, получив в точке А начальную скорость  , движется в изогнутой трубе (^ ), находящейся в вертикальной плоскости (рисунок 2). На участке (AB) на частицу помимо силы тяжести действуют постоянная сила Q, направленная против движения точки, и сила сопротивления R, зависящая от скорости  . В точке B частица, не изменяя скалярной величины своей скорости  , переходит на участок трубы (BC) длины L, где на нее кроме силы тяжести действует переменная сила F, зависящая от времени и направления вдоль линии движения частицы. , – углы наклона ветвей трубы, отсчитываемые от линии горизонта против часовой стрелки.^
Допущения:
Исходные данные должны быть сведены в таблицу 1. Таблица 1
(числа поставлены в таблице для примера; знак минус в величине силы F означает, что она направлена против скорости частицы)  Рисунок 2. Указания Перед решением задачи следует изобразить модель трубопровода с учетом наклона ветвей, как показано на рисунке 2. Решение задачи разбивается на два этапа. На первом этапе следует составить и проинтегрировать методом разделения переменных с учетом начальных условий дифференциальное уравнение движения частицы на участке (AB). Затем, зная длину участка  (или время движения на этом участке), необходимо определить скорость частицы в точке ^ , которая будет начальной на участке (BC). После чего на втором этапе необходимо снова составить и проинтегрировать с учетом начальных условий дифференциальное уравнение движения на участке (BC), ведя отсчет времени от момента, когда частица находилась в точке B.^ Рассмотрим движение частицы на участке (AB) (рисунок 3).  Рисунок 3. Изобразим частицу в промежуточном положении и покажем действующие на нее силы и реакции связей  . Проводим из точки A ось Y в направлении движения частицы. Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки вдоль оси Y:
Учитывая что  получим
С помощью преобразования  разделяем переменные в уравнении (3.16)
Здесь введены обозначения:   .Тогда наше уравнение (3.17) может быть проинтегрировано с учетом начальных условий при   ,  Отсюда определяем
Взяв экспоненту от левой и правой частей равенства (3.19), находим после преобразований значение скорости частицы в точке B:
Подставляя исходные данные, получаем  .Теперь рассмотрим движение частицы на участке BC, для которого скорость является начальной (рисунок 4). Рисунок 4. Изобразим частицу в промежуточном положении и покажем действующие на нее силы и реакции связей  , проведем из точки B ось X в направлении движения материальной точки вдоль оси X в форме (3.3)
Здесь  Очевидно  . Тогда получим, разделяя переменные в (3.21) и интегрируя с учетом начальных условий при ,  .
Отсюда выражаем скорость точки в зависимости от изменения времени
Представляя , разделяем переменные в (3.23) и интегрируем с учетом начальных условий
Окончательно выразим координату  как функцию 
Зависимость (3.25, и 3.26) может быть представлена графически с помощью компьютера с использованием MATHCAD или в любом другом программном графическом продукте . Аналогично строится график зависимости скорости частицы от координаты на этом участке где:
Замечание: в нечетных вариантах сила Q направлена против направления скорости, а в четных вариантах направление Q совпадает с направлением скорости. Правило отложения углов наклона трубопровода представлено на рисунок 5.  Рисунок 5 Угол поворота φ откладывается от А0В против хода часовой стрелки; угол поворота θ откладывается от ВС0 по ходу часовой стрелки; ^ Дано: m  = 4, кгV0 = 12, м/с Q = 12, Н R = 0,8V2, Н l = 2,5, м f = 0,2 Fx =- 8cos(4t), Н Рисунок 6 Найти: скорость подхода затора D на участке АВ в точке В и закон движения затора x = f(t) на участке BC. Решение Модель движения затора D представлена на рисунке 6. Из точки А под действием принудительной силы сдвинули условную точку D в начальный момент времени массой m = 4кг, со скоростью V0 = 12 м/с, ГД в точке А установлена декартова система координат Axyz. Противодавление равно Q = 12 Н, сила сопротивления R = 0,8V2 . Длина участков АВ и ВС одинакова и равна L = 2,5 м. На втором участке действует сила трения с коэффициентом трения f = 0,2 и ^ Силы, действующие на этом участке на тело D показаны на рисунке. Зададим ось ох и запишем основное уравнение динамики движения груза : .Необходимо преобразовать в левой части уравнения переменные. Домножим и разделим на dx  ,Подставив в правой части значение R, имеем  .Разделим левую и правую части уравнения на массу m  .Сделав соответствующие преобразования, имеем  ,  ;  , ,  ,  , получим .По начальным условиям при t = 0, х = 0; V = V0, откуда постоянная интегрирования  . В результате преобразования находим  , , ,  , , в результатеизвлечения корня получим значение скорости  м/с.Примечание. Закон изменения скорости на участке АВ и закон движения объекта D на участке ВС необходимо построить графики с применением программ- мы MATHCAD или Avanced Grapher.
Уравнение движения в проекции на ось х будет иметь следующий вид:  . Положение тела D показано на рисунке 7. Рисунок 7 Рассмотрим правую часть уравнения. Разделим поэтапно на массу и представим в виде  ;  . Тогда уравнение движения преобразуется к виду  . Интегрируем это уравнение  . Находим постоянные из начальных условий :при t = 0; V = V0 = VB =5,6 следует, что  тогда проекция скорости на ось х изменяется по закону .Закон движения тела определяем как  умножая на dt и интегрируя, получим При x = 0 и t = 0 вычисляем постоянную интегрирования  и уравнение принимает следующий вид  .Поскольку первым и последним слагаемым можно пренебречь, то закон движения точки D принимает следующий вид  Ниже приведены варианты исходных данных в таблице 1.^ Таблица 1
^ Модель процесса колебаний в общем виде показана на рисунке 8.  Рисунок 8 Здесь обозначены : 1 – упругий элемент (моделируется в виде пружины); с – коэффициент жёсткости упругого элемента ; 2 – демпфер или гаситель колебаний; b – коэффициент сопротивления возмущающей силе  ;3 – инерциальный элемент ( материальная точка); m – масса инерционного элемента ( точки, тела ). В упругом элементе возникает сила упругости, которая на основании закона Гука определяется по формуле  .Сила сопротивления определяется по формуле :  .Основное уравнение динамики в векторном виде запишется как  .Спроецируем основное уравнение динамики на ось х  .Перенеся в левую часть значения силы упругости и силы сопротивления, а затем разделив на массу, получим  .Обозначив  , имеем дифференциальное уравнениевторого порядка с правой частью  .Различают : ● свободные колебания точки a.  - свободные незатухающие колебания;b.  - свободные затухающие колебания;● вынужденные колебания точки a.  - вынужденные колебания без учёта силы сопротивления; b.  - вынужденные колебания с учётом силы сопротивления. ^ Свободными колебаниями называют колебания материального объекта, выведенного из состояния равновесия мгновенно приложенной к нему силой и процесс колебания в дальнейшем предоставлен самому себе. Поскольку исследуется свободные колебания без учета сил сопротивления, то модель процесса колебания выглядит следующим образом (рисунок 9).  Рисунок 9 Из определения свободных колебаний следует, что b= 0 и F = 0, тогда дифференциальное уравнение имеет вид  . (1)Уравнение (1) - дифференциальное уравнение свободных не затухающих колебаний ( однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами). Для решения уравнения (1) составляют характеристическое уравнение и определяют корни этого уравнения  .По корням уравнения решение дифференциального уравнения ищут в виде  . (2)Поскольку постоянные с1 и с2 необходимо определить, то дифференцируем первое уравнение с целью соответствия количества уравнений количеству постоянных неизвестных. Для определения постоянных величин необходимо знать начальные условия, т.е. при нулевом значении времени должны быть известны начальное смещение тела и начальное значение скорости  . (3)Подставляя (3) в (2), определяем постоянные интегрирования  . (4)Подставив значения найденных констант в первое уравнение(2) , имеем  . (5)Уравнение (5) есть уравнение движения тела при свободных незатухающих колебаниях. Если возникает необходимость определения амплитуды колебаний тела, то выразим постоянные интегрирования следующим образом   - гармоническое уравнение свободных незатухающих колебаний.Возведя в квадрат левую и правую часть первоначального равенства и сложив почленно, имеем в результате преобразований амплитуду свободных незатухающих колебаний  .Определяем  - начальную фазу колебаний : .График свободных незатухающий колебаний - рисунок 10.  Рисунок 10 Максимальное значение колебаний имеет место  .Важным параметром колебаний является Т - период свободных незатухающих колебаний. Т - временной интервал между двумя точками находится в одинаковых фазах колебаний. Период колебаний можно вычислить по формуле  , так как .  - круговая частота или циклическая частота (собственная частота) колебаний. Принято оценивать колебания еще одним параметром  - техническая частота, число колебаний в 1 секунду .Подводя итог, уравнение (2) приводится к виду  где  – частота свободных колебаний.Общее решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, равно  Амплитуда колебаний  .Период колебаний  .^ Модель свободных затухающих колебаний , согласно рисунку 8, включает демпфер 2, а сила, выводящая из состояния покоя, мгновенно приложена к телу и колебания происходят вне воздействия этой силы. Уравнение имеет вид  ,где  ; ; – коэффициент сопротивления.^ Общее решение дифференциального уравнения  .Постоянные интегрирования определяются из начальных условий при  ,  ,  : ;  .Амплитуда колебаний и фаза колебаний определяются следующим образом:  ,  .Период затухающих колебаний  .Декремент затухания  , где  .^ Решение имеет вид   .Постоянные интегрирования определяем из начальных условий при , , :;  .При  x становится неопределенностью типа  . По правилу Лопиталя  материальная точка совершает апериодическое затухающее движение.^ Общее решение дифференциального уравнения имеет вид  .Постоянные интегрирования определяем из начальных условий при , , : ;  ,где  ;  .При  при имеет место апериодическое затухающее движение.^ Расчетная модель может быть представлена рисунком 8 с условием, что демпфер 2 отсутствует. Математически процесс колебания запишем дифференциальным уравнением второго порядка  .Это уравнение можно вывести из уравнения Лагранжа II –го рода. Если обозначить первый сомножитель перед синусом f0 , то получим  - дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без учёта силы сопротивления, где - амплитуда возмущающей силы ; - частота возмущающей силы ; - начальная фаза возмущающей силы.Общее решение состоит из решения однородного уравнения и частного  , Известно, что однородное уравнение записывается как  ,а частное в виде  .Найдем амплитуду вынужденных колебаний В из уравнения следующим образом  , тогда амплитуда вынужденных колебаний .Общее уравнение принимает вид  (*)Для определения постоянных интегрирования дифференцируем уравнения (*)  Подставляем начальные условия:  в предыдущие уравнения и определяем постоянные интегрирования .Окончательно, закон колебания имеет вид  .Явления биения и резонанс имеет место при  . При начальных условиях  имеем  , тогда из  в результате преобразования, имеем  ;  ; ; - уравнение резонанса^ Общее дифференциальное уравнение в данном случае имеет вид  .Амплитуда вынужденных колебаний определяется как 
Исходные данные приведены в файле ZA_KOLEB.EXE. Там же можно провести проверку правильности выполнения четвертого этапа курсовой работы. СодержаниеОценка работоспособности технологического оборудования с использованием законов теоретической механики Учебное пособие Иванов Юрий Алексеевич Отпечатано с оригинал-макета. Формат 6090  .Печ. л. 4,7. Тираж экз. Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) 198013, Санкт-Петербург, Московский пр., 26
|
, где x – текущая координата частицы на участке BC, отсчитываемая от точки B,
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 