§ 5 Неинерциальные системы отсчета
| скачать - - Лекция 5 Силы инерции. § 5-1. Неинерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона утверждает, что состояния покоя и равномерного прямолинейного движения принципиально неразличимы. Другими словами, - это значит, что законы динамики имеют один и тот же вид в различных инерциальных системах отсчета, т.е. скорость движения системы отсчета не влияет на форму записи законов динамики. Физические утверждения или величины, вид или зна-чения которых не зависят от перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой называются инвариантами. В этом смысле можно говорить, что законы Ньютона инвариантны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Однако ньютоновская механика в неявном виде содержит более сильное утверждение. Так при рассмотрении задачи вычисления первой космической скорости и описании движения автомобиля по выпуклому мосту в уравнениях движения предполагалось, что силы, действующие на тела, имеют одну и ту же величину как в неподвижной системе отсчета, так и в системе отсчета, связанных с самим телом. Фактически это предполагает, что силы остаются инвариантными даже в системах, движущихся с ускорением, т.е. в неинерциальных системах. То же самое можно сказать относительно массы, хотя в действительности масса при скоростях, сравнимых со скоростью света может изменяться:  , ( 5-1 ) где v - скорость тела, с - скорость света, а m 0 - так называемая масса покоя тела.Выражение ( 5-1 ) может быть выведено из рассмотрения законов динамики в специальной теории относительности, развитой Эйнштейном.9
ным ускорением, то общее ускорение тела относительно системы XYZ складывается из этих ускорений: а = а 0 + а . ( 5-2 ) Кроме этого возможен еще один вклад в выражение полного ускорения. Для по-
Э     то ускорение называется кориолисовым или поворотным. Направление этого ускорения определяется направлением v = vi+1 - vi (i = 1, 2... ) - на рис.18 вправо по отношению к вектору скорости u, т.е. перпендикулярно ему. Из курса метеорологии известно, что этот вид ускорения проявляется во вращающихся системах координат. Величину кориолисова ускорения во вращающейся системе координат
связано с увеличением тангенциальной скорости вращательного движения при переходе от меньшего радиуса R1 к большему R2 ,т.е. u1 = R = ( R2- R1 ). Второе слагаемое u2, изображенное на рис 19 в правом верхнем углу, обусловлено поворотом вектора u при переходе из положения А1 в положение А2: u2= u = u t. ( 5-4 ) Н   аправление слагаемого u1 как и на рис.18 направлено перпендикулярно u, т.е. вниз. При стремлении t к нулю направление u2 также стремится к перпендикуляру к u. Поэтому при t 0 оба слагаемых совпадают по направлению и , ( 5-5 ) т.к. по смыслу  . Оба сомножителя, входящие в правую часть выражения ( 5-5 ), являются векторами. Ускорение аК - тоже вектор, поэтому в правой части ( 5-5 ) должно стоять векторное произведение. Порядок сомножителей в этом произведении должен быть такой, чтобы само произведение было направлено вправо от направления u, поэтому  . ( 5-6 )Возвращаясь к рассмотрению ускорения тела в неподвижной системе отсчета, теперь можно утверждать, что оно состоит из трех слагаемых: а = а 0 + а + аК . ( 5- 7 ) § 5-2. Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета. Как уже установлено, величина сил и масс являются инвариантами в механике Ньютона, поэтому уравнения движения в неподвижной и неинерциальной системах отсчета записываются следующим образом: ma = m ( а 0 + а + аК ) =  , ( 5- 8 )m a = , ( 5- 9 )причем m = m , a = . Переписывая ( 5- 8 ), получимm a = - m a 0 - mа K ( 5- 10 )или m a = - m a 0 - m aK. ( 5- 10а)Сравнивая уравнения ( 5- 9 ) и ( 5- 10а), можно заметить, что второй закон Ньютона сохранит свой смысл, если члены (- m a 0 ) и (- m а K ) трактовать как некоторые дополнительные силы, возникающие в неинерциальной системе отсчета и получившие название сил инерции. (  и  ). Первая из сил, стоящих в скобках представляет собой так называемую переносную силу инерции, а вторая - силу инерции Кориолиса. Примером проявления переносной силы инерции может служить поведение пассажиров в переполненном автобусе при его резком торможении, когда какая-то «непонятная сила» заставляет всех их дружно «валится» вперед по ходу движения. Сила инерции Кориолиса объясняет такие явления как отклонение Гольфстрима к северо-востоку, направление пассатов, дующих из области высокого давления в сторону экватора, рельеф берегов рек, текущих в меридианальном направлении, отклонение снарядов, выпущенных из огнестрельного оружия и т.п.10 ^ § 6-1. Определение работы силы. Элементарной работой dA силы F на перемещении dl называется их скалярное произведение ( см. рис.20):
направление перемещения, а dl F =l cos - проекцию перемещения на направление силы. В декартовой системе координат величину элементарной работы ( по правилам записи скалярного произведения ) можно записать так:  , ( 6-2 )где Fx , Fy , Fz - проекции силы на оси координат и dx dy dz - cоответствующие проекции перемещения. Для подсчета работы переменной силы на конечном перемещении необходимо просуммировать все элементарные работы:  . ( 6-3 ) Если сила - непрерывная функция координат, то суммирование заменяется интегрированием, и  . ( 6-4 )В качестве примера рассмотрим вычисление работы центральной силы,т.е. силы, которая действует по прямой, соединяющей взаимодействующие тела (ма- териальные точки), и величина этой силы зависит только от расстояния. Пусть материальная точка А действует на другую точку В центральной силой F. Точка В
ко от расстояния. Полная работа силы на участке траектории 1-2 находится суммированием всех элементарных работ, т.е.   , ( 6-5 )где U( r ) - первоообразная для функции F ( r ). Для силы тяготения, которая также является центральной силой, работа при уве- личении расстояния от земной поверхности от r1 до r2 согласно выражению ( 6-5 ) равна:   . ( 6-6 ) Знак минус перед выражением интеграла соответствует тому, что при увеличении расстояния от Земли приходится затрачивать работу, т.е. совершать отрицательную работу. Очевидно, что полная работа против силы тяжести при изменении расстояния от RЗ ( где RЗ - радиус Земли ) до бесконечности ( тело удаляется на бесконечно большое расстояние от Земли, т.е. ) равна: А = -  . ( 6-7 )
Тогда сумма работ по замкнутому пути равна А1+А2 = 0. В математике такая сумма называется циркуляцией:  . ( 6-9 ) Cилы, работа которых не зависит от формы пути и для которых выполняется условие ( 6-9 ), получили название потенциальных. К потенциальным силам относятся упругие силы F = - k x , т.к. работа этих сил, определяемая как  ( 6-10 )не зависит от формы пути, и для них также справедливо соотношение ( 6-9 ). Примером непотенциальных сил являются силы трения, работа которых явно зависит от формы траектории движения тела. § 6-2. Потенциальная энергия. Пусть имеются две материальные точки С и D (см. рис.23.), взаимодействие
к  онфигурации расположения точек: та же самая конфигурация может быть достигнута, если точка С вообще остается на месте, а точка D перемещается в новое положение D* при условии, что DD* = CC*. В этом случае работу A DD* совершает сила FCD. По третьему закону Ньютона FCD = FDC , и А СС*= A DD* , т.к. работа центральных сил, как было показано, зависит лишь от начального и конечного расположения взаимодействующих точек. Наконец, та же самая конфигурация может быть получена при обоюдном перемещении точек С и D. В этом случае работу совершают обе силы FCD и FDC , но их общая работа останется той же самой, если сумма перемещений точек по-прежнему равна DD* или CC*. Полученный вывод можно распространить и на систему материальных точек: суммарная работа всех потенциальных сил взаимодействия зависит лишь от начальной и конечной конфигурации системы. Знак работы при этом может, вообще говоря, любым - работа может как положительной так и отрицательной. Когда работа отрицательна, т.е. угол между силой и перемещением равен 1800, то ее можно совершить лишь за счет внешнего воздействия, и, наоборот, работа положительная ( направление перемещения совпадает с направлением силы ) может совершаться системой без какого-либо внешнего воздействия. Например, для сжатия пружины нужно приложить некоторое усилие, а сжатая пружина, распрямляясь, сама способна совершить работу. В этом случае говорят, что положительная работа совершается за счет «запаса» этой работы в самой системе. Если в системе материальных точек действует несколько различных по своей природе потенциальных сил, которые в этом случае называются внутренними, то общий «запас» положительной работы складывается из « запасов» каждого из видов взаимодействия. Поскольку выбор начальной конфигурации весьма условен, то можно утверждать, что практически любой конфигурации соответствует определенный «запас» положительной работы. Величину «запаса» этой работы при данной конфигурации системы материальных точек принято называть потенциальной энергией U. При совершении системой положительной работы величина потенциальной энергии уменьшается. Наоборот, если над системой внешние силы совершают работу, которая считается отрицательной, то потенциальная энергия системы увеличивается. Из этого следует, что U = U2 - U1 = - A12 , ( 6-11 ) т.е. изменение потенциальной энергии при некотором изменении конфигурации определяется суммарной работой всех внутренних потенциальных сил , взятой с обратным знаком. Точка начала отсчета потенциальной энергии может быть выбрана произвольно, т.к. для решения практических задач важным оказывается не сама величина потенциальной энергии, а лишь ее изменения. Например, можно считать, что камень, лежащий на поверхности Земли, имеет нулевую потенциальную энергию, хотя если ему предоставить возможность падать к центру Земли, то окажется, что ее потенциальная энергия совсем не равна нулю. Важно отметить, что любая система стремится по возможности уменьшить свою потенциальную энергию. Поэтому устойчивое состояние системы соответствует минимуму потенциальной энергии. § 6-3. Кинетическая энергия. Если на тело массы m действует некоторая сила F, сообщая ему ускорение а, то эта сила совершает определенную работу, которая связана с изменением скорости тела. Величина элементарной работы определяется так же, как и ранее: dA = F cosdl = ma cos d l, где направление силы совпадает с направлением ускорения. Тогда acos =  яв-ляется проекцией ускорения на направление перемещения, т.е. тангенциальной составляющей полного ускорения, которая характеризует изменение скорости по абсолютной величине:  . С учетом этого выражение для dA равно: l = l. ( 6-12 )Пусть dt - промежуток времени, за который тело проходит отрезок dl . Тогда  , ( 6-13 )т.к.  - скорость тела за промежуток времени dt. Принимая во внимание, что в механике Ньютона масса не зависит от скорости, выражение ( 6-13 ) можнопреобразовать к виду dA = m d (  ) = d (  ) = d T, ( 6-14 )где величина Т = называется кинетической энергией тела. На конечном участке траектории величина работы равна = Т2 - Т1 = Т, ( 6-15 )т.е. изменение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно суммарной работе, совершенной всеми силами, действующими на тело в этот же промежуток времени. § 6-4. Закон изменения и сохранения механической энергии. Полная механическая энергия системы материальных точек Е складывается из его кинетической энергии Т и потенциальной энергии U, т.е. Е = Т + U. ( 6-16 ) При движении точек внутри системы изменяются как скорости точек, так и их взаимное расположение. Пусть скорость произвольной точки ( i - точки ) изменяется под действием сил со стороны других точек. Полное изменение кинетической энергии i - точки в соответствии с выражением ( 6-15 ) определяется работой всех сил, действующих на эту точку - как внутренних так и внешних: T i = A i . ( 6-17 ) Cложив выражения ( 6-17 ) для всех точек системы, получим:  . ( 6-18 )Левая часть этого уравнения является кинетической энергией всей системы, которую можно обозначить Т, а правая часть есть общая работа всех сил, которую можно представить как сумму трех слагаемых:
Е = А внутр. непотен + А внеш . ( 6-19 ) Выражение ( 6-19 ) представляет собой закон изменения механической энергии: изменение полной механической энергии системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно суммарной работе всех внутренних непотенциальных и всех внешних сил за этот промежуток времени. Если система замкнута, т.е. на нее не действуют никакие внешние силы или сумма всех внешних сил равна нулю, а все внутренние силы являются потенциальными, то Е = 0, и выражение Е = Т + U = const ( 6-20 ) представляет собой закон сохранения полной механической энергии . В качестве примера применения этого закона рассмотрим вывод так называемой второй космической скорости, под которой подразумевается скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно оказалось способным преодолеть притяжение Земли. Для этого используем выражение ( 6-7 ) для работы силы тяжести при удалении тела на бесконечно большое расстояние от Земли:  А = - . Т  .к. гравитационные силы потенциальны, величина этой работы, взятая с обратным знаком, определяет значение потенциальной энергии притяжения тела к Земле - А = - U . Тогда из закона сохранения энергии следует что, тело может преодолеть притяжение Земли, если ему сообщить кинетическую энергию TII , которая равна потенциальной энергии притяжения:  ,( g - ускорение свободного падения на поверхности Земли ), откуда следует, что вторая космическая скорость VII равна:  11,2 кМ/С . ( 6-21 )
|
. ( 5-3 )
dl ( 6-1 )
. ( 6-8 )
отлично
1 