Пузанов В. П
| скачать Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.ЛЕКЦИИПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»ТЕОРИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет «Специальное машиностроение» Кафедра «Подводные роботы и аппараты» 2003 год. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ. При решении задач анализа и синтеза линейных стационарных цифровых систем автоматического управления используют математические модели дискретных систем, записанные во временной области в виде разностного уравнения  -ого порядка либо в виде системы разностных уравнений. Кроме этого широкое применение в теории цифровых систем нашли методы, которые используют аппарат передаточных функций.Рассмотрим математические модели цифровых стационарных систем автоматического управления, отметим особенности математических моделей и укажем связь между ними. Цифровую систему автоматического управления всегда можно представить как совокупность связанных между собой непрерывных (аналоговых) и цифровых элементов. Математическими моделями непрерывных элементов автоматических систем являются либо в виде передаточных функций. При решении задач анализа и синтеза систем автоматического управления с цифровым управляющим элементом в контуре управления следует перейти от реальной системы управления к расчетной системе. На рисунке 1 представлена функциональная схема взаимодействия цифрового управляющего и непрерывного элементов системы автоматического управления.  На рисунке 1 обозначено  - непрерывный (аналоговый) сигнал, поступающий на вход цифрового управляющего элемента,  - управляющий сигнал, который формируется цифровым управляющим элементом и который поступает на вход непрерывного элемента системы управления,  - непрерывный выходной сигнал, преобразованный непрерывным элементом системы сигнала  .Цифровой управляющий элемент автоматической системы, как правило состоит из таймера, аналогоцифрового преобразователя (АЦП), микропроцессора и цифроаналогового преобразователя (ЦАП). Функциональное взаимодействие указанных элементов цифрового элемента автоматической системы показано на рисунке 2.  В цифровом управляющем элементе системы управления выполняются следующие операции
Так как на каждую операцию в цифровом управляющем элементе системы управления необходимо затратить некоторое время, то между второй и четвертой операциями существует некоторое запаздывание. Программа микропроцессора, по которой вычисляется значение управляющей переменной в цифровом коде, должна быть составлена так, чтобы минимизировать объем операций при выполнении операции 3.Далее через  будем обозначать период выработки таймером импульсов, которые управляют работой цифрового управляющего элемента. Величину называют периодом квантования.Аналоговоцифровой преобразователь (АЦП) является входным устройством цифрового управляющего элемента системы управления и предназначен для преобразования непрерывного входного сигнала в цифровой код микропроцессора  . Аналоговоцифровой преобразователь с учетом таймера на структурных схемах цифровых систем автоматического управления принято изображать так, как это показано на рисунке 3. Пусть  ,  - это время, в течении которого считается, что ключ замкнут. Тогда функция преобразуется в функцию  , которая задается равенством  . (1)Рисунки 4 и 5 иллюстрируют процесс преобразования значений непрерывной функции в функцию . На рисунке 5 через обозначено время в течении которого считается, что ключ замкнут.  В том случае, если значение  достаточно мало, то функцию можно представить в виде дискретной (решетчатой) функции  , значения которой равны значению функции при  .В реальных цифровых системах принято считать, что величина мала и в цифровой код аналого-цифровой преобразователь преобразует значения функции при ,  , то есть функцию .Микропроцессор предназначен для выполнения арифметических и логических операций с целью формирования управляющей функции в виде цифрового кода  . В качестве математической модели управляющей функции, которую формирует микропроцессор, принято считать дискретную функцию  .Цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) является входным устройством цифрового управляющего элемента системы управления и предназначен для преобразования цифрового кода управляющей функции в непрерывный управляющий сигнал .Если на непрерывный элемент системы необходимо подать двоичные числа в виде последовательности закодированных импульсов, то предварительно необходимо преобразовать их в реальные физические величины. Для этой цели в цифровых системах автоматического управления перед непрерывным элементом системы устанавливается формирующий элемент, который преобразует цифровой код в непрерывный сигнал . Формирующий элемент – это динамическое звено, которое входит в состав автоматической системы и которое имеет передаточную функцию  . Формирующие элементы системы автоматического управления принято называть так же экстраполяторами.В связи с этим цифроаналоговый преобразователь с учетом таймера на структурных схемах цифровых систем автоматического управления принято изображать так, как это показано на рисунке 6.  Передаточные функция формирующих элементов цифровых автоматических систем. Как известно, передаточная функция равна преобразованию Лапласа от импульсной переходной функции. В том случае, если на вход непрерывного звена системы автоматического управления необходимо подать двоичные числа в виде последовательности закодированных импульсов, то площадь этих импульсов должна быть пропорциональна значениям . Вследствие малой ширины этих импульсов их воздействие на непрерывный элемент автоматической системы можно последовательностью  - функций Дирака соответствующей площади. Это значит, что функциональную схему формирующего устройства можно представить следующим образом На рисунке 1 обозначено  , . (1)Здесь  , (2) . (3)Пусть теперь  и  . Тогда равенство (1) принимает вид . (4)а сигнал на выходе формирующего элемента равен  . (5)График функции представлен на рисунке 2. Передаточную функцию формирующего элемента определим как отношение изображений по Лапласу сигнала на выходе формирующего элемента  к сигналу на его входе  , то есть  . (6)С учетом равенств (5) и (6) имеем  , (7) .На основании свойства преобразования Лапласа о смещении в области оригиналов последнее равенство принимает вид   . (8)Подставив (7) и (8) в равенство (6) получим передаточную функцию формирующего элемента  . (9)Если величина скважности прямоугольного импульса достаточно мала, то числитель передаточной функции (9) можно заменить эквивалентной малой величиной и тогда  . (10)Как правило, параметры формирующего элемента с передаточной функцией (10) таким образом, чтобы  . Такие цифровые автоматические системы получили название импульсными системами автоматического управления или системами с кратковременными импульсами. На практике такие системы в настоящее время применяются редко.Если же величина  , то есть скважность импульсов совпадает с периодом квантования, то передаточная функция формирующего элемента равна . (11)Формирующие элементы с передаточной функцией (11) называются так же экстраполяторами нулевого порядка. Цифровые системы автоматического управления, формирующие элементы которых имеют передаточные функции вида (11) в настоящее время получили наибольшее распространение в виду простоты их реализации. Сигнал на выходе экстраполятора нулевого порядка показан на рисунке 3.  ^ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К РАЗНОСТНОМУ УРАВНЕНИЮ. Пусть непрерывная часть цифровой автоматической системы описывается дифференциальным уравнением первого порядка вида  , (1)где  ,  и  постоянные коэффициенты;  - непрерывное время,  ; - выходной сигнал непрерывной части цифровой автоматической системы; - управляющий сигнал, поступающий на вход непрерывной части цифровой автоматической системы. Для уравнения (1) считаем, что начальное условие  задано. Управляющий сигнал формируется цифро-аналоговым преобразователем и имеет вид, показанный на рисунке 1. Запишем решение дифференциального уравнения (1) в виде  , (2)где  - корень характеристического уравнения , (3)которое соответствует дифференциальному уравнению (1). В формуле (2) через  обозначена постоянная интегрирования, которую найдем методом вариации постоянной, то есть будем считать что  .Из уравнения (3) получаем  . (4)Подставив (4) в формулу (2) и учитывая, что , получаем . (5)Продифференциировав равенство (5) по времени находим  . (6)Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим  . (7) , , , , , , , (8)Подставим (8) в выражение (5)  . (9)Положив  , из равенства (9) определим постоянную интегрирования  . Имеем , .Подставив последнее равенство в выражение (9), получаем  . (10)Формула (10) справедлива для любого  . В частности при  имеем . (11)Вычислим интеграл, стоящий в правой части равенства (11)  .Следовательно, равенство (11) принимает вид  . (12)Введем обозначения  , где  , (13)и пусть внутри одного временного интервала  управляющая функция остается постоянной величиной, то есть , при . (14)С учетом (13) и (14) равенство (12) перепишем следующим образом  . (15)Пусть теперь интервал времени  постоянен, то есть , и  ,  . (16)Тогда  , . (17)и формула (15) принимает вид  . (18)В частности, при  формула (18) принимает вид . (19)Равенства (18) и (19) по своей сути являются искомыми разностными уравнениями первого порядка. Введем обозначения  ,  , (20) ,  . (21)Тогда уравнения (18) и (19) запишутся соответственно следующим образом  , (22) . (23)Особенность уравнений (22) и (23) состоит в том, что их коэффициенты являются функциями периода квантования , а в формуле (22) и функции  . Таким образом, при преобразовании дифференциального уравнения к разностному коэффициенты разностного уравнения являются функциями как периода квантования так и переменной , при чем .Если теперь математическая модель непрерывной части цифровой автоматической системы задана дифференциальным уравнением общего вида  , (24)где  , то объем вычислений при преобразовании дифференциального уравнения к разностному резко возрастает при увеличении порядка дифференциального уравнения. В этом случае следует поступать следующим образом.Преобразуем уравнение (24) к системе дифференциальных уравнений, записанной в нормальной форме Коши  , (25) , (26)где  -символ транспонирования, ,  , (27) ,  , (28) ,  . (29)Формулы (28) и (29) записаны для случая  . Напомним, что уравнение системы (25) – это уравнение динамики системы автоматического управления относительно переменных состояния системы, а уравнение (26) – это уравнение выхода системы.Предположим, что начальный вектор состояния непрерывной части цифровой системы автоматического управления  в начальный момент времени  и управляющая функция при известны. Найдем решение уравнения (25) используя метод вариации постоянной.Решение неоднородного дифференциального уравнения (25) будем искать в виде  , (30)где  -мерный вектор  подлежит определению.Продифференциировав равенство (30) по времени получаем . (31)С учетом (30) выражение (31) принимает вид  . (32)Сравнение (25) и (32) дает  .Следовательно  . (33)Подставив (33) в (30) получаем  . (34)В уравнении (34) учтено, что  не зависит от переменной интегрирования и что  .Вектор  вычислим с помощью известных начальных условий. При из (34) имеем  . Так что окончательная формула решения уравнения (25) имеет вид . (35)Если в выражении (35) положить  ,  , то . (36)Обозначим  , (37)то выражение (36) можно записать в виде  . (38)Если управляющая функция постоянна внутри временного интервала, то есть ,  , то последнее уравнение принимает вид , (39)где .Пусть теперь интервал времени постоянен, то есть, и , . (40)Тогда , . (41)и формула (39) принимает вид  , (42)где  . Таким образом мы привели математическую модель непрерывной части цифровой системы автоматического управления к дискретной форме записи, которая в рассматриваемом случае имеет вид , (43) , (44)или при  , (45) . (46)Рассмотрим теперь случай, когда на вход непрерывной части цифровой системы автоматического управления поступает последовательность импульсов. Эта последовательность записывается с помощью -функций Дирака, которая модулирована непрерывной управляющей функцией и которая может быть представлена следующим образом , (47)где  может принимать произвольное значение при условии  .Аналогично предыдущему, введем обозначения , . Подставляя из (47) в выражение (35), мы получим . (48)Уравнение (48) представляет уравнение состояния непрерывной части цифровой автоматической системы с управляющей функцией, которая представлена импульсной последовательностью в моменты времени  ,  Пусть теперь интервал времени постоянен, то есть , и , .Тогда , и формула (48) принимает вид . (49)И так в рассматриваемом случае математической моделью непрерывной части цифровой автоматической системы являются уравнения  , (50) . (51)При  , (52) . (53)Из изложенного следует, что математической моделью цифровых систем автоматического управления являются либо разностное уравнение вида  , (54)либо в виде системы разностных уравнений , (55) , (56)Пусть теперь математическая модель непрерывной части цифровой автоматической системы представлена в виде передаточной функции  и пусть - передаточная функция формирующего элемента. Тогда передаточная функция, которую определяют равенством (57)будем называть передаточной функцией приведенной непрерывной части. Если теперь  - сигнал, поступающий на вход формирующего элемента системы, то сигнал на выходе непрерывной части системы определяется равенством , (58)где  - импульсная переходная (весовая) функция приведенной непрерывной части цифровой системы автоматического управления.Сигнал на входе формирующего элемента цифровой автоматической системы, модулированный управляющим сигналом можно представить следующим образом .Тогда согнал на выходе непрерывной части цифровой автоматической системы можно представить следующим образом  , (59)где  - целая часть числа  . Изменяя порядок суммирования и интегрирования из (59) получаем . (60)из последнего равенства (фильтрующее свойство -функции) получаем . (61)При  , где  и  из (61) получаем . (62)Полученное равенство означает, что квантованный по времени сигнал  на выходе непрерывной части цифровой автоматической системы есть дискретная свертка двух функций  и  , следовательно,  есть дискретная импульсная переходная функция эквивалентная исходной непрерывной части системы.Обозначая через  передаточную функцию, эквивалентную передаточной функции непрерывной части цифровой системы управления. Ей соответствует импульсная переходная функция приведенной непрерывной части  . Функции и связаны  -преобразованием, то есть справедливо равенство . (73)Импульсная переходная функция непрерывной системы автоматического управления связана с ее передаточной функцией обратным преобразованием Лапласа  , (74)где  ,  - полюса передаточной функции  .Принимая значения времени равными  , перепишем равенство (74) следующим образом . (75)С учетом (75) равенство (73) принимает следующий вид  .В последнем равенстве поменяем порядок суммирования и интегрирования и выполним очевидные преобразования. В результате чего получаем  . (76)Сумма в полученном выражении сходится при выполнении условия  , т.е.  .В этом случае  , (77)следовательно, можно записать  , (78)где должны быть выполнены условия  ,  .Формула (78) связывает изображение  дискретной передаточной функции непрерывной части цифровой автоматической системы с изображением  соответствующей ей непрерывной передаточной функции приведенной непрерывной части и определяется с помощью  - преобразования.Интеграл, стоящий в правой части равенства (78), может быть вычислен с помощью теории вычетов. При этом вычеты вычисляются только по полюсам функции .^ Обозначим входную переменную контура управления через  и выходную переменную через  . Тогда соответствующее разностное уравнение можно записать в виде . (1)В случае, когда отдельные части контура управления, реализуемые, например, с помощью ЭВМ, функционируют в дискретном времени, коэффициент  может отличаться от нуля, тогда как в случае непрерывных систем этот коэффициент всегда должен равняться нулю, за исключением простейшего случая объекта нулевого порядка.В уравнении (1) для краткости записи был выбран единичный период квантования. В общем случае вместо  следует писать  . Введем оператор опережения  на  периодов квантования ,  ,  . (2)С учетом обозначения (2) уравнение (1) можно переписать в виде  , ,  ,(3)  , , (4)Из уравнения (4) формально получаем  , (5)где  – линейные скалярные операторы, которые определяются равенствами (3);  – обратный оператор к оператору  .Введем в рассмотрение новую промежуточную переменную  следующим образом , (6)откуда последовательно получаем, с учетом того, что операторы и  скалярные и для них справедливо правило перестановки; , , . (7)Подставив равенство (7) в соотношение (5), получаем  . (8)Равенство (7) устанавливает связь между новой вспомогательной переменной и входным сигналом  , а уравнение (8) позволяет вычислить выходной сигнал системы по известному закону изменения промежуточной переменной . Таким образом, уравнение (1) мы заменим двумя уравнениями , , (9)которые эквивалентны (1). Уравнения (9) устанавливают аналитическую связь между входным сигналом системы и ее выходным сигналом  с использованием новой промежуточной переменной . В явном виде уравнения (9) будут записаны следующим образом ,(10)  .Введем переменные состояния следующим образом  ,  ,  , (11) .Тогда первое уравнение системы (10) принимает вид  или  . (12)С учетом (11) и (12) второе уравнение системы (1) запишется в виде  . (13)Итак, уравнения (11) – (13) являются математической моделью дискретной системы (1) относительно переменных состояния:  , , (14)  , , . (15)Оба уравнения могут быть записаны в векторно - матричной форме записи  (16) , (17)где T – символ транспонирования;  , , (18) , ,где  – матрица динамики объекта управления;  - вектор-столбец входа;  – вектор-столбец выхода;  – коэффициент выхода.
|
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 