Пузанов В. П
| скачать Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ» ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет « Специальное машиностроение » Кафедра « Подводные роботы и аппараты » 2000 год. Введение. Основные понятия и определения. Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих без непосредственного участия человека. Автоматика – раздел технической кибернетики. Составной частью автоматики как науки является теория автоматического управления и регулирования. К 1947 году Норберт Винер пришел к следующему выводу: как для механических систем так и для живых тканей существует единство ряда задач, в центре которых находятся вопросы управления и регулирования, связи между отдельными системами различной природы, а также задачами статической механики. Н. Винером было предложено всю теорию автоматического управления и регулирования и теорию связи в механических системах и живых организмах назвать кибернетикой. Теория автоматического управления и регулирования дает основную теоретическую базу для решения задач анализа и синтеза автоматических систем. Управление – это свойство организованных систем различной природы (включая и технические системы) обеспечивать = заданный режим функционирования системы; = сохранять или необходимым образом изменять структуру системы Для выполнения этой системой заданной задачи (цели) управления; или какой-либо программы. ^ Система стабилизации курса предназначена для автоматической ориентации его продольной оси в заданном направлении движения. Система стабилизации курса известна под названием «авторулевой» (автопилот), получила самое широкое распространение практически на всех типах морских подвижных объектов. На рисунке показано произвольное положение судна в горизонтальной плоскости, определяемое взаимным расположением полусвязанной системы координат  , продольная ось которой  ориентирована в направлении частной цели движения, и подвижной системы координат  , жестко связанной с корпусом судна. В совмещении этих координатных систем заключается основная функция управления для этого вида системы управления движением морского подвижного объекта.На рисунке показана функциональная схема автоматической системы управления курсом судна типа АИСТ с гидроприводом (ГП) руля.  В системе АИСТ используется сельсиноизмерительное звено курса, которое состоит из сельсина-датчика (СДк), связанного с гирокомпасом (ГК), и сельсина приемника курса (СПк). Механическая передача (МП) осуществляет алгебраическое суммирование углов поворота СПк и штурвала (Ш), которым устанавливается заданный курс. Угловое перемещение на выходе МП пропорционально углу  отклонения судна от заданного курса.Угол называется углом рыскания. Сельсин-датчик управляющего сигнала (СДу) преобразует угол рыскания в переменное напряжение  управляющего сигнала. Блок коррекции (БК), который состоит из дифференцирующего (ДУ) и интегрирующего (ИУ) устройств, вырабатывает сигналы, пропорциональные первой производной  и интегралу  от угла рыскания. Электродвигатель исполнительного механизма ИМ через редуктор Р и рычажковую передачу управляет гидроприводом (ГП) – рулевой гидравлической машиной. Сельсин СДр работающий в трансформаторном режиме, вырабатывает сигнал обратной связи по положению руля  , а сельсин СДим служит для получения сигнала обратной связи  по положению истока золотника гидроусилителя. На входе усилителя (У) суммируются управляющий и корректирующий сигналы  и  , а также сигналы обратных связей и .Автоматическое удержание курса. Судно идет прямым курсом, совершая около него небольшие колебания (рыскание). Если заданный курс  , а его истинный курс в любой момент времени  , то разница между ними образует угол рыскания  .Функции, задача, цель управления автоматической системы стабилизации курса заключается в том, чтобы поддержать значения угла рыскания близким к нулю:  .При отклонении от заданного курса под влиянием возмущающих воздействий гирокомпас отмечает величину этого отклонения с помощью СДк. Сельсин СПк, связанный с СДк синхронной передачей, повернется на тот же угол и соответственно развернет СДу. В результате на выходе Сду появится напряжение , пропорциональное углу рыскания. Так как напряжение с сельсина СДу поступает на блок коррекции БК, то в нем вырабатывается напряжение пропорциональное первой производной от . Сигналы , суммируются на входе усилителя У. Усиленный сигнал поступает на ИМ, который через редуктор Р поворачивает СДим и одновременно через рычажную передачу перемещает исток гидроусилителя ГП. При этом осуществляется перекладка пера руля.Сигналы обратных связей, снимаемые с сельсинов Сдим и СДр, вычитаются из основных сигналов, и, когда эта разность равна нулю вращение ИМ прекратиться, а руль будет переложен на определенный угол. Под действием момента, создаваемого рулем, судно начинает возвращаться на заданный курс. При этом СДк вращается в обратную сторону и СПк возвращает СДу в нулевое положение. Всякий процесс управления подразумевает наличие объекта управления и управляющей им системы.  Управляющая система – это совокупность технических средств, стремящихся обеспечить выполнение объектом управления определенной задачи (цели управления). Управляющая система и объект управления взаимодействуют друг с другом. Под процессом управления будем понимать любые изменения состояния объекта управления, ведущие к достижению поставленной задачи. Автоматическая система управления – это объект управления, измерительная и управляющая аппаратура объединенные в единую систему, в которой обработка информации, формирование команд и их преобразование в воздействие на объект управления осуществляется без участия человека. Автоматическое управление осуществляется приложением управляющих воздействий у исполнительным механизмам, непосредственно определяющим ход процесса. Теория автоматического управления в настоящее время является самостоятельно наукой и стала в ряд важнейших фундаментальных наук. Она дает основную теоретическую базу для исследования и проектирования любых автоматических систем во всех областях техники. Из существующих принципов построения систем автоматического управления, обеспечивающих выполнение поставленной задачи управления можно выделить два основных класса:
Замкнутый цикл управления – это использование для формирования управляющего воздействия информации о состоянии объекта управления. Принцип замкнутого цикла использует сравнение входного воздействия с действительным изменением управляемой величины за счет применения элементов сравнения и обратных связей. Здесь важно отметить, что в замкнутых системах автоматического управления, как правило, не бывает «спокойного» состояния равновесия: все время имеются внешние возмущения порождающие рассогласования, которые заставляют систему работать. Поэтому важным элементом проектирования таких систем является исследование динамических процессов, протекающих в них. Эти процессы описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Особенностью усложняющей расчет динамики системы является то, что в замкнутой системе все физические величины, характеризующие воздействия одного звена на другое, связаны в единую замкнутую цепь. Поэтому приходится уравнения, описывающие динамику всех звеньев системы, решать совместно, т.е. иметь дело с дифференциальными уравнениями высокого порядка. Основные задачи теории автоматического управления:
Объектом исследования ТАУ является математические модели систем управления. ^ Математические соотношения, которые описывают процессы, протекающие в системах автоматического управления, называют математическими моделями этих систем. Возможность представить систему автоматического управления в виде математической модели является основой для их аналитического исследования. В основе формирования математической модели систем управления лежит физическое описание всех процессов, которые протекают в исследуемой системе. Требования к математическим моделям систем автоматического управления:
Математическая модель системы управления должна устанавливать связь входной переменной  и выходной переменной  (см. рисунок).^
Для этой цели составляется функциональная схема системы автоматического управления. На рисунке приведена функциональная схема замкнутой системы управления; система управления с обратной связью. На функциональной схеме указывают
Совокупность математических моделей элементов системы, моделей связей между этими элементами и математических моделей помех и возмущений действующих на объект управления и на систему управления образуют математическую модель исследуемой системы управления. Везде далее под системой автоматического управления мы будем понимать ее математическую модель. Формы представления математических моделей систем автоматического управления:
 ^ Динамические процессы в системах автоматического управления можно описать линейным дифференциальным уравнением, которое в самом общем случае имеет вид:   (1)где и соответственно выходная и входная переменные системы; - выход системы; - вход системы (известна функция времени).Уравнение (1) – это дифференциальное уравнение  -ного порядка относительно неизвестной функции . Здесь следует сразу отметить, что в реальных системах управления  - условие физической реализуемости системы.Решение уравнения (1) - это математическая модель процесса на выходе системы. Чтобы решить уравнение (1) необходимо задать начальных условий: (2)Уравнение (1) – это линейное неоднородное дифференциальное уравнение -ного порядка, общее решение которого имеет вид: , (3)где  общее решение неоднородного дифференциального уравнения , (4)- определяет собственное движение системы. -частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, и определяет вынужденное движение системы, которое определяется входным воздействием .^
 ;
Так например, если корни характеристического уравнения  ,  ,…, действительны и различны, то фундаментальная система частных решений имеет вид:  ,  ,…,  . Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет   ,где  - постоянные интегрирования.Если же среди корней характеристического уравнения , ,…, есть комплексно – сопряженные, например,   то фундаментальная система решений для  и  заменяется на следующие:  и  и для этих корней соответствующее общее решение: .^ Линейное неоднородное дифференцирующее уравнение -ного порядка – это дифференциальное уравнение вида: . Частное решение линейного дифференциального уравнения  отыскивается по виду правой части, т.е. по виду функции .Так, например, если  , то частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения отыскивается в виде:  , где  , … ,  , - постоянные коэффициенты, подлежащие определению.Коэффициенты  , … , определяются из тождества , приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной  полиномов в правой и левой частях этого тождества.После того как найдено общее решение неоднородного уравнения (в решении присутствуют постоянные интегрирования) следует определить постоянные интегрирования по известным начальным условиям (2).Замечание: В теории автоматического управления часто используют операторную форму записи дифференциального уравнения (1). Для этой цели вводится оператор дифференцирования  ,   .Тогда уравнение (1) принимает вид  (5)или  . (6)Пример: Составить дифференциальное уравнение RC-контура принципиальная схема которого представлена на рисунке:  где  - резистор;  - конденсатор;  -соответственно входное и выходное напряжения;  - ток в контуре.Найти процесс на выходе  RC-контура при постоянном значении входного сигнала  и нулевых начальных условиях  .Решение : На основании второго закона Кирхгофа уравнения, описывающие изменения  , и  будут иметь вид: , (1) (2)Продифференцируем (2) по времени  , откуда  . (3)Подставим (3) в уравнение (1)  . (4)Уравнение (4) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Оно связывает входное и выходное напряжения  RC- контура.Зная входное напряжение , можно определить выходное напряжение , решив дифференциальное уравнение (4), которое перепишем в виде с учетом условия задачи и полагая  : .Характеристическое уравнение и его решение :  ;  .Общее решение однородного уравнения:  , где  - постоянная интегрирования.Частное решение неоднородного уравнения  .Общее решение неоднородного уравнения  .Определим постоянную интегрирования из заданных начальных условий:  .Тогда решение дифференциального уравнения (4) будет:  . Вид процессов на выходе  - контура: Обратимся вновь к дифференциальному уравнению (1). Введем в рассмотрение новые переменные:  ,  , … ,  (7)Тогда в новых переменных уравнение (1) преобразуется к системе дифференциальных уравнений, каждое из которых является уравнением первого порядка (система дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши):  ,  ,  , (8) .Переменные  , … ,  называются переменными состояния системы управления или ее фазовыми переменными. Связь переменных состояния системы с выходной ее переменной задается формулой: (9)Формула (9) приводится для случая  ; если  то соответствующие коэффициенты в (9) следует положить равными нулю.В векторно-матричной форме записи уравнений (8) и (9) может быть представлена в виде  ,  , (10)где  -символ транспонирования. ;   ;   ;  .Первое уравнение системы (10) – это уравнение динамики системы автоматического управления относительно переменных состояния – это уравнение выхода системы. Переход от уравнения (1) к системе уравнений (10) может быть осуществлен различными способами. Это зависит от выбора переменных состояния системы. В уравнении (10)  и  – входная и выходная переменные системы (скалярные функции времени);  – квадратная матрица размера  – матрица динамики системы (в общем случае это матрица произвольного вида, ее элементы - действительные числа);  и - -мерные вектора, элементы которых постоянные числа;  -скаляр (числа); - - мерный вектор, координаты которого – это переменные состояния системы управления.Решение уравнения относительно переменных состояния системы (10) задается формулой Коши  (11) где  - заданные начальные условия;  - матричная экспонента, это матрица определяется равенством  , где  - единичная матрица:  Подставив равенство (11) во второе уравнение системы (10) получим уравнение системы (10) получим уравнение выхода системы в явном виде  (12)Пример. Преобразовать математическую модель системы автоматического управления  к системе дифференциальных уравнений относительно переменных состояния. Решение: По условию задачи  ;  ;  ;  ;  ;  . Тогда   ;  ;  .Передаточные функции систем автоматического управления. Передаточная функция системы автоматического управления - это одна из форм представления ее математической модели. Математической основой методов исследования систем автоматического управления с использованием аппарата передаточных функций комплексного переменного и в частности операционное исчисление (преобразование Лапласа). Основные преимущества использования передаточных функций в задачах исследования систем автоматического управления:
Пример. Для элемента системы управления, схема которого представлена на рисунке требуется: 
2.а.  2.б.  ,  - амплитуда входного сигнала;  - частота входного сигнала.Решение. Ранее была получена математическая модель данного элемента в виде дифференциального уравнения  , (1)где  ; .Выполним преобразование Лапласа уравнения (1), введя обозначения:  ;  ;имеем:  . (2)Из уравнения (2) получаем передаточную функцию элемента системы  . (3)Звено с передаточной функцией (3) называется апериодическим звеном системы автоматического управления. Из равенства (3) получаем:  . (4)Пусть теперь . (5)Тогда  . (6)С учетом (6) равенство (4) принимает вид  . (7)Выполнив обратное преобразование Лапласа обеих частей равенства (7), получим искомый закон изменения во времени выходной переменной элемента  . (8)Обратное преобразование найдем методом неопределенных коэффициентов. Для этой цели представим  следующим образом: , (9)где , – постоянные коэффициенты подлежащие определению.Из последнего равенства получаем  .Из равенства двух дробно – рациональных функций имеем:  . (10)Это система двух линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов и . Решение системы (10) дает  ,  . С учетом полученного решения равенство (9) принимает вид .Следовательно   , . (11)Рассмотрим теперь случай, когда  . Тогда уравнение (1) принимает вид: . (12)Выполним преобразование Лапласа уравнения (12):  . (13)Откуда получаем  . (14)^  . (15)Здесь неопределенные коэффициенты , , подлежат определению. Из (15) получаем  .Следовательно  ,Это система трех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов A,B,C. Ее решением будет  ;  ;  .Подставив полученные равенства в соотношение (15) имеем    .И окончательно  .Установившийся процесс на выходе элемента системы определяется из последнего равенства при  : . Введем обозначения  ;  . Это амплитуда и фаза соответственно выходного сигнала, которые зависят от частоты входного сигнала. С ростом частоты от  до  амплитуда выходного сигнала изменяется в пределах от до , а фаза – в пределах от нуля до  . , ;  . Пусть теперь математическая модель системы автоматического управления задана в виде системы уравнений относительно переменных состояния  , (8) . (9)Из соотношений (8) и (9) можно получить передаточную функцию системы управления. Для этой цели выполним преобразование Лапласа при нулевых начальных условий уравнений (8) и (9):  , (10) . (11)где  , ;  .Преобразуем равенство (10):  , , . (12)Равенство (12) подставим в соотношение (9):  ,  . (13)По определению передаточной функции системы  . (14)Сравнивая равенства (13) и (14) легко установить, что  . (15)Равенство (15) справедливо, если существует обратная матрица  к матрице  , т.е.  . Матрица невырожденная матрица, за исключением может быть в отдаленных точках -  -полюсах системы.Замечание: Справедливы следующие равенства:  , . (16)Это один из способов вычисления матричной экспоненты  .Пример. По математической модели системы автоматического управления относительно переменных состояний  , , (1) , (2) .Получить передаточную функцию системы управления. Решение:  ; ;  ;  .Выполним преобразование Лапласа уравнений (1), (2) при  . Имеем , , (3) . (4)Решим систему уравнений (3) относительно переменных  и   , ; .Внимание.  - характеристический полином системы дифференциальных уравнений (1).Присоединенная матрица к матрице  :   . .  - это передаточная функция колебательного звена. ^ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. Как правило, структурные схемы систем автоматического управления являются многоконтурными, например, такие как показаны на рисунке 1. Для решения задач анализа систем управления целесообразно привести ее структуру к виду:  которую в дальнейшем будем называть расчетной структурной схемой исследуемой системы автоматического управления,  - передаточная функция разомкнутой системы.Чтобы найти передаточную функцию любой многоконтурной системы, нужно, вообще говоря, составить соответствующую систему дифференциальных уравнений, применить к ней преобразование Лапласа и решить полученную таким образом систему алгебраических уравнений относительно интересующей нас переменной. Однако более удобным для указанной цели является способ, основанный на предварительном преобразовании структурных схем. Этот способ заключается в составлении структурной схемы рассматриваемой многоконтурной системы и последующего ее преобразования к эквивалентной расчетной структурной схеме. Его преимущество заключается в том, что громоздкое формальное решение совместных уравнений заменяется наглядными преобразованиями, имеющими геометрическую интерпретацию и уменьшающими возможность ошибок. Рассмотрим основные правила преобразования структурных схем. ПРАВИЛО 1. Последовательное соединение элементов.   , , , .ПРАВИЛО 2. Параллельное соединение элементов.   ,     Пример. Получить передаточную функцию соединения звеньев, показанных на рисунке где  - интегрирующее звено; - апериодическое звено с коэффициентом усиления  .Решение. В соответствие с формулой получаем:  . Откуда  , где  . появилось дифференцирование – в числителе -дифференцирующее звено первого порядка.ПРАВИЛО 3. Соединение с гибкой обратной связью.  Введем обозначения на исходной структурной схеме:  ,   ,  , , , , , , .Пример.  , .В соответствии с формулой:   , ,  ,  .ПРАВИЛО 4. Соединение с жесткой обратной связью.   Получить можно аналогично предыдущему правилу, если положить  .ПРАВИЛО 5. Перенос сумматора с выхода элемента на его вход.   . (1)  , , . (2)Сравнивая (1) и (2): первые слагаемые равны; равенство двух слагаемых дает:  что  ;  .ПРАВИЛО 6. Перенос сумматора со входа элемента на его выход.   ПРАВИЛО 7. Перенос узла с выхода на вход элемента.   ПРАВИЛО 8. Перенос узла с входа на выход элемента.   Пример. Преобразование структурной схемы системы автоматического управления (см. рис.) к расчетной структурной схеме.  Решение. Способ 1. Контур системы с передаточными функциями  и  преобразуем в звено с передаточной функцией  (правило 2).Контур структурной схемы с передаточными функциями  и  в звено с передаточной функцией  (правило 3). В результате чего исходная структурная схема принимает вид  На полученной структурной схеме перенесем узел 1 со входа звена с передаточной функцией  на его выход (правило 8). В результате чего структурная схема системы принимает вид: На основании правила 1 последняя структурная схема будет  где Ф3(S) = Ф1(S)Ф2(S)W4(S); Ф4(S) = W6(S)W4-1(S); И окончательно на основании правила 3 имеем  где  .Из последнего равенства с учетом формул для вычисления передаточных функций  и  получаем .Способ 2 (алгебраический способ). На исходной структурной схеме введем обозначения. Тогда последовательно получаем  ,  , , , ,  , , , , , , ,Следовательно .^ При анализе различных вариантов системы автоматического управления необходимо исследовать процессы управления в каждом из вариантов автоматической системы при одних и тех же типовых входных управляющих воздействиях. При анализе процессов в системах автоматического управления в качестве входных сигналов управления выбирают обычно следующие типовые входные сигналы – .
 . К воздействию такого рода часто прибегают при оценке качества процессов управления.
 и  . Дельта – функцию (t) можно рассматривать как предел последовательностей -образных функций. Например, вида :  . Площадь такого прямоугольника равна единице, а при 0 амплитуда импульса 1/2 - неограниченно возрастает, а ширина стремится к нулю.
 ,где – частота входного воздействия;  – амплитуда входного воздействия.
 Частный случай: линейный закон изменения управляющего входного воздействия.  
|
отлично
1 