Пузанов В. П
скачатьМосковский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.ЛЕКЦИИПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет «Специальное машиностроение» Кафедра «Подводные роботы и аппараты» 2003 год. Основы исследования систем автоматического управления методом гармонической линеаризации. В настоящее время метод гармонической линеаризации является одним из основных приближенных методов исследования нелинейных систем автоматического управления. Причины широкого применения в инженерной практике исследования нелинейных систем управления метода гармонической линеаризации состоит в том, что этот метод оказался способным в простейшем случае учитывать самые главные специфические свойства нелинейных систем (процессов) в зависимости от структуры и параметров системы высокого порядка. Этот метод удачно сочетает учет основных специфических нелинейных свойств системы, недоступных линейной теории, с возможностью применения хорошо разработанных в линейной теории управления расчетных приемов (с некоторой их модернизацией). Основное достоинство этого метода состоит в том, что он без рассмотрения переходного процесса позволяет непосредственно определить главные характеристики системы: -основную частоту и фазу и амплитуду автоколебаний; -их зависимость от формы нелинейности, структуры и параметров линейной части системы и от внешних воздействий; и т.п.; Наряду с этим важное преимущество метода гармонической линеаризации заключается в возможности применения его к системам высокого порядка с любой сложностью линейных частей и с самыми разнообразными комбинациями мест включения нелинейных звеньев. Несмотря на приближенность метод гармонической линеаризации дает правильные для практических потребностей результаты получаются применительно ко многим классам систем. Метод гармонической линеаризации позволяет:
Суть метода гармонической линеаризации состоит в замене нелинейного звена гармонически линеаризованным звеном, параметры которого в общем случае зависят от амплитуды и частоты сигнала на входе нелинейного звена. Математическая модель исследуемой системы автоматического управления.В дальнейшем будем рассматривать системы автоматического управления любой сложности по структуре, но с одним нелинейным звеном, которое описывается уравнением вида  . На структурных схемах нелинейное звено изображается следующим образом Будем полагать, что структурную схему системы управления можно преобразовать так, что будут выделены линейная часть системы и нелинейное звено в отдельные блоки, например, так как показано на рисунке. Линейная часть системы имеет передаточные функции  ,  ,где  ,  ,  ,  – полиномы комплексной переменной  , причем степень полинома меньше степени полинома , а степень полинома меньше степени полинома . Нелинейный элемент описывается уравнением  .  Будем считать, что  , то есть исследуются соответственные движения системы. Рассматриваются установившиеся процессы в системе. Структурная схема системы приводится к виду. II. В системе возникли автоколебания. (есть периодические решения у нелинейной математической модели системы). Полагаем, что в исследуемой системе автоматического управления возникли автоколебания (есть периодические решения). Это соответствует тому, что на выходе системы возникает периодический сигнал (гармонический сигнал). Так как рассматриваются установившиеся движения системы, то можно считать, что на вход нелинейного звена поступает также гармонический сигнал амплитуды  и частоты  . Гармонический сигнал можно описать следующим образом  . На выходе нелинейного звена получим сигнал  .Выполним графо-аналитический анализ сигнала  на выходе нелинейного звена, когда на его вход поступает сигнал . В качестве нелинейного звена возьмем звено типа «люфт» или "зазор" (см. рисунок). На рисунке обозначено: ,  при этом считается, что  ,  ,математическая модель нелинейного звена  ,  .        Из приведенных графиков следует. В случае возникновения автоколебаний в исследуемой системе с одним нелинейным звеном на выходе нелинейного звена возникает периодический сигнал с периодом  . Период сигнала на выходе нелинейного звена совпадает с периодом сигнала на его выходе , .
В случае гармонического сигнала на входе нелинейного звена системы управления на его выходе появляется периодический сигнал, период которого . Этот периодический сигнал на выходе нелинейного звена можно разложить в ряд Фурье ,где  , , ,где  – частота  -ой гармоники.Если автоколебания в системе симметричны, то симметрична относительно оси абсцисс. Это значит  и .
Построим амплитудно–частотную характеристику линейной части системы. Пусть, например, она имеет вид, показанный на рисунке  Отметим на оси частот частоту первой гармоники  , возникших в системе автоколебаний, а затем и высшие гармоники  ,  , … Предположим, что величина амплитудной характеристики на частотах высших гармоник значительно меньше, чем для первой, т.е.  ,  .Это положение называется свойством фильтра линейной части системы.При наличии этого свойства фильтра линейной части – линейная часть системы будет хорошо пропускать первую гармонику нелинейных колебаний и слабо пропускать все высшие гармоники. Поэтому сигнал на выходе нелинейной системы  (ее линейной части) будет близок к синусоидальному  . Это обстоятельство усиливается и тем, что собственные амплитуды высших гармоник переменной , как правило, меньше, чем амплитуда первой гармоники.
Базируясь на свойстве фильтра линейной части системы в равенстве  слагаемые   можно не учитывать. Тогда ,где  , .Обозначим через  и  . Пусть далее  , тогда значения  и  вычисляются по формулам , (1) . (2)Величины и называются коэффициентами гармонической линеаризации.^  С учетом введенных коэффициентов гармонической линеаризации и равенство можно переписать следующим образом  , но, заметив, что  получаем ,  и, следовательно,  . (3)Представление (3) называется гармонической линеаризацией нелинейного звена. Равенство (3) является линейным относительно переменной при  , т.е. только для данного конкретного периодического решения . Но в целом она сохраняет нелинейные свойства, т.к. его коэффициенты зависят от искомого решения, от величины амплитуды колебаний переменной . Эта особенность гармонической линеаризации и позволяет нам в дальнейшем исследовать с ее помощью основные свойства и особенности процессов в нелинейных системах.При фиксированном значении и нулевых начальных условиях выполним преобразование по Лапласу равенства (3) . (4)Таким образом, в результате гармонической линеаризации нелинейный элемент системы автоматического управления заменяется гармонически линеаризованным звеном   Гармонически линеаризованная периодическая функция нелинейного звена будет иметь вид  .Амплитудно-фазовая характеристика нелинейного гармонически линеаризованного звена получается в результате формальной перестановки  и имеет вид  . Следовательно, амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена  зависит только от амплитуды гармонического сигнала и не зависит от его частоты (в противоположность характеристикам линейных звеньев).Существуют нелинейности  , для которых  ,  и  будут зависеть от амплитуды и частоты .Из сказанного следует алгоритм исследования автоколебаний в нелинейных системах методом гармонической линеаризации. Алгоритм исследования автоколебаний в нелинейных системах методом гармонической линеаризации.
 ,  , – характеристика нелинейного звена системы управления.
Замечание: значения амплитуды и частоты автоколебаний пока неизвестны и подлежат определению.
, .
^ Задано нелинейное звено, которое описывается нелинейным уравнением  . Входная переменная нелинейного звена гармоническая функция ,где – амплитуда, – частота. Период входного гармонического сигнала равен  . Выходной сигнал представляет собой периодическую функцию с периодом . Периодичность функций и одинакова.Задача. Вычислить коэффициенты гармонической линеаризации  и  по формулам , ,где  .Цель вычисления коэффициентов гармонической линеаризации: замена нелинейного звена системы управления гармонически линеаризованным (квазилинейным) звеном с передаточной функцией  . При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации следует:
, .При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации наиболее часто используются следующие тригонометрические равенства:  ,  ,  , ,  ,  , .ПРИМЕР. Вычислить коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейного звена с релейной характеристикой общего вида.        ,  ,  . , , , .^ Постановка задачи. Рассмотрим замкнутую систему автоматического управления, структурную схему которой можно представить в следующем виде где  ,  , – симметричная функция, характеристика нелинейного звена.Получим уравнения, описывающие процессы в системах при   , (1) ,где  – передаточная функция линейной части системы.^
 ,где и  – коэффициенты гармонической линеаризации, которые вычислены по формулам ,  .
где  – передаточная функция гармонически линеаризованного звена.Существенно. Амплитуда и частота автоколебаний неизвестны, Все построения по замене нелинейной системы гармонически линеаризованной системой выполнены в предположении, что в системе возникли автоколебания периода  .Задача состоит в том, чтобы найти параметры автоколебаний – амплитуду и частоту , если автоколебания существуют.Задача решается в три этапа.
Если периодическое решение – устойчиво, то в системе есть автоколебания. Методы решения задачи определения параметров автоколебаний можно разделить на
Все методы определения параметров автоколебаний  преследуют одну и ту же цель, но в различных конкретных задачах может оказаться удобным тот или иной из них.Алгебраические методы 1. Основан на непосредственном использовании характеристического уравнения гармонически линеаризованной системы. 2. Основан на использовании критерия Гурвица к гармонически линеаризованной системе.
|
– амплитуду и 
).
, 
можно представить в виде 
, 
отлично
1 