Теория вероятностей и математическая стат истика Структура курса icon

Теория вероятностей и математическая стат истика Структура курса



Смотрите также:
Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика"...
Рабочей программы учебной дисциплины (модуля) теория вероятностей и математическая статистик...
Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика»...
Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая статистика...
Рабочая программа учебной дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика" по...
Контрольная работа для студентов второго курса факультета менеджмента по дисциплине «Теория...
Рабочая программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для...
Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для первого курса...
«Теория вероятностей и математическая статистика»...
Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов 2 курса...
Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Курс освещает историю развития теории вероятностей, основные понятия, свойства...



скачать
Теория вероятностей и

математическая статистика


Структура курса

Элементарная теория вероятностей. Классическое определение вероятности.

Случайные события. Алгебра случайных событий.

Случайные величины.

Элементы теории случайных процессов.

Введение в математическую статистику. Проверка статистических гипотез. Регрессионный и дисперсионный анализ.


Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, возникающих при массовых однородных опытах, результаты которых однозначно не определены.

Зарождение теории вероятностей относится к середине ХVII века и связано с работами Паскаля, Ферма, Гюйгенса в области теории азартных игр.

Исходными понятиями теории вероятностей в ее классическом определении являются вероятностный эксперимент, или опыт, и элементарный исход.


ПРИМЕР 1.

Опыт: подбрасывание монеты.

Элементарные исходы: появление герба, появление цифры.

ПРИМЕР 2.

Опыт: подбрасывание игрального кубика.

Элементарные исходы: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.


Классическое определение вероятности

Вероятностный эксперимент (опыт) – выполнение некоторого действия и наблюдение за его результатом.

Элементарные исходы – все возможные результаты опыта. В каждом опыте реализуется только один из элементарных исходов. Все элементарные исходы равно ожидаемы, то есть, нет оснований ожидать, что один из элементарных исходов реализуется чаще, чем какой–либо иной.

Случайное событие – произвольный набор элементарных исходов. Каково бы ни было событие ^ А, по описанию элементарного исхода всегда можно определить произошло, или нет, событие А.

Пусть событию А благоприятствуют элементарных исходов из общего числа равновероятных взаимно исключающих исходов. Тогда вероятностью события называется число



Событие В называется достоверным, если число благоприятных для В исходов равно общему числу исходов для данного опыта.

.

Событие С называется невозможным, если в рамках данного опыта для него нет благоприятных исходов.



Так как число благоприятных исходов не может превышать общее число исходов,

,

то вероятность любого случайного события А удовлетворяет неравенству




Непосредственный подсчет исходов

ПРИМЕР 1. Опыт: подбрасывание игрального кубика. Найти вероятность следующих событий:

^ А – {выпало нечетное число очков};

В – {выпало число очков, не меньшее 5}.

РЕШЕНИЕ. Элементарные исходы ─ это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Общее число исходов равно . Число исходов, благоприятствующих событию А (это исходы 1, 3, 5), равно .



Число исходов, благоприятствующих событию В, равно (исходы 5, 6).



ПРИМЕР 2. Опыт: подбрасывание двух игральных кубиков. Найти вероятность следующих событий:

^ А – {сумма выпавших очков равно 7};

В – {сумма выпавших очков равно 11};

С – {выпало сумма очков, не более 4}.

РЕШЕНИЕ. Элементарным исходом является упорядоченная пара чисел , , . Все исходы равно ожидаемы. Общее число исходов равно . Элементарные исходы, удовлетворяющие условию , имеют вид

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) .

Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию А, равно .



Элементарные исходы, удовлетворяющие условию , имеют вид

(6,5), (5,6).

Число исходов, благоприятствующих событию В, равно .



Элементарные исходы, удовлетворяющие условию , имеют вид

(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1).

Число исходов, благоприятствующих событию С равно .

.

ПРИМЕР 3. Опыт: подбрасывание трех игральных кубиков. Найти вероятность события А = {число выпавших очков равно 7}.

РЕШЕНИЕ. Элементарным исходом является упорядоченная тройка чисел , , , . Общее число исходов равно .

^ ДЕРЕВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ







Элементарные исходы, удовлетворяющие условию , имеют вид

(1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (1,2,4), (1,1,5),

(2,1,4), (2,2,3), (2,3,2), (2,4,1),

(3,1,3), (3,2,2), (3,3,1),

(4,1,2), (4,2,1),

(5,1,1).

Число исходов, благоприятствующих событию А равно .



Элементы комбинаторики.

Перестановка – произвольная упорядоченный набор из элементов без повторов.

ПРИМЕР. Пусть . Множество их трех элементов можно представить в виде {1,2,3}. Тогда, записывая числа 1, 2, 3 в различном порядке, получим 6 перестановок:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

При произвольном n число перестановок из n элементов определяется формулой

.

^ ВЫВОД ФОРМУЛЫ.

Запишем все возможные перестановки в виде дерева.



1 2



n

2


3


1



n

n n(n1) n(n1)(n2)

Каждой перестановке отвечает последовательный набор веток все уменьшающегося размера, при этом число веток, растущих на ветке большего размера, на каждом шаге построения дерева уменьшается на единицу. Ч.Т.Д.


ПРИМЕР. Шесть гостей, из которых двое знакомы друг с другом, случайным образом усаживаются за круглым столом. Какова вероятность того, что двое знакомых сядут рядом?

РЕШЕНИЕ. Результатом эксперимента является перестановка из 6 элементов (каждому гостю можно присвоить номер и положить карточку с номером гостя на первом месте за столом, на втором, третьем и т.д.) Число всех элементарных исходов n=6!=720.

Пусть знакомым между собой гостям присвоены номера 1 и 2. Тогда успешными для рассматриваемого события будут перестановки вида

(1,2,*,*,*,*), (2,1,*,*,*,*), (*,1,2,*,*,*), (*,2,1,*,*,*),…, (1,*,*,*,*,2), (2,*,*,*,*,1).

Вместо звездочек стоит произвольная перестановка из чисел 3, 4, 5, 6. Число успешных перестановок, следовательно, равно

m=264!=288.

Вероятность события равна

P=288/720=2/5.

Комментарий. Решение в рассмотренном примере может быть получено намного более коротким способом, если иначе определить элементарные исходы опыта. Поскольку стол круглый, безразлично, на какое место посадить первого гостя. Второго гостя с равной вероятностью можно посадить на одно из оставшихся пяти мест. Следовательно, число элементарных исходов n равно 5. Знакомые окажутся рядом, если второго гостя посадить справа или слева от первого. Число успешных элементарных исходов m равно 2. Вероятность события равна 2/5.


ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произвольный упорядоченный набор из элементов (без повторов), принадлежащих множеству, состоящему из элементов, называется размещением.


ПРИМЕР. Размещения из 3 по 2.

Множество состоит из трех элементов {1,2,3}. Размещений по 2 имеется 6 штук:

(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

При произвольных и число размещений определяется формулой

.

Доказательство. Возьмем произвольное размещение и дополним его до перестановки из элементов множества {1,2, …, n} с помощью элементов , не вошедших в размещение . Для этого надо из образовать произвольную перестановку и приписать ee справа к размещению . Поскольку , то получаем

,

Отсюда , Ч.Т.Д.


ПРИМЕР. Сколькими способами можно набрать семизначный номер телефона, если все цифры разные?




ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сочетание.

Произвольная комбинация k элементов (без учета порядка записи) из множества {1,2,…,n} называется сочетанием.


ПРИМЕР. Сочетания по 2 из 3.

{1,2}, {1,3}, {2,3}


Для произвольного n и k число сочетаний из n по k равно

.


Мнемоническая формула



(в числителе столько же множителей, сколько и в знаменателе, то есть k.)


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из каждого сочетания можно сделать размещений за счет всевозможных перестановок элементов множества . Поэтому , откуда и берется требуемая формула.


ПРИМЕР. Сколькими способами можно из 20 присяжных отобрать трех для участия в судебном процессе?

.


^ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Урновая схема

Рассмотрим черный ящик, в котором лежит m белых шаров и k черных шаров, одинаковых по форме и неотличимых на ощупь. Из ящика наудачу вынимается p шаров. Требуется определить, какова вероятность вытащить l белых и pl черных шаров?

l pl




k m

РЕШЕНИЕ.

Элементарным исходом является сочетание из шаров по шаров. Следовательно, . Чтобы найти все успешные исходы, найдем сначала, сколькими способами можно вытащить из белых шаров белых, и из черных шаров черных. В каждом случае речь идет о выборке без учета порядка (сочетании), поэтому число белых наборов равно , а число черных наборов равно . Поскольку белые и черные наборы можно перемешивать независимо, то общее число элементарных исходов с белыми и черными шарами равно . Таким образом, вероятность события равна



Эта формула называется гипергеометрическим распределением.


ПРИМЕР 1. Спортлото 5 из 36. Найти вероятность следующих событий:

A = {угадать 3 номера};

B = {угадать 4 номера};

C = {угадать 5 номеров}.


РЕШЕНИЕ. Элементарным исходом является сочетание из 36 по 5. Следовательно,

.

Для A есть 5 «белых» номеров, из которых надо вытащить ровно 3, и 31 «черный номер», откуда надо вытащить 2 номера. Следовательно, успешных исходов имеется ровно



штук. Окончательно,

.

Таким образом, примерно 123 человека из 10000 играющих получат минимальный выигрыш.


Для события B имеем

,

.

Для события C имеем

,

Эта последняя формула допускает, в частности, следующую интерпретацию: для того, чтобы один человек выиграл максимальный приз, необходимо, в среднем, чтобы в розыгрыше приняло участие 376992 человека.


ПРИМЕР 2.

Из игральной колоды (36 карт) наудачу вытащили 4 карты. Какова вероятность того, что среди них имеется, по крайней мере, 2 короля.


РЕШЕНИЕ. Элементарным исходом в эксперименте является сочетание из 36 по 4. Следовательно,



Успешные исходы разбиваются на 3 группы: 2 короля и 2 не–короля; 3 короля и 1 не–король; и, наконец, 4 короля. Получаем:





Окончательно,





Скачать 86,91 Kb.
оставить комментарий
Дата05.11.2011
Размер86,91 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх