Лекция 3 показатели безотказности: вероятность безотказной работы, плотность распределения отказов, интенсивность отказов icon

Лекция 3 показатели безотказности: вероятность безотказной работы, плотность распределения отказов, интенсивность отказов


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Количественные показатели безотказности: общие понятия. Основные сведения из теории вероятностей...
Количественные показатели безотказности: общие понятия. Основные сведения из теории вероятностей...
Общие положения...
Восстановление кривой интенсивности отказов кмоп имс от времени с использованием облучения...
Основное наз­начение оперативного то устране­ние возникших в полете и на земле отказов в...
Пособие к лабораторным работам исследование характеристик малогабаритной...
Лекция №13 Система контроля имс проектирование контролепригодных имс...
Лекция 11
Общие правила построения и работы с системой S7-400Н...
Технологий и систем Лабораторная работа №1 Тема: «Оценка вероятности безотказной работы и...
Актуарная математика...
Стрельникова В. П. Надежность систем управления и автоматики...



Загрузка...
скачать
Лекция 3

ПОКАЗАТЕЛИ БЕЗОТКАЗНОСТИ: ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ, ИНТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗОВ


Общие понятия о показателях безотказности, формах их представления и схеме испытаний объектов приведены в лекции 2.

 

1. Вероятность безотказной работы (ВБР)

 

Статистическая оценка ВБР (эмпирическая функция надежности) определяется:

 



(1)

 

 

отношением числа^ N(t) объектов, безотказно проработавших до момента наработки t, к числу объектов, исправных к началу испытаний (t = 0) - к общему числу объектов N. Оценку ВБР можно рассматривать как показатель доли работоспособных объектов к моменту наработки t.

Поскольку N(t) = N - n(t), то ВБР по (1)

 



(2)

 

где(t) =  n(t)/ Nоценка вероятности отказа (ВО).

В статистическом определении оценка ВО представляет эмпирическую функцию распределения отказов.

Так как события, заключающиеся в наступлении или не наступлении отказа к моменту наработки t, являются противоположными, то

 

(t)+(t) = 1

(3)

 

Нетрудно убедиться, что ВБР является убывающей, а ВО – возрастающей функцией наработки. Действительно

- в момент начала испытаний t = 0 число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N, а число отказавших - n(t) = n(0) = 0, поэтому  (t) =(0) = 1, а (t) = (0) = 0;

- при наработке t все объекты, поставленные на испытания, откажут, т. е. N() = 0, а n() = N, поэтому (t) = () = 0, а  (t) =() = 1.

Вероятностное определение ВБР

 

P(t) = P{T t}.

(4)

 

Таким образом, ВБР есть вероятность того, что случайная величина наработки до отказа ^ T окажется не меньше некоторой заданной наработки t.

Очевидно, что ВО будет являться функцией распределения случайной величины T и представляет из себя вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:

 

Q(t) = P{T < t}. 

(5)

 

Графики ВБР и ВО приведены на рис. 1.

В пределе, с ростом числа ^ N (увеличение выборки) испытываемых объектов, (t) и (t) сходятся по вероятности (приближаются по значениям) к P(t) и Q(t).

Сходимость по вероятности представляется следующим образом:

 

 

(6)

 

 



 

Рис. 1

 

Практический интерес представляет определение^ ВБР в интервале наработки [t, t + t], при условии, что объект безотказно проработал до начала t интервала.Определим эту вероятность, используя теорему умножения вероятностей, и  выделив следующие события:

^ A = {безотказная работа объекта до момента t};

B = {безотказная работа объекта в интервале t};

C = A·B = {безотказная работа объекта до момента t + t}.

Очевидно P(C) = P(A·B) = P(A)·P(B| A), поскольку события A и B будут зависимыми.

Условная вероятность P(B| A) представляет ВБР P(t, t + t) в интервале [t, t + t], поэтому

 

P(B| A) = P(t, t + t) = P(C)/ P(A) = P(t + t)/ P(t).

(7)

 

ВО в интервале наработки [t, t + t], с учетом (7), равна:

 

Q( t, t + t ) = 1 - P( t, t + t ) = [ P(t ) - P(t + t ) ] / P(t ).

(8)

 

^ 2. Плотность распределения отказов (ПРО)

Статистическая оценка ПРО определяется

отношением числа объектов  n(t, t + t), отказавших в интервале наработки [t, t + t] к произведению общего числа объектов N на длительность интервала наработки t.

 



(9)

 

 

Поскольку n ( t, t + t ) = n ( t + t ) - n(t), где  n( t + t ) – число объектов, отказавших к моменту наработки t + t, то оценку ПРО можно представить:

 



(10)

 

где( t, t + t) – оценка ВО в интервале наработки, т. е. приращение ВО за t.

Оценка ПРО представляет «частоту» отказов, т. е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов.

Вероятностное определение ПРО следует из (10) при стремлении интервала наработки t t0 и увеличения объема выборки N

 



(11)

 

ПРО по существу является плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины ^ T наработки объекта до отказа.

Поскольку Q(t) является неубывающей функцией своего аргумента, то f(t) ^ 0.

 

Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 2.

Как видно из рис. 2,  ПРО f(t) характеризует частоту отказов (или приведенную ВО), с которой распределяются конкретные значения наработок всех N объектов (t1 , … , tN ), составляющие случайную величину наработки  T до отказа объекта данного типа. Допустим, в результате испытаний установлено, что значение наработки ti присуще наибольшему числу объектов. О чем свидетельствует максимальная величина f(ti). Напротив, большая наработка tj была зафиксирована только у нескольких объектов, поэтому и частота f(tj) появления такой наработки на общем фоне будет малой.

           



 

Рис. 2

 

Отложим на оси абсцисс некоторую наработку t и бесконечно малый интервал наработки шириной dt, примыкающий к t.

Тогда вероятность попадания случайной величины наработки ^ T на элементарный участок шириной dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна:

 

 



(12)

 

где  f(t)dt – элемент ВО объекта в интервале [t, t + dt] (геометрически это площадь заштрихованного прямоугольника, опирающегося на отрезок dt).

Аналогично вероятность попадания наработки T в интервал [tk , tm ] равна:

 



(13)

 

что геометрически интерпретируется площадью под кривой f(t), опирающейся на участок [tk , tm ].

ВО и ВБР можно выразить в функции ПРО.

Поскольку Q(t) = P{T < t}, то используя выражение (13), получим

 



(14)

 

расширение интервала слева до нуля вызвано тем, что T не может быть отрицательной.

 

Т. к. P(t) = P{T t}, то

 



(15)

 

Очевидно, что ^ Q(t) представляет собой площадь под кривой f(t) слева от t, а P(t) – площадь под f(t) справа от t. Поскольку все, полученные при испытаниях значения наработок лежат под кривой f(t), то

 



(16)

 

^ 3. Интенсивность отказов (ИО)

 

Статистическая оценка ИО определяется

 



(17)

 

отношением числа объектов  n(t, t + t), отказавших в интервале наработки [t, t + t] к произведению числа N(t) работоспособных объектов в момент t на длительность интервала наработки t.

Сравнивая (9) и (17) можно отметить, что ИО несколько полнее характеризует надежность объекта на момент наработки t, т. к. показывает частоту отказов, отнесенную к фактически работоспособному числу объектов на момент наработки t.

Вероятностное определение ИО получим, умножив и поделив правую часть выражения (17) на N 

 



          

С учетом (10),оценку ИО (t) можно представить

 



 

откуда при стремлении t 0 и N получаем

 



(18)

 

Возможные виды изменения ИО (t) приведены на рис. 3.

 



Рис. 3




Скачать 54,21 Kb.
оставить комментарий
Дата05.11.2011
Размер54,21 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх