Курсовая работа По теме «Евклидовы пространства» icon

Курсовая работа По теме «Евклидовы пространства»


5 чел. помогло.
Смотрите также:
Самостоятельная работа    2 часа в неделю Всего часов ...
Программа для вступительных испытаний в магистратуру по специальности 050201м математика...
Рабочая учебная программа по курсу по выбору «Евклидовы пространства» Для Проп по направлению...
Курсовая работа Тема курсовой...
Курсовая работа по теме «Проблема макроэкономического равновесия в России и пути его достижения»...
Темы курсовых работ Вариант 1: буквы а-б-в курсовая работа по теме: Формирование и использование...
Методические указания по написанию курсовых работ для студентов всех форм обучения специальности...
Курсовая работа по маркетингу по теме: «зао транко»...
Курсовая работа по теме: великие законы сохранения...
Курсовая работа по теме: «Сущность и функции банковского менеджмента»...
Курсовая работа по методике преподавания географии по теме: «Особенности применения приема...
Курсовая работа это самостоятельная учебная работа студента...



Загрузка...
скачать

Курсовая работа

По теме «Евклидовы пространства»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава 1. Теоретическая часть……………………………………………..…...…4

    1. Понятие евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств…...4

    2. Норма вектора евклидового пространства. Неравенство Коши – Буняковского………………………………………………………………….6

    3. Угол между векторами евклидового пространства. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе…………………………………………………..7

    4. Важнейшие соотношения в евклидовом пространстве…………………...12

Глава 2. Практическая часть…………………………..………………………..14

2.1 Задача №1……………………………………………………………………15

2.2 Задача №2……………………………………………………………………16

Заключение………………………………………………………………………17

Список литературы……………………………………………………………..18



ВЕДЕНИЕ


Из курса аналитической геометрии известно, что и в плоскости, и в трехмерном пространстве можно ввести понятие скалярного умножения векторов. Оно определяется при помощи длин векто­ров и угла между ними, но, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены через скалярные произведения. В работе описывается, как в любом n-мерном линейном пространстве понятие скалярного умножения, определенное аксиоматически, открывает большой раздел - евклидовы пространства. В работе описаны теоретические сведения (глава 1) и показаны решения избранных задач (глава 2) по теме.

С помощью линейного (аффинного) пространства определенного как множество элементов (векторов) с заданными в нем операциями умножения на числа и сложения можно сформулировать, что такое прямая, плоскость, число измерений пространства, что такое параллельные прямые и т.д. Однако этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие фактов, составляющих содержание так называемой евклидовой геометрии. Введение скалярного произведения значительно расширяет эти возможности. Именно это понятие является в данной работе основным. Оно определено аксиоматически.

В терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения векторов мы сможем развить всю евклидову геометрию. [4]


Глава 1. Теоретическая часть

1.1. Понятие евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств

Определение 2.1   Будем говорить, что в вещественном пространстве R определено скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим через причем это соответствие обладает следующими свойствами (удовлетворяет следующим аксиомам):

10, т.е. скалярное произведение симметрично.

20, где -- действительное число.

30 (дистрибутивность скалярного произведения).

40 Скалярное произведение вектора с самим собой неотрицательно: , и обращается в нуль, лишь если .

Аффинное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 10-40, мы называем евклидовым.

Примеры  

  1. Под векторами пространства R мы будем понимать векторы изучаемого в элементарной геометрии трехмерного пространства. Скалярное произведение векторов определим как произведение их длин на косинус угла между ними. Очевидно, что аксиомы 10-40 действительно выполнены.

  2. Векторами пространства R назовем всякую систему n действительных чисел . Сложение векторов и умножение их на число определим так :



где

Скалярное произведение векторов x и y определим формулой


Легко проверить, что аксиомы 10-30 действительно выполнены. Аксиома 40 также справедлива, так как и только при .

3. Рассмотрим пример более общий, чем пример 2.

Вектор по-прежнему определим как совокупность n действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на числа определим так же, как в примере 2.

Зададимся некоторой матрицей ||aik||. Скалярное произведение векторов x и y определим формулой




Посмотрим, какие условия нужно наложить на матрицу ||aik||, чтобы выражение, определяемое формулой (1), действительно удовлетворяло всем аксиомам скалярного произведения.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что аксиомы 20 и 30 выполнены для всякой матрицы ||aik||. Для того чтобы была выполнена аксиома 10, т.е. чтобы выражение было симметричным относительно x и y, необходимо и достаточно, чтобы

aik=aki (2)

т.е. чтобы матрица ||aik|| была симметричной.

Аксиома 40 требует, чтобы выражение было неотрицательно для любых и обращалось в нуль, лишь если.

Однородный многочлен (“квадратичная форма”), определяемый формулой (3), называется положительно определенным, если он принимает лишь неотрицательные значения и обращается в нуль, лишь когда все равны нулю. Аксиома 40 требует, следовательно, чтобы квадратичная форма (3) была положительно определенной.

Итак, всякая матрица ||aik|| задает скалярное произведение, определяемое формулой (1), если только эта матрица симметрична [условие (2)] и соответствующая ей квадратичная форма -- положительно определенная.

Если в качестве матрицы ||aik|| взять единичную матрицу, т.е. положить и , то скалярное произведение (x,y )примет вид

и мы получим евклидово пространство, определенное в примере 2.

4. Векторами пространства R мы будем называть непрерывные функции, заданные на интервале (a,b); скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения .

Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы 10-40 выполнены.

5. Будем считать векторами многочлены от t степени не выше n-1. Скалярное произведение двух многочленов определим как и в предыдущем примере:

Аксиомы 10-40 проверяются как и в примере 4.
^

1.2. Норма вектора евклидового пространства. Неравенство Коши - Буняковского


Определим с помощью введенного понятия скалярного произведения длину или норму вектора и угол между векторами.

Определение 2.2   Длиной вектора x в евклидовом пространстве называется число

(4)

Длину вектора x будем обозначать через |x|.

Для того чтобы можно было в дальнейшем определить угол φ между векторами нужно доказать, что или, что то же самое, что

ведь (5).

Пока примем это утверждение как очевидный факт, все мотивы его появления описаны в следующей главе.

т.е. (6)

Это неравенство называется неравенством Коши--Буняковского.

Доказательство:

Рассмотрим вектор x-ty, где t -- произвольное действительное число. Согласно аксиоме 40 скалярного произведения

т.е. для любого t



Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно t трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискриминант уравнения



не может быть положительным, т.е.

что и требовалось доказать. [2]


Глава 2. Практическая часть

1 В евклидовом пространстве непрерывных в промежутке [0;1] функций х=х(t), у=у(t) рассматриваются два вектора х=, у=. Найдите значение , при котором векторы х и у будут ортогональны на промежутке [0;1], и проверить справедливость теоремы Пифагора для этих векторов.

Решение.

Скалярное произведение в пространстве непрерывных функций задается интегралом:

(х,у)=.

Условие ортогональности двух векторов имеет вид (х,у)=0, получаем

,т.е

…..




Скачать 62,35 Kb.
оставить комментарий
Дата05.11.2011
Размер62,35 Kb.
ТипКурсовая, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  7
средне
  2
отлично
  7
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх