Г. Стерлитамак, 2011г. Математические модели установившихся плоскопараллельных околозвуковых течений icon

Г. Стерлитамак, 2011г. Математические модели установившихся плоскопараллельных околозвуковых течений


Смотрите также:
Рабочая программа по дисциплине: цикла ен. Р...
Программа учебной дисциплины «математические модели и расчет электротехнических систем»...
Программа учебной дисциплины «математические модели и расчет электротехнических систем»...
Рабочей программы учебной дисциплины математические методы и модели в экономике уровень основной...
Программа дисциплины «Дискретные математические модели»...
Программа наименование дисциплины Математические модели в теории...
Программа курса " Математические модели естествознания и экологии"...
Рабочая программа учебной дисциплины «Математические модели физики» Направление подготовки...
Полугодовой спецкурс для студентов 3-5 курса и аспирантов «Устойчивость плоскопараллельных...
Применение квазигидродинамических уравнений для математического моделирования течений вязкой...
Программа дисциплины «Статические и динамическое межотраслевые модели» для направления...
Библиографический указатель Стерлитамак-2010...



Загрузка...
скачать
АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН


ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ»


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УСТАНОВИВШИХСЯ

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОКОЛОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ


чл.-корр. АН РБ, д.ф.-м.н. Камиль Басирович Сабитов


г.Стерлитамак, 2011г.


Математические модели установившихся

плоскопараллельных околозвуковых течений


К.Б. Сабитов


Переход через скорость звука представляет собой одно из важнейших газодинамических явлений. С точки зрения математической теории интерес к этому явлению вызван тем, что основные дифференциальные уравнения моделей установившихся течений приобретают дополнительную особенность, связанную с изменением их типа в области определения решения. Здесь мы рассмотрим некоторые модели установившихся плоскопараллельных течений несжимаемой среды.

Уравнение двумерных плоскопараллельных установившихся газовых течений в том виде, который придал ему Чаплыгин С.А. (1869 – 1942) в своей работе «О газовых струях» (1902), на плоскости годографа имеет вид


, (1)

где - функция тока, и - функции от модуля скорости течения, которые обе положительны при дозвуковой и отрицательны при сверхзвуковой скорости, - угол наклона вектора скорости (  - это полярные координаты на плоскости годографа, годограф – плоскость изменения координат вектора скорости течения ).

Уравнение (1) имеет эллиптический тип при дозвуковой и гиперболический тип при сверхзвуковой скорости.

Чаплыгин С.А. в своей работе исследовал две задачи для уравнения (1), а именно истечение свободной струи из сосуда с плоскими стенками (задача о струях) и набегание свободной струи на клин (задача обтекания). Он доказал, что в случае, когда скорость потока повсеместно остается ниже скорости звука, обе эти задачи сводятся к задачам Дирихле для уравнения (1) и методом разделения переменных построил решения.

Франкль Ф.И. (1905-1961), продолжая исследования Чаплыгина, установил, что задача истечения сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками на плоскости годографа сводится к задаче Трикоми.

Р
Рис. 1
ассмотрим сосуд со стенками и ( см. рис. 1 ) симметричный относительно оси . При достаточно малом внешнем давлении в струе происходит переход через скорость звука с на некоторый звуковой линии с центром течения на оси симметрии. Здесь и - свободные границы газовой струи, сечение - отверстие, через которое вытекает газ в окружающее пространство. Ширина (диаметр) отверстия и угол наклона стенок к оси известны, . В бесконечности вверх по течению, т.е. в сосуде вдали от отверстия, газ покоится и имеет заданные параметры и (значит, известна и скорость звука ); , , - критические значения давления, скорости и плотности.

Вдоль стенки скорость возрастает от в (на бесконечности) до q = c* в точке . Переход к скорости q1 > c* точке на свободной границе происходит посредством центрированной волны разрежения. Волна разрежения заканчивается характеристикой , выходящей на звуковую линию в точке . Идущая от центра О течения характеристика выходит на свободную границу в точке .

Ввиду симметрии течения этим определяется область независимого трансзвукового течения с границей . Тем самым годограф области полностью определен исходными данными, он показан на рис. 2, где соответствующие точки обозначены теми же буквами, что и на рис. 1.

При этом точкам и на плоскости течения (краям отверстия) соответствуют дуги характеристик и на плоскости годографа.

Граничные условия для функции тока определяются заданным расходом газа в струе и тем, что каждая из линий и (рис. 2, ) есть линии тока.

Следовательно, задача об истечении сверхзвуковой струи сводится к следующей краевой задаче для функции тока на плоскости годографа:

найти решение уравнения Чаплыгина в области с границей по краевым условиям:

, . (2)

Приращение функции тока при переходе от нижней границы струи к верхней равно 2Q, и поэтому граничные функции тока могут быть взяты в виде (2).

В силу симметрии задачи (2) можно заменить задачей об отыскании решения уравнения Чаплыгина в области с границей по граничным условиям:

, . (3)


Понижение внешнего давления сопровождается возрастанием скорости . Влияние этого изменения передается в область независимого течения через отрезки и свободной границы и обуславливает зависимость этого течения от давления ; когда достигает значения (см. рис. 2), то точки и (а также и ) сливаются в одну точку (соответственно ). Поэтому дальнейшее понижение внешнего давления уже не влияет на область независимого течения, в частности, на его расход. Получаемое течение при называется течением с максимальным расходом.

Для течения с максимальным расходом задача несколько упрощается и сводится к следующей: найти решение уравнения Чаплыгина в области по граничным условиям:

, . (4)

Краевая задача (4) является задачей Трикоми для уравнения Чаплыгина.

Задача (2) при принадлежит классу так называемых обобщенных задач Трикоми и является очень трудной. До сих пор по этой задаче не получены окончательные результаты.

^ Задачу Трикоми изучали многие авторы из разных стран.

Итальянский математик Ф. Трикоми в 20-е годы прошлого столетия исследовал краевую задачу для уравнения

(5)

в области (см. рис. 3) с граничными условиями


Рис.3.
, где и - заданные функции.


Ф. Трикоми доказал единственность решения этой задачи при любой гладкой кривой , а существование решения для областей , содержащих внутри себя нормальную кривую .

Ф

Рис. 3

ранкль Ф.И. (1945) одним из первых доказал единственность решения задачи Т для уравнения Чаплыгина при условии или число Маха , или

при . (6)

Наиболее значимый вклад внес К.И. Бабенко (1950) по задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина. Он свел эту задачу для уравнения

(7)

и доказал единственность и существование решения задачи Т для уравнения (7) при условии малости линии изменения типа или малости коэффициента .

Интересные результаты были получены и американскими учеными: S. Agmon, L. Nirenberg, M. Protter (1953).

В нашей работе ( ДАН, 1994, Т. 335, № 4 ) доказана единственность задачи Т для уравнения Чаплыгина без каких – либо ограничений геометрического характера на кривую и коэффициент , т.е. получен окончательный результат без условия (6).


^ Обобщенная задача Трикоми для уравнения Чаплыгина


По этой задаче получили значительные результаты К.И. Бабенко, А.В. Бицадзе, К. Моравец, П. Лакс, К. Фридрихс, Л.В. Овсянников, В.П. Михайлов, В.Н. Врагов, А.М. Нахушев, А.П. Солдатов и другие.

Рассмотрим уравнение Чаплыгина в области (см. рис. 4)

Задача Трикоми – Франкля. Найти решение уравнения Чаплыгина, удовлетворяющее граничным условиям:

.


З

Рис. 4

адача Франкля – Овсянникова
. Найти решение уравнения Чаплыгина, удовлетворяющее граничным условиям:




Рис.4.

В нашей совместной с Капустиным Н.Ю. работе ( ДАН, 1992, Т. 321, № 6 ) получен окончательный результат по теореме единственности решения задачи Франкля – Овсянникова.

В 1956 году Франкль Ф.И., исследуя задачу обтекания профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, пришел на плоскости годографа к математической модели, именуемой в настоящее время задачей Франкля. Постановка этой задачи им опубликована в журнале ПММ (1956, Т. 20, № 2).

Рассмотрим уравнение Чаплыгина

(8)

в
Рис. 5
области , ограниченной отрезком оси , , характеристикой уравнения (8), отрезком оси и простой кривой (см. рис. 5).

^ Задача Франкля. Найти решение уравнения (8), удовлетворяющее условиям: ,,.

Первые результаты по задаче Франкля для уравнений Лаврентьева и Чаплыгина получены А.В. Бицадзе ( ДАН, 1956, Т. 109, № 6; 1957, Т. 112, № 3) при дополнительном требовании, чтобы кривая кроме обычного условия гладкости удовлетворяла геометрическому условию

, (9)

где – параметрические уравнения кривой .

В работах Ю.В. Девингталя (Изв. вузов, 1958, Т. 2 (3); Успехи матем. наук, 1959, Т. 14, № 1 (85)) условие (9) на кривую было несколько ослаблено: неравенство (9) должно выполняться в некоторой окрестности точки и угол    между положительным направлением оси и направлением касательной к , должен удовлетворять условию:

. (10)

Отметим, что задача Франкля была объектом изучения многих советских и зарубежных математиков. Как видим, в работах А.В. Бицадзе, Ю.В. Девингталя и других авторов геометрическое ограничение типа (9) или (10) на кривую всюду присутствует. В связи с этим возникла проблема: нельзя ли доказать единственность решения задачи Франкля без каких – либо ограничений геометрического характера на кривую . Отметим, что в 1972 – 73 гг. А.П. Солдатов (ДУ, 1973, Т. 9, № 2; 1974, Т. 10, № 1) решил эту проблему для уравнения Лаврентьева – Бицадзе



методом теории аналитических функций.

В наших совместных с Капустиным Н.Ю. работах (ДАН, 1990, Т. 314, № 16;  ДАН, 1991, Т. 317, № 5; ДУ, 1991, Т. 27, № 1) для уравнения

(11)

получены утверждения о единственности задачи Франкля без каких – либо ограничений геометрического характера на кривую .

В нашей работе (ДАН. 1991. Т. 316, № 1 ) исследованы спектральные свойства задачи Франкля для оператора Лаврентьева – Бицадзе, т.е. найдены все с.з. и построены в явном виде соответствующие с.ф. спектральной задачи и решение самой задачи Франкля построено в виде суммы биортогонального ряда по с.ф. соответствующей спектральной задаче ( разработан аналог метода Фурье).

Рассмотрим уравнение типа Чаплыгина

, (12)

где в прямоугольной области (см. рис. 6).


Рис.6.

Задача Дирихле (аналог обобщенной задачи Трикоми). Найти решение уравнения (12) удовлетворяющее условиям:

, ,

, , .



В нашей работе (ДАН, 2007, Т. 413, № 1) установлен критерий единственности решения этой задачи, а само решение построено в виде суммы ряда Фурье. При обосновании существования решения возникла проблема малых знаменателей относительно параметра .

Результаты исследований опубликованы в более 190 научных работах, большинство которых изданы в журналах «ДАН», «Дифференциальные уравнения», «Математические заметки», «Успехи математических наук», «Известия РАН», «Известия вузов. Математика», которые переиздаются за рубежом. Среди них 3 учебных пособия:

1) Уравнения математической физики. М.: Высшая школа. 2003. 255 с.,

2) Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Высшая школа. 2005. 671 с.,

3) Основные элементарные функции. М.: Высшая школа. 2010. 171 с.,

и научная монография

4) К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Уфа: Гилем. 2006. 155 с.

Представлена в издательство «Наука» новая монография «К теории уравнений смешанного типа» с объемом 296 с.

Руководитель научных грантов ГНТП РБ (1996 – 2011 гг.), МО РФ по фундаментальным исследованиям в области математики (1998 - 2000 гг.), проектов РФФИ (1999 - 2001 гг., 2002 - 2004 гг., 2008 - 2009 гг., 2011 г.).

^ Подготовка научных кадров


Под моим руководством функционирует научный семинар по теории дифференциальных уравнений, на котором регулярно обсуждаются работы аспирантов, кандидатские и докторские диссертации. Из участников семинара более 50 человек закончили аспирантуру, из них 40 успешно защитили кандидатские и докторские диссертации.

Подготовлены следующие научные кадры:


Стерлитамак

1.Лазаренко Л.А.

2.Исянгильдин А.Х.

3.Вагапов В.З.

4.Дорофеев А.В.

5.Гималтдинова А.А.

6.Биккулова Г.Г.


7.Акимов А.А.

8.Ильясов Р.Р.

9.Идрисов Р.Г.

10.Турмыева Ю.К.

11.Хасанова С.Л.

12.Шмелева Н.Г.


13.Рахманова Л.Х.

14.Трегубова А.Х.

15.Чиганова Н.В.

16.Шустрова Н.В.

17.Сафин Э.М.


18. Кучкарова А.Н. (Уфа)

19. Хабибуллин К.Я. (Салават)

20.Мугафаров М.Ф. (Ишимбай)


21.Сидоренко О.Г. (Надым)


Самара

22.Юсупова О.В.

23.Бушков С.В.

24.Куликова Н.А.


25.Фадеева О.В.

26. Барова Е.А.


27.Егорова И.П.

28.Скороход А.В.


Защитившие докторские диссертации

Репин О.А. (Самара), Кризский В.Н. (Стерлитамак), Раджабова Л.Н. (г. Душамбе);

Мустафина С.А., Михайлов П.Н., Кожевникова Л.М. (Стерлитамак).

Аспиранты

1.Вагапова Э.В.

2.Хаджи И.А.

3.Удалова Г.Ю.


4.Мартемьянова Н.В.

5.Мелишева Е.П.


6.Зарубина Л.В.

7.Наумов О.Ю.

8.Юнусова Г.Р.



Соискатели на степень доктора наук

Капустин Н.Ю., Мансурова Е.Р., Дорофеев А.В., Гималтдинова А.А.

^ Научно-организационная деятельность,

внедрение результатов в образование

За годы деканства (1992–2007 гг.) по моей инициативе впервые в истории СГПА на базе физико-математического факультета открыта аспирантура по 5-ти специальностям: 01.01.02, 01.02.05, 01.04.14, 05.13.18, 13.00.02; открыты новые университетские специальности:

  • прикладная математика и информатика,

  • математическое обеспечение и администрирование информационных систем,

  • физика со специализациями химическая физика и оптоволоконная связь;

открыты и созданы 5 новых кафедр:

  • информатики и вычислительной техники,

  • прикладной математики и механики,

  • математического моделирования,

  • теории и методики обучения математике,

  • теории и методики обучения физике.


В 2003 году открыт Совет К 212.315.01 по защите кандидатских диссертаций по двум специальностям: 01.01.02 – дифференциальные уравнения; 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. На данном Совете проведено 40 успешных защит кандидатских диссертаций из разных городов РФ: Стерлитамак, Уфа, Самара, Москва, Новосибирск, Челябинск, Магнитогорск.

В 1996 году в г. Стерлитамаке на базе вузов и крупных химических и нефтехимических заводов был открыт Стерлитамакский филиал Академии наук Республики Башкортостан (СФ АН РБ) в составе 5 отделов и 24 научных лабораторий. В 2009 году СФ АН РБ реорганизован в Институт прикладных исследований АН РБ.

За последние 15 лет было организовано 48 научных конференций и семинаров разного уровня, некоторые из них:

  1. Всероссийская научная конференция «Физика конденсированного состояния» (Стерлитамак, 1997).

  2. Международная научная конференция «Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы» (Стерлитамак, 1998).

  3. Всероссийская научная конференция «Проблемы изучения и преподавания филологических наук» (Стерлитамак, 1999).

  4. Международная научная конференция «Химия и химические технологии – настоящее и будущее» (Стерлитамак, 1999).

  5. Региональная научно – практическая конференция «Интеграция науки, образования и производства в южном регионе РБ» (Салават, 2011).

  6. Международная научная конференция «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (Стерлитамак, 2003).

  7. Всероссийская научная конференция «Современные проблемы физики и математики» (Стерлитамак, 2004).

  8. Всероссийская научно-практическая конференция «Современные проблемы химии, химической технологии и экологической безопасности» (Стерлитамак, 2004).

  9. Всероссийская научная конференция «Башкирская филология: история, современность, перспективы» (Стерлитамак, 2005).

  10. Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы химической технологии и подготовки кадров» (Стерлитамак, 2006).

  11. Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2008).

  12. Всероссийский научно-практический семинар «Энергосбережение на предприятиях промышленности и жилищно-коммунального хозяйства» (Стерлитамак, 2009).

  13. Всероссийская научно-практическая конференция «Энергоэффективность и энергобезопасность на предприятиях промышленности и жилищно-коммунального хозяйства» (Салават, 2010).

  14. Всероссийская научная конференция «Медико-генетические проблемы онкологических заболеваний» (Стерлитамак, 2010).


По итогам работы конференций изданы сборники научных трудов.


Спасибо за внимание!







Скачать 138,25 Kb.
оставить комментарий
Дата28.09.2011
Размер138,25 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх