Аналитическое исследование вынужденных крутильных колебаний…
| скачать Аналитическое исследование вынужденных крутильных колебаний… УДК 621.01:534.1 И.И. ВУЛЬФСОН АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИВОДОВ ЦИКЛОВЫХ МАШИН РАЗВЕТВЛЁННО-КОЛЬЦЕВОЙ СТРУКТУРЫ 1. Введение В работе [1] приведена методика частотного и модального анализа приводов многосекционных цикловых машин, в которых каждая секция схематизирована в виде колебательной системы кольцевой структуры, связанной в нескольких сечениях с главным валом машины. Секции привода представляют собой конструктивно и динамически идентичные повторяющиеся модули и образуют вместе с главным валом реономную колебательную систему разветвленно-кольцевой структуры, обладающую регулярными или квазирегулярными свойствами. Использование многократно дублированных цикловых механизмов преследует цель повышения жесткости и уменьшения динамических ошибок кинематических характеристик длинных исполнительных органов, используемых во многих технологических машинах при повышенной протяженности зоны обработки изделия. Однако, как показано в работе [2], при наличии зазоров увеличение числа механизмов может вызвать отрицательный динамический эффект, что во многих случаях оправдывает переход от приводов кольцевой структуры к приводам разветвленно-кольцевой структуры. Это также приводит к облегчению условий сборки и к реализации современных тенденций конструирования с использованием модульного принципа создания машин на базе унифицированных узлов. Динамический анализ таких систем оказывается более сложным по сравнению с системами кольцевой структуры из-за разрывов динамических связей на исполнительном органе каждого из модулей. В данной статье разработана методика аналитического исследования вынужденных колебаний подобных систем. ^ Исследуемая динамическая модель (рис. 1) в основном идентична рассмотренной в работе [1] и отличается от неё наличием вынуждающих моментов, а также учётом диссипативных характеристик, которыми ранее при частотном и модальном анализе можно было пренебречь. В рамках данной статьи ограничимся рассмотрением квазигармонических колебаний. В этом случае для учета конструкционного демпфирования воспользуемся представлением коэффициента жесткости в комплексном виде, предложенного Е.С. Сорокиным [3]. При этом  ,   ;  , где  – соответствующие коэффициенты жесткости;   – коэффициенты рассеяния;  . Кроме того, примем следующие условные обозначения:  – моменты инерции,  – кинематический аналог циклового механизма ( – функция положения);  – номинальная угловая скорость главного вала. В качестве обобщенных координат примем динамические ошибки главного вала  и исполнительного органа  , где  – абсолютные угловые координаты инерционных элементов главного вала и исполнительного органа,  – номер сечения,  . При беззазорном контакте в кинематических парах и относительно малых динамических ошибках произведем линеаризацию функции положения  в окрестности программного движения: ,где штрих отвечает дифференцированию по  .
Оговаривая малость динамических ошибок, следует иметь в виду, что ускорения и нагрузки, вызванные этими ошибками, могут быть соизмеримыми, а во многих случаях – существенно превосходить соответствующие характеристики, возникающие за счет программного движения. Поэтому относительно малые значения  свидетельствуют лишь о приемлемой кинематической точности, но ни в коем случае не оправдывают игнорирование возбуждаемых колебаний при динамических расчетах (подробнее см. [4,5]).^ Одна из специфических особенностей цикловых механических систем состоит в том, что наиболее существенным возмущающим фактором является программное движение исполнительного органа. Чаще всего основными частотами гармонического кинематического возбуждения являются частоты и  , связанные с моментом инерционных сил переносного движения исполнительного органа  и трансформацией этого момента при приведении к главному валу  . Обычно низшие собственные частоты существенно выше этих частот, поэтому сначала проанализируем колебания под воздействием возмущения, возникающего от технологических и других сил, частота которых может быть соизмерима со спектром «собственных» частот. При этом следует иметь в виду, что спектр «собственных» частот является медленно меняющимися из-за переменности первой геометрической передаточной функции, которую примем в виде  .Выделим в динамической модели модуль  , ограниченный штриховой линией. Введем в рассмотрение следующие функции:   , где  – элементы первой строки, а  – элементы второй строки матрицы перехода циклового механизма [4]. В частности, если цикловой механизм образован последовательным соединением элементов  , то    , где  –номер гармоники (см. ниже). В каждом модуле  есть три характерных сечения:  («вход» – первый механизм),  (второй механизм),  («выход»). Пусть к исполнительному органу в сечениях и приложен периодический вынуждающий момент  , который представим в виде ряда Фурье
где    .Как уже отмечалось, строго говоря, параметры колебательной системы являются переменными, однако при отмеченных особенностях спектра «собственных» частот можно усреднить функцию  на периоде  . Некоторые уточнения будут обсуждены ниже.Далее запишем для гармоники матричную зависимость, устанавливающую связь между комплексными векторами состояния в сечениях и :
где  – комплексные амплитуды колебаний и моментов в соответствующих сечениях главного вала ( ) и исполнительного органа ( );  – матрица перехода (индекс здесь и ниже опущен).Здесь
где  соответствует передаточному механизму, а  – упруго-диссипативным характеристикам данного участка главного вала и исполнительного органа (инерционные характеристики включены в матрицу в качестве приведенных дополнительных составляющих моментов инерции  и  ).К двум инерционным элементам рассматриваемого модуля исполнительного органа приложены моменты  . Тогда с учетом правила знаков имеем:  ,  . (В целях упрощения индексации номер сечения показан как аргумент функции). Отсюда на основании (2), (3) имеем
где  – соответствующие элементы матрицы перехода  .На основании (2)–(4) исключим амплитудные функции колебаний и нагрузок исполнительного органа, после чего получаем следующие матричные рекуррентные зависимости:
где       .Матрица перехода от сечения до имеет вид
Зависимости (5) и (6) определяют матрицу перехода для главного вала в границах одного модуля:
где  .Относительно сечений рассматриваемая система имеет разветвленную структуру, а замкнутый контур отвечает лишь внутренней структуре каждого модуля.^ Рекуррентная зависимость (7) является матричной формой неоднородной системы разностных уравнений, решение которой может быть представлено в виде
Здесь  ;  ;  – комплексная амплитуда в сечении  ;  – динамическая жесткость на «входе» регулярной части системы (в общем случае функция  может иметь более сложный вид и включать характеристику двигателя и передаточных механизмов привода).Для определения воспользуемся граничным условием  (отсутствие момента на конце главного вала). Используя (8), запишем
Отсюда
Здесь и ниже   отвечает соответствующему элементу матрицы  .На основании (8) и (9) при заданной частоте  определяются комплексные значения амплитуд колебаний и нагрузок главного вала в сечениях («выход» модуля ). Соответствующие амплитуды в промежуточных сечениях теперь легко найти с помощью зависимости (6):
Более точный способ описания форм колебаний и учета граничных условий основан на использовании свойств регулярных колебательных систем [4, 5, 6]. Введем в рассмотрение следующие функции:  (SpU – след матрицы U); при   ,  ; при    , ; при    . Тогда решение неоднородного разностного уравнения может быть представлено как
где  – медленно меняющиеся функции, определяемые из граничных условий.Учёт граничных условий приводит к следующей системе алгебраических уравнений относительно  и  :
Отсюда
где      ;  .Итак, зависимости, определяющие амплитудные значения для всех характерных сечений главного вала получены. Тем самым задача сведена к анализу амплитуд вынужденных колебаний исполнительного органа на каждом выделенном модуле . На основании (2) при учете (8) получаем
Полученные амплитудные значения являются комплексными величинами, модуль которых  определяет амплитудно-частотную характеристику, а аргумент – фазочастотную характеристику.Для иллюстрации разработанной методики расчета примем следующие исходные данные:     ;  (ввиду малых значений коэффициентов демпфирования  модуль комплексной жесткости практически совпадает с коэффициентом жесткости соответствующего элемента);  – число модулей.Форма колебаний в зависимости от  может описываться как тригонометрическими, так и гиперболическими функциями (см. выше). На рис. 2 приведены графики функции  , устанавливающие границы соответствующих областей. Как уже отмечалось, при  форма тригонометрическая, а при  – гиперболическая. Сплошные линии графиков отвечают  , а штриховые –  . Кривые 1, 2, 3 соответствуют  .  Рис. 2. Области существования тригонометрических и гиперболических форм колебаний Как следует из приведенного выше графика, при медленном изменении параметров за счет переменности геометрических характеристик механизмов в определенном частотном диапазоне возможны не только количественные, но и качественные изменения форм колебаний. С уменьшением  форма колебаний приближается к традиционному тригонометрическому виду..  Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики главного вала  Рис. 4. Амплитудно-частотные характеристики исполнительного органа На рис. 3 и рис. 4 приведены нормированные амплитудно-частотные характеристики   , полученные на основании (12), (13), (14) (номер кривой отвечает значению ). Таким образом, функции  равны амплитуде вынужденных колебаний в соответствующем сечении, отнесенной к «статической» амплитуде ( ) в том же сечении. Как следует из графиков, наиболее сильное возбуждение имеет место в окрестности парциальной частоты исполнительного органа  . При определении абсолютных значений амплитуд следует иметь в виду, что статическая амплитуда длинных главных валов может существенно возрастать по мере удаления от входного сечения, т.е. с увеличением номера s. Поэтому расчёту колебаний должна предшествовать оценка деформаций привода под действием кинетостатических нагрузок. ^ приводных цикловых механизмов Выше при определении амплитуд вынужденных колебаний были использованы усредненные значения первой геометрической передаточной функции  . Как показано в [4], если по сравнению с внешним возмущением является медленно меняющейся функцией (т.е. ωm >> ω), по существу, не происходит сколько-нибудь заметной частотной трансформации рассматриваемой гармоники. Учет переменности в подобных случаях приводит лишь к амплитудной модуляции колебаний, напоминающей режим биений, и к некоторому «размыванию» резонансных пиков.Рассмотрим случай, когда функция и вынуждающий момент имеют соизмеримые частоты. Такая ситуация обычно возникает, если возмущение вызвано силами инерции переносного движения при полнооборотном вращении входного звена. Тогда при  условия гармонического баланса соблюдаются при матрице перехода
При этом переход через элемент сопровождается не только амплитудной, но и частотной трансформацией, а также замещением синусоидальных членов косинусоидальными и наоборот, что отвечает фазовым сдвигам на  . Рис. 5. Амплитудно-частотные характеристики главного вала при кинематическом возбуждении на частоте вращения  Рис. 6. Амплитудно-частотные характеристики исполнительного органа при кинематическом возбуждении на частоте вращения главного вала При применении матриц перехода рассматриваемого вида следует иметь в виду, что частота возбуждения на ведущей части в два раза превышает частоту на ведомой. При достаточном удалении частот и от резонансных зон вынужденные колебания по этим гармоникам близки к статической деформации под действием кинетостатической нагрузки. В подобных случаях частотная трансформация не столь существенна. Так, например, при отношении к низшей «собственной» частоте меньше, чем 1/8, разница в коэффициентах динамичности по частотам и не превышает 5%. Использование матрицы перехода (15) в зависимостях (2), (3) приводит к коррективам функции  , в которой теперь вместо следует подставить . При этом нормированные амплитудно-частотные характеристики отображаются графиками, приведенными на рис. 5 и рис. 6 (нумерация кривых соответствует номеру модуля ). Как следует из графиков, резонансные зоны по сравнению с ранее приведенными результатами смещаются к меньшим значениям .Работа выполнена при поддержке ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы». ^
Поступила в редакцию 02.06.2008 Теория Механизмов и Машин. 2008. №2. Том 6.
|
,
,
.
,
.
.
.
,
.
,
.
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 