Лекция №17 Обобщенные функции Вразличных вопросах анализа термин «функция» icon

Лекция №17 Обобщенные функции Вразличных вопросах анализа термин «функция»


Смотрите также:
Понятие функции одного переменного и способы задания функций...
Тематическое планирование по теме: «Функция»...
Лекция: Использование функций...
Несчетность множества арифметических функций. Вычислимые арифметические функции...
Лекция 20. Производная и дифференциал функции нескольких переменных...
Лекция Опорно-двигательная система (одс)...
Психологическое здоровье семьи как ее жизненно важная функция...
Лекция 13. Исследование функции, график функции...
I. деньги, денежное обращение и денежная система тема 1 Сущность и функции денег...
Курсовая работа на тему : «Дзета-функция Римана»...
2. 1: Определение функции. Область определения. Образ множества. Область значений функции...
Н. В. Кротов Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского...



Загрузка...
скачать
Лекция № 17


Обобщенные функции


В различных вопросах анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз, и т.д. В ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле как произвольное правило, относящее каждому значению из области определения этой функции некоторое число , оказывается недостаточным. Вот примеры.

  1. Распределение масс вдоль прямой удобно задавать плотностью этого распределения. Однако если на прямой существуют точечные массы, то плотность такого распределения не может быть описана никакой обычной функцией.

  2. Применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, мы сталкиваемся с невыполнимостью некоторых операций. Например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках, или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как обычно, т.е. как «обычную» функцию. Затруднений такого типа можно избежать, ограничиваясь рассмотрением одних только аналитических функций, что нежелательно.

Подобные затруднения, однако, были преодолены путем не сужения, а существенного расширения понятия функции. Основой для введения соответствующих определений нам служит понятие сопряженного пространства, рассмотренного выше.

Введение обобщенных функций (или распределений, по терминологии Л. Шварца) было вызвано не стремлением к возможно большему расширению понятий анализа, а совершенно конкретными задачами. В физике обобщенные функции использовались (на интуитивном уровне) до того, как была построена строгая математическая теория обобщенных функций.

Прежде чем переходить к точным определениям, изложим основную идею построения. Пусть – фиксированная функция на прямой, интегрируемая на каждом конечном интервале, и пусть – непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала (такие функции называются финитными). Каждой такой функции можно с помощью фиксированной функции сопоставить число

. (1)

Фактически, в силу финитности интеграл берется по некоторому конечному интервалу. Иначе говоря, функцию можно рассматривать как функционал (линейный, в силу свойств интеграла) на некотором пространстве финитных функций. Однако функционалами вида (1) не исчерпываются все функционалы, которые можно ввести на таком пространстве. Например, .

Таким образом, функции естественным образом включаются в некоторое более широкое множество – совокупность всех линейных функционалов на финитных функциях.

Запас функций можно выбирать различным образом; например, можно ограничиться непрерывными финитными функциями. Однако разумно подчинить допустимые функции , помимо непрерывности и финитности, еще и достаточно жестким условиям гладкости.

Теперь перейдем к точным определениям.

Пространство основных функций. Рассмотрим на прямой совокупность всех финитных функций , имеющих непрерывные производные всех порядков, причем интервал, вне которого функция равна нулю, может быть различным для различных . Совокупность всех таких функций образует, очевидно, линейное пространство с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа. Введем понятие сходимости в этом линейном пространстве.

Определение 1. Последовательность элементов из называется сходящейся к функции , если

  1. Существует (общий!) интервал, вне которого все равны нулю.

  2. Последовательность производных порядка сходится на этом интервале равномерно (по ) к функции (равномерность по различным не предполагается).

Линейное пространство с этой сходимостью мы будем называть пространством основных функций, а его элементы – основными функциями.

Нетрудно описать топологию в , которой подчиняется сходимость, сформулированная в определении 1. Эта топология порождается системой окрестностей нуля, каждая из которых задается конечным набором непрерывных положительных функций и состоит из тех принадлежащих функций, которые при всех удовлетворяют неравенствам:

.

Необходимо доказать, что этой топологии действительно подчиняется описанная в определении 1 сходимость. (Докажите это!).

Обобщенные функции.

Определение 2. Обобщенной функцией, заданной на прямой , называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций . При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что , если последовательность основных функций сходится при к основной функции (в смысле определения 1).

Любая интегрируемая на любом конечном интервале функция порождает некоторую обобщенную функцию

. (1)

Это выражение есть линейный непрерывный функционал на . Такие обобщенные функции мы в дальнейшем будем называть регулярными, а все остальные, т.е. не представимые в виде (1)сингулярными.

Приведем некоторые примеры сингулярных обобщенных функций.

Пример 1. «-функция», или функция Дирака:

.

Это – линейный непрерывный функционал на , т.е. по введенной выше терминологии, обобщенная функция. Этот функционал обычно записывают в виде

, (2)

понимая под «функцию», равную нулю при всех и обращающуюся в точке в бесконечность так, что

.

Мы уже рассматривали ранее -функцию как функционал на пространстве всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке. Но рассмотрение -функции как функционала на имеет преимущества, например, позволяет для нее ввести понятие производной.

Пример 2. «Смещенная -функция». Пусть

.

Этот функционал естественно записать по аналогии с обозначением (2) в виде

.

Пример 3. «Производная -функции». Каждой поставим в соответствие число . Далее мы выясним, почему этот линейный функционал естественно считать производной функционала, указанного в примере 1.

Пример 4. Рассмотрим функцию . Она не интегрируема ни на каком интервале, содержащем точку . Однако для каждой интеграл



существует и конечен в смысле главного значения. Действительно, главное значение по Коши имеет вид:

.

Сделав замену переменных на , получим

,

где интеграл сходится уже абсолютно. Полученный функционал линеен и непрерывен.

Можно показать, что ни одна из приведенных в примерах 1 – 4 обобщенных функций не является регулярной.

^ Действия над обобщенными функциями. Для обобщенных функций, т.е. линейных непрерывных функционалов на , определены операции сложения и умножения на числа. При этом для регулярных обобщенных функций, т.е. «обычных» функций, сложение их как обобщенных функций (т.е. как линейных функционалов) совпадает с обычной операцией сложения функций.

Введем в пространстве обобщенных функций операцию предельного перехода.

Определение 3. Будем говорить, что последовательность обобщенных функций сходится к обобщенной функции , если для любого выполнено соотношение

при .

Пространство обобщенных функций с этой сходимостью обозначим через .

Если – бесконечно дифференцируемая функция, то естественно определить произведение на обобщенную функцию формулой

( ).

Все эти операции – сложение, умножения на числа и на бесконечно дифференцируемые функции – непрерывны в топологии пространства , или в смысле сходимости в (в смысле определения 1!).

Произведение двух обобщенных функций не вводится.

Примечание. Примеры, показывающие невозможность «естественных» нелинейных операций в пространстве обобщенных функций, построены в [16].

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства.

Пусть сначала – функционал на , определяемый некоторой непрерывно дифференцируемой функцией :

.

Его производной естественно назвать функционал , определяемый формулой

.

Интегрируя по частям и учитывая, что каждая основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, имеем:

.

Таким образом, мы получили для выражение, в котором производная функции не участвует. Эти соображения подсказывают определение.

Определение 4. Производной обобщенной функции называется функционал, определяемый формулой

.

Ясно, что функционал, определяемый этой формулой, линеен и непрерывен, т.е. представляет собой обобщенную функцию. Аналогично определяются вторая, третья и т.д. производные. Обозначая обобщенную функцию символом , мы будем обозначать ее производную символом .

Непосредственно из определения производной обобщенной функции вытекает справедливость следующих утверждений.

  1. Любая обобщенная функция имеет производные любого порядка, т.е. бесконечно дифференцируема.

  2. Если последовательность обобщенных функций сходится к обобщенной функции (в смысле определения сходимости обобщенных функций), то последовательность производных сходится к производной предельной функции. То же самое верно и для производных любого порядка.

Это равносильно тому, что всякий сходящийся ряд, составленный из обобщенных функций, можно дифференцировать почленно любое число раз.

Пример 5. Если – регулярная (т.е. обычная) функция, производная которой существует и непрерывна, то производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле.


Пример 6. Пусть – функция Хевисайда, т.е.



Эта функция определяет над линейный функционал

.

В соответствии с определением производной обобщенной функции имеем:

.

Таким образом, обобщенная производная функции Хевисайда есть -функция.

Пример 7. Из примеров 5 и 6 ясно, что если – регулярная функция, имеющая в точках скачки и дифференцируемая (в обычном смысле) в остальных точках, то производная от нее (как от обобщенной функции) представляет собой сумму обычной производной (в тех точках, где она существует) и выражения вида

.

Пример 8. Применив определение производной к -функции, получим, что эта производная представляет собой функционал, принимающий на каждой функции значение .

Пример 9. Рассмотрим ряд

. (3)

Его суммой служит функция, имеющая период и определяемая на отрезке формулами



Обобщенная производная от нее равна

. (4)

Это – некоторая обобщенная функция (применяя ее к любой финитной функции , мы всегда будем получать лишь конечное число отличных от нуля слагаемых). С другой стороны, дифференцируя ряд (3) почленно, мы получаем расходящийся ряд

.

Однако в смысле сходимости обобщенных функций этот ряд сходится (к выражению (4)).

Приведем пример функции из , т.е. основной функции.

(5)

Эта функция финитна и бесконечно дифференцируема.

Утверждение 1. Пусть и – две различные непрерывные (а следовательно и локально интегрируемые) функции. Тогда существует такая функция , что

.

Доказательство. Положим . Если – не тождественно равна нулю, то существует такое, что . В силу непрерывности найдется интервал , содержащий точку , такой, что сохраняет знак на этом интервале. Тогда взяв функцию (5), имеем:

.

Таким образом, пространство (т.е. запаса основных функций ) достаточно для различения любых двух непрерывных функций.

^ Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций. Дифференциальные уравнения – одна из основных областей, где применяется теория обобщенных функций. Именно задачи, связанные с уравнениями, стимулировали развитие этой теории. В основном обобщенные функции применяются к уравнениям в частных производных.

Начнем с простейшего уравнения

,

(где – обобщенная функция), т.е. с задачи восстановления функции по ее производной. Начнем со случая, когда .

Теорема 1. Только константы служат решениями (в классе обобщенных функций) уравнения

. (6)

Доказательство. Уравнение (6) эквивалентно уравнению

(7)

для любой основной функции . Но тем самым функционал уже задан на совокупности тех основных функций, которые могут быть представлены как производные от других основных функций. Теперь необходимо выяснить, какими способами функционал может быть продолжен с совокупности на всё основное пространство .

Легко проверить, что основная функция может быть представлена как производная от некоторой основной функции тогда и только тогда, когда выполняется условие

. (8)

Действительно, если , то

.

С другой стороны, при выполнении условия (8) мы полагаем

.

Легко убедится в том, что есть основная функция, так как она вместе с бесконечно дифференцируема и финитна в силу условия (8).

Пусть теперь – фиксированная основная функция, обладающая свойством

.

Для любой основной функции можно написать равенство

,

где очевидно удовлетворяет условию (8). Отсюда видно, что если задать значение искомого функционала на основной функции , то значение его на любой функции будет определено однозначно:

,

откуда

,

т.е. обобщенная функция есть постоянная , что и утверждалось. Теорема доказана.

Следствие 1. Если для двух обобщенных функций и выполнено равенство , то .

Рассмотрим теперь уравнение

, (9)

где – обобщенная функция.

Теорема 2. Уравнение (9) при любом имеет решение . Это решение естественно назвать первообразной обобщенной функции , или неопределенным интегралом.

Доказательство. Уравнение (9) означает, что



для любой основной функции . Это равенство определяет значение функционала на всех основных функциях из , являющихся производными основных функций:

.

Используем теперь полученное выше представление любой функции в виде

, где и .

Полагая , мы тем самым доопределили функционал на всем , т.е.

.

Этот функционал линеен и непрерывен, и удовлетворяет уравнению (9). Действительно,

.

Таким образом, для любой обобщенной функции существует решение уравнения (9). В силу теоремы 1 первообразная определена с точностью до постоянного слагаемого.

Обобщения. Выше мы рассматривали обобщенные функции «одного действительного переменного», т.е. обобщенные функции на прямой. На основе тех же идей можно ввести обобщенные функции на ограниченном множестве (на отрезке, на окружности, и т.д.), обобщенные функции нескольких переменных, обобщенные функции комплексного аргумента.

Рассмотрим вкратце некоторые из указанных типов обобщенных функций.

^ Функции нескольких переменных. Рассмотрим в -мерном пространстве совокупность функций , имеющих частные производные всех порядков по всем аргументам и таких, что каждая из этих функций равна нулю вне некоторого параллелепипеда

,

Совокупность представляет собой линейное пространство (с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа), в котором сходимость можно определить следующим образом: будем говорить, что последовательность элементов из сходится к , если

(1) Существует такой параллелепипед , , вне которого каждая из функций равна нулю;

  1. При имеет место равномерная сходимость

, (),

для каждого фиксированного набора целых неотрицательных чисел .

Линейное пространство с указанной сходимостью, как и выше, назовем пространством основных функций.

Обобщенной функцией переменных называется любой линейный непрерывный функционал на .

Всякая «обычная» (т.е. локально интегрируемая в ) функция есть в то же время и обобщенная функция, так как она порождает линейный непрерывный функционал по формуле

, где , .

Как и в одномерном случае, различные непрерывные функции определяют различные функционалы, т.е. различные обобщенные функции.

Для обобщенных функций переменных понятие предельного перехода, производной и т.д. вводятся аналогично одномерному случаю. Например, частные производные обобщенной функции вводятся формулой

,

где используются следующие обозначения:

, .









Скачать 124,84 Kb.
оставить комментарий
Дата15.10.2011
Размер124,84 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх