Исследование собственных колебаний струны методом резонанса Методические указания к лабораторной работе №7 (раздел «Механика») Ростов-на-Дону 2010

скачать ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ФИЗИКИ Исследование собственных колебаний струны методом резонанса Методические указания к лабораторной работе № 7 (раздел «Механика») Ростов-на-Дону 2010 Составители: С.М. Максимов, А.Я. Шполянский, Н.В. Пруцакова УДК 530.1 Исследование собственных колебаний струны методом резонанса: Метод. указания. - Ростов н/Д: Издатель­ский центр ДГТУ, 2010. - 10 с. Указания содержат краткую теорию по стоячим волнам и колебаниям струны и порядок выполнения лабораторной работы. Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы студентами всех форм обучения в лабораторном практикуме по физике (раздел «Механика»). Печатается по решению методической комиссии факультета «Н и КМ» Научный редактор проф., д.т.н. В.С. Кунаков © С.М. Максимов, А.Я. Шполянский, Н.В. Пруцакова, 2010 © Издательский центр ДГТУ, 2010 Лабораторная работа № 7 ^ Цели работы: получение на вертикальной струне стоячих волн, наблюдение картины распределения амплитуд и количественная проверка формулы для частот собственных колебаний струны. Стоячие волны Две когерентные и одинаковые по интенсивности волны, распространяющиеся навстречу друг другу, при определенных условиях могут создавать особого вида интерференционную картину, получившую название стоячих волн. Интерференция – сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором в разных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды результирующей волны. Интерференция возможна только для когерентных волн. Когерентность – согласованное во времени и пространстве протекание колебательных или волновых процессов. Стоячая волна представляет собой периодическое колебание с характерным пространственным распределением амплитуды – чередованием пучностей (максимумов амплитуды) и узлов (нулей амплитуды). Такая картина может возникать всякий раз, когда волна падает на хорошо отражающую преграду. Когерентность обеспечивается тем, что обе волны представляют собой раннюю и позднюю части одной и той же волны. Стоячие волны могут устанавливаться только при отсутствии затухания в среде и при полном отражении от границ. Найдем уравнение стоячей волны, а также координаты ее узлов и пучностей. Пусть стоячая волна возникла при наложении двух встречных бегущих волн с одинаковыми скоростями , циклическими частотами и амплитудам Уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, имеют вид: ; здесь и - смещения точки среды с координатой х в момент времени t, вызванные соответственно падающей и встречной волной. Сложив уравнения и учитывая, что волновое число k связано с длиной волны : , получим уравнение стоячей волны: . (1) Из (1) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с той же частотой , что и у встречных волн, но с амплитудой, зависящей от координаты х рассматриваемой точки. В пучностях амплитуда стоячей волны максимальна и равна сумме амплитуд складываемых колебаний , поэтому координаты пучностей определим из условия: . (2) В узлах амплитуда стоячей волны равна нулю, и координаты узлов определим из условия: (3) То есть в стоячей волне некоторые точки среды (пучности) колеблются с максимальной амплитудой, а некоторые точки (узлы) остаются неподвижными в течение всего колебательного процесса; остальные точки среды совершают колебания с некоторыми промежуточными амплитудами. Можно видеть, что расстояние между соседними пучностями, как и расстояние между соседними узлами, равно . Расстояние между соседними пучностью и узлом равно (рис.1). Множитель в уравнении стоячей волны при переходе через узел меняет знак, поэтому между двумя соседними узлами все точки среды колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на , то есть колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе (рис.1). Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (рис.1,а), если более плотная – узел (рис.1,б). Отражаясь от более плотной среды, волна меняет свою фазу на противоположную и результат сложения этих колебаний дает узел (пример: в месте закрепления колеблющейся веревки получается узел). Этот факт принято называть «потерей полуволны». Рис. 1. График стоячей волны. На рисунке: – амплитуда стоячей волны, - длина волны, х – направление распространения. Отражаясь от менее плотной среды, волна не меняет фазы в месте отражения, поэтому потери полуволны не происходит; фазы падающей и отраженной волн одинаковы. В этом случае в результате сложения колебаний одинаковых фаз получается пучность (пример: свободный конец колеблющейся веревки образует пучность). Как известно, бегущая волна в направлении ее движения переносит энергию колебательного движения. ^ Стоячая волна энергию не переносит, поскольку падающая и отраженная волны, имея одинаковые амплитуды, несут одинаковую энергию, но в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, с течением времени остается неизменной. Только в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Колебания струны В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении произвольного поперечного возмущения может возникать стоячая волна. При этом на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: концы струны должны быть узлами стоячей волны. Это означает, что на длине струны укладывается целое число полуволн (рис. 2). Отсюда вытекает условие: (4) или Этим длинам волн соответствуют частоты (5) где - фазовая скорость распространения бегущей волны в струне, которая может быть вычислена как . (6) Здесь - сила натяжения струны; - линейная плотность струны, то есть масса единицы длины струны, вычисляется через объемную плотность струны по формуле:; - площадь поперечного сечения струны. Таким образом, фазовая скорость бегущей волны вычисляется по формуле (7) и выражение для частоты стоячей волны приобретает вид . (8) Частоты называются собственными частотами струны, а соответствующие им гармонические колебания – собственными колебаниями, или гармониками. Частота называется основной частотой, а остальные частоты – обертонами. Рис. 2. Распределение амплитуд отдельных точек струны при собственных колебаниях струны для различных значений . В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию (наложение) различных гармоник. В струне можно возбудить колебания, соответствующие одной из собственных частот. В этом случае мы будем иметь условие резонанса струны. ^ Приборы и принадлежности: вертикальная стойка со струной, электромагнитный вибратор, источник напряжения, разновесы. В работе исследуются колебания натянутой медной струны (гибкой однородной нити). Схема экспериментальной установки представлена на рис. 3. Внешнее периодическое воздействие на струну 1 осуществляется в верхней ее точке, где конец струны прикреплен к якорю электромагнитного вибратора 2. Электромагнитный вибратор питается от сети переменным током частотой 50 Гц. К нижнему концу струны прикреплена чашка весов 4, а сама струна пропущена через отверстие малого диаметра в пластинке 3, которая может перемещаться вверх-вниз вдоль стойки. Если нагрузить чашку весов гирьками и включить в сеть электромагнитный вибратор, то якорь электромагнита начнет совершать колебания с частотой тока сети, и по струне будут распространяться поперечные волны, которые, отражаясь от пластинки 3, образуют встречные волны. При наложении прямой и обратной волны образуются стоячие волны, если выполняется условие: Подбирая длину струны и степень ее натяжения, можно наблюдать образование стоячей волны в струне. Длину струны с установившейся стоячей волной изменяют перемещением вверх-вниз пластинки 3. Силу натяжения F струны изменяют, меняя гирьки в чашке весов 4 (рис. 3). Рис. 3. Схема экспериментальной установки: 1 – струна, 2 – электро-магнитный вибратор, 3 – отражающая пластина, 4 - чашка весов. Как видно из рисунка 3, в данной работе сила натяжения струны равна силе тяжести, действующей на чашку весов с грузом. То есть в формуле (8) , где - масса чашки грузом; , - масса чашки, - масса груза. Таким образом, окончательно расчетная формула для частоты стоячей волны приобретает вид . (9) Измерения Включить питание электромагнитного вибратора. Нагрузить струну () и, изменяя длину струны, добиться устойчивых стоячих волн. Изменяя длину струны, измерить координаты первого, второго и третьего узлов стоячей волны - , и . Повторить эти измерения для четырех других значений , увеличивая через 50 г. Для каждой серии опытов по формуле (4) найти длины волн , а также среднюю длину волны , ее среднюю абсолютную погрешностьи относительную погрешность , где . (10) Для каждой серии опытов, используя среднее значение длины волны , определить частоту колебаний по формуле (9). По формулам (11) и (12) для каждой из этих частот вычислить относительные и абсолютные погрешности: (11) . (12) № m l1 λ1 l2 λ2 l3 λ3 ν Δν - м2 кг м м м м м м м м м м м % с-1 % с-1 1 2 3 4 5 Таблица * Значения S и указаны на установке. Контрольные вопросы Что такое интерференция волн? Как возникают стоячие волны? Какие точки стоячей волны называют узлами? Пучностями? Каковы координаты узлов и пучностей стоячей волны? Переносят ли стоячие волны энергию? По какой формуле находят собственные частоты колебаний струны? Как получить условие резонанса струны? Рекомендуемая литература Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш. школа, 2001. Савельев И.В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – СПб.: Лань, 2006. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Академия, 2008. Скачать 140,76 Kb. оставить комментарий Дата 27.09.2011 Размер 140,76 Kb. Тип Исследование, Образовательные материалы