Методические указания Издательство тпу томск 2010
| скачать ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» _______________________________________________________________________ Б. В. Горячев, С. Б. МогильницкийМеханика. Молекулярная физика. ТермодинамикаМетодические указанияИздательство ТПУ Томск 2010
ПРЕДИСЛОВИЕ При изучении курса физики большое значение придается правильному применению получаемых теоретических знаний, что, в частности, проявляется в умении решать задачи. Этому и посвящено предлагаемое учебное пособие. Содержание и расположение материала в нем соответствует программе курса физики для технических университетов, но этот курс излагается кратко, местами – конспективно. Главная цель – сообщить сведения, важные при решении задач. Изложение материала ведется на основе Международной системы единиц (СИ). Формированию навыков работы с задачами способствует значительное число физических задач, снабженных решениями. После краткого рассмотрения теоретического материала в каждом разделе приводятся примеры решения типовых задач, а также снабженные ответами задачи для самостоятельного решения. Подобный замысел позволяет использовать пособие при проведении семинарских и практических занятий, а также для самостоятельной работы студентов в течение семестра и при подготовке к экзаменам. По каждой теме представлены задачи приблизительно одинаковой степени трудности, предназначенные для самостоятельного решения студентами во время аудиторных занятий. В ответах в основном используются кратные и дольные единицы, образованные от единиц СИ. Для удобства пользования в конце пособия приведены необходимые справочные данные. ^ 1. Вникнув в условие задачи, необходимо выполнить краткую запись ее условия, выразить все данные в СИ. 2. Всякую задачу, требующую вычислений, следует решать не только в числах, но и в общей алгебраической форме, заменяя данные и числовые величины буквенными знаками. Полученные в общем виде более сложные результаты следует по возможности подробно исследовать, выясняя влияние тех или других величин, входящих в условие задачи. 3. Для оценки получаемых результатов для многих числовых задач полезно предварительно попробовать дать приблизительный ответ, проверить правильность его размерности. 4. При числовых расчетах следует приобретать навык в различных приемах сокращенных вычислений. 5. Результаты решений следует проверять, для чего в различных задачах могут служить самые разнообразные приемы. В частности, при проверке числовых расчетов можно повторить вычисления с округленными числами. 6. При решении многих задач полезно по возможности правильно и тщательно делать соответствующие чертежи. 7. Как окончательные результаты решений, так и промежуточные расчеты желательно сохранять, чтобы пользоваться ими в случае надобности при решении других задач.
1.1. Кинематика Механика – это наука о машинах, механических движениях материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними, а также об искусстве построения машин. ^ это изменение с течением времени взаимного положения тел в пространстве. Классическая механика, в основе которой лежат законы Ньютона, изучает движение материальных тел, скорости которых значительно меньше скорости распространения света. Движение тел со скоростями, близкими скорости света, рассматривает релятивистская механика, другое ее название – специальная теории относительности. Скорость света принято обозначать латинской буквой с, в вакууме скорость света с ≈ 3·108 м/с. Рассмотрением движения элементарных частиц занимается квантовая механика. Для описания движения материальных тел вводятся абстрактные понятия, отражающие те или иные реальные свойства тел: 1. Материальная точка – это имеющий массу объект, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. 2. Абсолютно твердое тело – это тело, у которого расстояние между любыми его точками остается постоянным. 3. Абсолютно упругое тело – это тело, которое после прекращения на него внешнего механического воздействия, полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. 4. Абсолютно неупругое тело – это тело, которое после прекращения на него внешнего воздействия остается в деформированном состоянии. 5. Пространство и время. Все тела существуют и движутся в пространстве и во времени. Пространство выражает порядок сосуществования объектов, время – порядок смены явлений. 6. ^ в механике – это совокупность тел отсчета, связанных с ними системы координат и часов, по отношению к которым изучается движение материальных точек или тел. В классической механике свойства пространства описываются геометрией Евклида, а ход времени одинаков во всех системах отсчета. ^ Векторными называются величины, характеризующиеся не только численным значением (модулем), но и направлением. На чертежах векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков со стрелкой на конце. Длина отрезка определяет модуль вектора, стрелка – его направление. В тексте векторы обозначают буквами жирного шрифта или над буквой ставится стрелка. Сложение векторов осуществляется по следующей схеме: начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, результирующий вектор проводится из начала первого в конец последнего. Эта операция называется правилом многоугольника. Умножение векторов производится на скалярную или векторную величину. Перемножение векторов может быть векторным или скалярным. Векторным произведением векторов  и  называется вектор  , определяемый формулой ,где  и  – модули перемножаемых векторов, α – угол между перемножаемыми векторами,  – единичный вектор (его модуль равен единице), направленный перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы-сомножители. Направление вектора , а также и результирующего вектора можно найти по правилу правой руки. Захватив четырьмя сгибаемыми в кулак пальцами сначала умножаемый вектор, а затем тот, на который умножают, по отогнутому большому пальцу определяют направление результирующего вектора. На чертежах векторы, направленные к нам, обозначают точкой ( ), а от нас – крестиком ( ). Скалярное произведение двух векторов и дает скалярную величину с и вычисляется по формуле . Радиус-вектором  некоторой точки А называется вектор, проведенный из выбранного начала координат в данную точку (рис.1). Его проекции на координатные оси равны декартовым координатам данной точки x, y, z . Умножив их на единичные векторы  , вектор можно представить в виде  , а его модуль  . Рис. 1. Разложение радиус-вектора на составляющие вдоль координатных осей Линейные кинематические характеристики Материальная точка при своем движении описывает пространственную кривую, называемую траекторией, иллюстрация движения материальной точки приведена на рис.2. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное или криволинейное движение.  Рис. 2. Траектория и перемещение материальной точки В момент времени t1 координаты точки могут быть определены радиус-вектором  , в момент времени t2 – радиус-вектором  . Пройденное точкой за время t2 – t1 расстояние ΔS, отсчитанное вдоль траектории, называется путь. Прямолинейный отрезок  , соединяющий начальное и конечное положение материальной точки, называют вектором перемещения, он равен  .Заметим, что величина Δ^ , строго говоря, не равна модулю  . Только когда ΔS → 0 , Δr по модулю приближается к ΔS. Средняя скорость движения точки равна v ср = ΔS/(t2 – t1) = ΔS /Δt . Средняя скорость перемещения точки находится как  .^ в момент времени t называется вектор  , равный первой производной по времени от вектора перемещения  ^ направлен по касательной к траектории в сторону движения материальной точки. Вектор скорости можно представить через его проекции на координатные оси  .или через производные по времени от проекций вектора на оси координат .Следовательно, vx = dx/dt, vy = dy/dt , vz = dz/dt , а модуль вектора скорости  .При неравномерном движении скорость изменяется во времени. Изменение скорости в единицу времени называется ускорением. Мгновенное ускорение, т. е. ускорение в данной точке, равно первой производной по времени от скорости:  ,а модуль ускорения  .При криволинейном движении материальной точки вектор ускорения удобно разложить на две составляющие. Одна из них  – тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории движения, а другая  – нормальное или центростремительное ускорение, направленное перпендикулярно к . Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, нормальное – по направлению. Модуль полного ускорения можно найти как  . При этом модуль тангенциального ускорения равен  , где v – скорость, R – радиус кривизны траектории в данной точке. Криволинейную траекторию любой формы можно представить себе как совокупность элементарных участков, каждый из которых рассматривается как дуга окружности некоторого радиуса R. ^ это движение с постоянным ускорением. Для равнопеременного поступательного движения, если начало отсчета координаты тела начинается от положения, в котором оно находилось в момент начала отсчета времени, справедливы следующие соотношения между модулями перемещения, скорости и ускорения: a = const ; vt = v0 + at ; S = v0·t + at2/2 ; vt2 – v02 = 2aS . Индексы «0» относятся к началу отсчета времени, а индексы «t» – к моменту времени t. В системе СИ размерности времени, перемещения, скорости и ускорения соответственно – секунда (с), метр (м), м/с, м/с2. ^ овые кинематические характеристики Всякое твердое тело можно представить в виде совокупности бесконечно большого числа материальных точек. Если не учитывать деформации, то можно говорить об абсолютно твердом теле, т. е. о системе материальных точек, расстояния между которыми не изменяются. При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности. Линейные скорости этих точек различны, но угловая скорость для всех одинакова и поэтому может характеризовать движение всего тела. Для простоты рассмотрим движение, происходящее в одной плоскости (например, в плоскости 0XY декартовой системы координат). Положение точки задается радиус-вектором  , соединяющим ее с центром вращения, а также углом поворота φ радиус-вектора по отношению к направлению оси Х. Центр вращения выбирается в качестве начала координат. Чтобы через изменение угла поворота Δφ задать не только изменение положения, но и направление движения материальной точки, используется псевдовектор  . Ему приписывается направление, перпендикулярное плоскости, в которой лежит дуга ΔS, по которой движется точка. Для определения направления вектора углового перемещения служит правило буравчика (правого винта): вращение рукоятки буравчика должно совпадать с движением точки, тогда поступательное движение буравчика укажет направление вектора . Угловой скоростью называют вектор  . Численно угловая скорость  равна углу поворота радиус-вектора точки в единицу времени, или углу поворота тела в единицу времени, если речь идет о вращении тела. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения. Угловое ускорение – это быстрота изменения угловой скорости. Его находят из соотношения  . При ускоренном движении направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости. При замедленном – противоположное. Линейные и угловые кинематические характеристики точки, движущейся по окружности, связаны между собой простыми соотношениями. Для модулей рассматриваемых величин эти соотношения имеют вид S = R·φ ; v = R·ω ; a = R·ε . Угловое перемещение φ измеряется в радианах. Угол, измеренный в радианах, находится через отношение стягивающей его дуги к ее радиусу. Радиан – безразмерная величина. Таким образом, размерность угловой скорости будет с–1, а размерность углового ускорения – с–2. 1.2. Динамика материальной точки. Законы Ньютона Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызвавших это движение. Основой классической механики являются законы Ньютона, сформулированные в результате обобщения большого количества экспериментальных фактов. Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Ускорение  , если действующая на тело результирующая сила .Второй закон Ньютона: скорость изменения результирующего импульса тела  равна действующей на тело результирующей силе  :  .Это уравнение еще называют законом движения. Поскольку импульс тела  , где  – масса тела, а  – скорость, для тела постоянной массы возможен другой вариант записи второго закона Ньютона:  .Третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению:  .^ Импульс силы  позволяет вычислять величину сил реакции, возникающих при соударении. Импульс силы можно связать с изменением импульса тела, воспользовавшись вторым законом Ньютона и записав его следующим образом: .^ Инерциальными называются системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона (закон инерции). Но и остальные законы Ньютона тоже сформулированы для инерциальных систем отсчета. Любая другая система отсчета, движущаяся ускоренно по отношению к идеальной инерциальной системе отсчета, называется неинерциальной. Инерциальных систем отсчета бесконечное множество. Всякая другая система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной прямолинейно и равномерно, также будет инерциальной. Для большинства задач система отсчета, связанная с Землей (лабораторная система отсчета), является хорошим приближением к инерциальной. Причиной ускорения лабораторной системы отсчета является вращение Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца. Ускорения, соответствующие этим движениям, равны 3.4·10–2 м/с2 и 6·10–3 м/с2, т. е. много меньше ускорения свободного падения g ≈ 9,8 м/с2. Экспериментально установлено, что система отсчета, центр которой совместим с Солнцем, а оси направлены на звезды, выбранные соответствующим образом, является инерциальной. Такую систему называют гелиоцентрической. Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно этой системы, также будет инерциальной. Переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью v0, осуществляется с помощью преобразований Галилея. Пусть одна из систем отсчета, назовем её К, будет неподвижна, а другая К будет двигаться со скорость v0 относительно К в направлении, противоположном направлению оси x. Выберем координатные оси x, y, z системы К и оси x, y, z системы К так, чтобы в начальный момент времени соответствующие оси обеих систем совпадали. Тогда связь между координатами любой точки в системе x, y, z и системе x, y, z определится следующими соотношениями: x = x + v0·t ; y = y; z= z ; t' = t . Совокупность записанных уравнений называют преобразованиями Галилея. Время в обеих системах отсчета течет одинаково. Найти связь между скоростями точки в системах К и К можно, продифференцировав уравнения Галилея по времени. Отсюда следует закон сложения скоростей: v = v + v0, где v и v – скорости точки в штрихованной и нештрихованной системах отсчета. Продифференцировав по времени последнее соотношение, получим для ускорений a = a. Ускорение тела во всех инерциальных системах отсчета будет одинаковым. Уравнение движения (второй закон Ньютона) не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. В этом состоит ограниченный принцип относительности. ^ Принято различать четыре вида взаимодействий, которые называют фундаментальными: гравитационное, электромагнитное, сильное или ядерное (объясняющее связь частиц в атомном ядре) и слабое (ответственное за распад элементарных частиц). В рамках классической механики имеют дело с силами, обусловленными первыми двумя взаимодействиями, а также с упругими силами и силами трения. Эти силы не являются фундаментальными, их происхождение объясняется электромагнитными взаимодействиями. Масса – это физическая величина, определяющая инерционные и гравитационные свойства тела. Понятие инертной массы введено Ньютоном в определение импульса и силы  . В уравнении движения масса служит мерой инертности тела. Чем больше масса, тем большая сила требуется для сообщения телу одного и того же ускорения. Ньютоном был сформулирован закон всемирного тяготения. Для двух точечных масс m1 и m2, находящихся друг от друга на расстоянии R, он записывается какF = G·m1·m2/R2. Здесь G = 6.673·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная, впервые экспериментально определенная английским физиком Генри Кавендишем. В гравитационных взаимодействиях масса выступает как источник поля тяготения или, другими словами, характеризует способность тела притягивать другие тела. Эксперименты показывают, что инертная и гравитационная массы равны. Этот фундаментальный закон природы называют принципом эквивалентности. В системе СИ единицей массы является килограмм (кг), а силы – ньютон (Н); 1Н = 1кг∙м/с2. ^ Механическую систему называют замкнутой, если на нее не действуют внешние силы или равнодействующая этих сил равна нулю. Движение замкнутой системы взаимодействующих частиц может оказаться достаточно сложным, но в такой системе обязательно имеется точка, движущаяся прямолинейно и с постоянной скоростью. Эта точка называется центром масс. Положение центра масс по отношению к неподвижной лабораторной системе отсчета определяется радиус-вектором  , проведенным из ее начала. Его можно найти из соотношения .Фактически центр масс – это некое среднее положение системы материальных точек, при определении которого их массы  используются как весовые коэффициенты,  – радиус-вектор i – й точки, проведенный из начала координат лабораторной системы отсчета. Если наблюдатель покоится по отношению к центру масс, то говорят, что он находится в системе центра масс. Взяв производные по времени от обеих частей записанного выражения, получим .Левая часть последнего равенства представляет собой скорость центра масс. Числитель правой части – это полный импульс, а знаменатель – полная масса системы. Поскольку импульс и масса замкнутой системы не изменяются со временем, мы таким образом доказали постоянство скорости центра масс замкнутой системы по величине и направлению. Если на механическую систему действуют внешние силы, центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. ^ Энергия – это количественная мера различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий. Для различных форм движения принято говорить о различных видах энергии: механической, внутренней, электромагнитной, химической, ядерной. В механике имеют дело с механической энергией, являющейся мерой механического движения рассматриваемой системы. Изменения механической энергии тела происходят в результате воздействия на него других тел. Меру этого воздействия определяют соответствующие силы. Для количественного описания процесса изменения энергии тела в механике вводится понятие, называемое работой силы. Элементарная работа dA силы , совершаемая над телом на малом перемещении  , определяется скалярным произведением на : ;где α – угол между направлением силы и вектором перемещения ,  – проекция вектора на направление . Работу, совершаемую на конечном перемещении тела, можно найти, интегрируя записанное соотношение. Единицей измерения энергии и работы является джоуль (Дж); 1Дж – это работа, совершаемая силой в 1Н на пути в 1м (1Дж = 1Н∙м). Если зависимость силы F от перемещения r задана графически, работу на некотором участке перемещения можно найти как площадь под графиком зависимости F от r. Сила , действующая на тело, называется консервативной (или потенциальной), если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения тела. Работа консервативной силы не зависит от траектории движения тела. По замкнутой траектории работа консервативной силы равна нулю. Все фундаментальные силы консервативны. Гравитационные и электрические силы – это примеры консервативных сил.Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, введено понятие мощности. Средняя мощность N – это физическая величина, равная отношению работы ΔА к промежутку времени Δt, за который она совершается:  . Когда тело движется с постоянной скоростью ^ под действием приложенной силы F, мощность N может быть найдена как  . Мощность равна проекции силы на направление перемещения, умноженной на скорость тела. Если за одинаковые промежутки времени Δt совершается неодинаковая работа ΔА, говорят о мгновенной мощности, определяемой соотношением  . Единица мощности – ватт (Вт); 1Вт – это мощность, при которой за время 1с совершается работа в 1Дж (1Вт = 1Дж/с).^ Кинетическая энергия тела – это мера энергии его механического движения. Изменение кинетической энергии dWк тела с массой m под действием силы равно работе, совершаемой этой силой:  .Сила  , импульс тела  . Отсюда следует, что кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью  , равна  .Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий отдельных тел, входящих в эту систему. Потенциальной энергией механической системы называется величина, равная работе, которую совершают все действующие на систему консервативные (потенциальные) силы при переводе системы из рассматриваемого состояния в состояние, где потенциальная энергия становится равной нулю. Это нулевое положение системы, для которого заданы координаты ее материальных точек, выбирается условно. Тогда работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из некоторого положения в нулевое, называется потенциальной энергией Wп системы в этом положении. Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а поэтому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами, потенциальная энергия Wп системы является функцией только ее координат. Иллюстрация этого приведена на рис. 3. Если за нулевое принять положение 0, то в положении 1 система будет обладать потенциальной энергией Wп = A10. Эта энергия равна работе консервативных сил при переходе системы из положения 1 в положение 0. В положении 2 система будет обладать потенциальной энергией Wп = A20, равной работе консервативных сил при переходе системы из положения 2 в положение 0. Из определения потенциальной энергии следует, что она зависит от выбора нулевого уровня (рис. 4). Если же за нулевое принять положение 0', то потенциальная энергия в точке 1 примет другое значение –  . При замене одного нулевого положения другим потенциальная энергия системы изменяется на постоянную величину. Если считать потенциальную энергию в нулевом положении равной не нулю, а некоторому значению, тогда вместо потенциальной энергии следует говорить о ее разности в двух состояниях системы. Рис. 3. Определение потенциальной энергии Таким образом, определение потенциальная энергия производится с точностью до произвольной постоянной. Это не является проблемой, поскольку на практике важна разность потенциальных энергий. Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии. С другой стороны, при отсутствии потерь эта работа равна приращению кинетической энергии системы. Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной механической энергией. В системе с одними только консервативными силами полная механическая энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это утверждение называется законом сохранения механической энергии.  Рис. 4. Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого положения Рассмотрим вычисление потенциальной энергии тела массой m, находящегося на высоте h над поверхностью Земли. Если за ноль принять потенциальную энергию тела, лежащего на земле, то на высоте h она будет равна работе, которую нужно совершить для его перемещения туда с бесконечно малой скоростью. Такое перемещение производится под действием постоянной силы, равной силе тяжести mg и противоположной ей по направлению. Очевидно, что потенциальная энергия может быть найдена как Wп = m·g·h. Чем дальше от поверхности Земли находится тело, тем больше его потенциальная энергия. Разумеется, такой подход к вычислению потенциальной энергии применим только в тех случаях, когда расстояние от поверхности Земли невелико. Потенциальную энергию растянутой (или сжатой) пружины вычисляют по формуле W = k·x2/2, где x – деформация, k – жесткость пружины. За нулевой уровень принимается потенциальная энергия недеформированной пружины. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух точечных масс – m и M – определяется соотношением W = – G·M·m/r, где G = 6.67·10–11Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная, r – расстояние между центрами точечных масс. Энергия взаимодействия масс, находящихся бесконечно далеко друг от друга, принимается за ноль. Обратите внимание на знак «минус»: по мере сближения точечных масс потенциальная энергия убывает, возрастая при этом по абсолютной величине. 1.3. Движение абсолютно твердого тела Момент инерции и энергия вращающегося тела Для описания движения твердого тела используем две системы координат. Одну – неподвижную инерциальную систему x,y,z, а другую – движущуюся, x', y', z', жестко связанную с твердым телом (рис. 5). Начало координат движущейся системы координат удобно совместить с центром масс тела. Теперь положение движущейся системы координат определяет положение тела в неподвижной системе координат. Радиус-вектор  указывает положение начала ^ движущейся системы координат. Ориентация осей этой системы – x', y', z' – относительно неподвижной определяется тремя независимыми углами. В итоге вместе с тремя компонентами вектора мы имеем шесть координат. Таким образом, всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы.
Рассмотрим бесконечно малое перемещение твердого тела. Такое перемещение можно представить в виде суммы двух составляющих. Одна из них – это бесконечно малый параллельный перенос тела, когда все его точки смещаются одинаково, центр масс (начало координат подвижной системы) переходит из начального положения в конечное. Ориентация осей подвижной системы координат остается неизменной. Вторая составляющая движения – бесконечно малый поворот вокруг центра масс, в результате которого твердое тело переходит в конечное положение. Очевидно, что порядок этих двух операций не важен. Радиус-вектор произвольной точки твердого тела в подвижной системе координат обозначим  , а радиус-вектор той же точки в неподвижной системе – . Тогда бесконечно малое смещение  точки складывается из перемещения  центра масс и перемещения  тела относительно центра масс при повороте на бесконечно малый угол  вокруг точки 0: .Разделив это равенство на интервал времени dt, в течение которого произошло перемещение, и обозначив скорости
получим соотношение между ними
Вектор  – это скорость движения центра масс твердого тела. Ее называют также скоростью поступательного движения твердого тела. Вектор  называется угловой скоростью вращения твердого тела. Его направление и направление вектора углового перемещения совпадают с направлением оси вращения в данный момент времени. Таким образом, скорость любой точки тела (относительно неподвижной системы координат) может быть выражена через поступательную скорость тела и угловую скорость его вращения . В неподвижной лабораторной системе отсчета полная кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии, измеренной в системе центра масс, и кинетической энергии центра масс, определяемой из соотношения  .Здесь m – полная масса системы, а  – скорость ее центра масс в лабораторной системе отсчета. В системе центра масс твердое тело может обладать лишь вращательной кинетической энергией.При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки с массами mi описывают окружности различных радиусов ri, обладая при этом различными линейными скоростями vi. Однако угловая скорость ω у всех этих точек одинакова. Кинетическую энергию вращающегося тела можно найти как сумму энергий его элементарных составных частей: Wквр. = (m1·v12/2)+ (m2·v22/2)+ (m3·v32/2)+….. Поскольку vi = ri·ω, то оказывается, что Wквр. = (ω2/2)·[(m1·r12) + (m2·r22) + (m3·r32) +…..] . Сумма произведений масс элементарных частей тела на квадраты их расстояний до определенной оси называется моментом инерции тела относительно этой оси: J = (m1·r12) + (m2·r22) + (m3·r32)+…. Момент инерции является скалярной величиной и измеряется в кг·м2. Более точно следует записать, что J = ∫r2·dm. Интегрирование производится по всему объему тела. Теперь выражение для кинетической энергии приобретает вид Wквр. = J·ω2/2 . Момент инерции тела зависит от распределения массы, размеров и формы тела. Для тел правильной геометрической формы момент инерции относительно осей симметрии легко вычисляется по формулам, которые приводятся ниже. ^ материальной точки массой m, расположенной на расстоянии r от оси, определяется соотношением J = m·r2 . Момент инерции кольца (тонкого обруча, тонкостенного цилиндра) массой m относительно оси симметрии, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости кольца, определяется соотношением J = m·R2 , где R – радиус кольца. Момент инерции сплошного диска (однородного сплошного цилиндра) массой m относительно оси симметрии, проходящей перпендикулярно плоскости диска через центр масс, определяется соотношением J = m·R2/2, где R – радиус диска. Момент инерции однородного шара массой m относительно оси, проходящей через его центр, определяется соотношением J = (2/5)·m·R2, где R – радиус шара. Момент инерции однородного стержня массой m относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине, J = m·l2/12, где l – длина стержня. Часто при решении задач требуется знать момент инерции относительно оси, не проходящей через центр масс тела. В ряде случаев его нахождение не представляет серьезных трудностей. Для однородного тела массой m, если известен момент инерции J0 относительно оси, проходящей через центр масс, но необходимо найти момент инерции J относительно параллельной ей оси, расположенной на расстоянии d, можно воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера: J = J0 + m·d2 . Момент силы Для изменения скорости вращения тела необходимо внешнее воздействие. Из приложенных к телу внешних сил необходимо выделить составляющие, вызывающие вращение. Вращение может быть вызвано только силой F, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения и направленной по касательной к окружности, которую описывает точка приложения силы. Такую силу можно назвать вращающей. Заметим, что составляющие сил, параллельные оси вращения, не совершают работы, поскольку точки приложения сил перемещаются перпендикулярно их направлениям. Найдем работу, совершаемую постоянной по величине вращающей силой, когда точка приложения силы смещается по окружности радиуса r на расстояние Δl = r·Δφ. Угловое перемещение Δφ в этом случае измеряется в радианах. Поскольку величина вращающей силы F не меняется, то совершаемая работа будет равна ΔA = F·Δl = F·r·Δφ. Произведение вращающей силы F на радиус r называют моментом вращающей силы, или вращающим моментом, действующим на данное тело. Момент силы принято обозначать латинской буквой М. Моментом данной силы относительно какой-либо оси называется произведение этой силы на ее плечо, т. е. на длину перпендикуляра, проведенного от указанной оси до направления действия силы. Следовательно, совершаемая вращающим моментом М работа равна произведению этого момента на угловое перемещение Δφ: ΔA = M·Δφ . Момент вращающей силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью вращения. Положительным считается вектор, в котором бы перемещался буравчик (правый винт), вращаемый этим моментом. Вращающий момент  , приложенный к телу, сообщает ему угловое ускорение  . Векторы и ориентированы по оси вращения в одну и ту же сторону. Для установления связи между величиной вращающего момента и сообщаемым телу угловым ускорением можно воспользоваться тем, что работа вращающей силы должна быть равна изменению кинетической энергии вращения: dA = dWквр. Таким образом, для вращающегося тела имеемM·dφ = d(Jω2/2) = J·ω·dω. Мы полагаем, что момент инерции J при вращении тела не изменяется. Разделив полученное уравнение на dt и сократив на ω = dφ/dt, найдем M = J · dφ/dt ; M = J · ε . Записанное соотношение выражает основной закон динамики вращательного движения твердых тел, для которых J = const. Приобретаемое телом угловое ускорение прямо пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения: ε = M/J. В векторной форме этот закон записывается в виде соотношения  .Вращающий момент и угловое ускорение являются векторными величинами, момент инерции J – скалярная величина.Если тело при вращении деформируется, то его момент инерции будет меняться. Это означает, что даже при постоянной угловой скорости вращения тела меняется его кинетическая энергия. Из формулы для изменения кинетической энергии dWквр = d(Jω2/2), полагая момент инерции J переменной величиной, находим dWквр = J·ω·dω + ω2·dJ/2. Первое слагаемое характеризует изменение кинетической энергии, обусловленное изменением скорости вращения, а второе – изменением момента инерции. При изменении расстояния ri от точечного тела до оси вращения внутренние силы, связывающие это тело с осью вращения, будут совершать работу. Эта работа dA будет отрицательная, если тело удаляется, и положительная, если приближаются к оси вращения. Работу можно найти, полагая силу, связывающую частицу массой mi с осью вращения, равной центростремительной силе: dAi = Fцс·dri = mi·ω2·ri·dri = (ω2/2)·d(mi·ri2). Для тела, состоящего из множества частиц с массами mi, получим: dA = (ω2/2)·d(m1·r12 + m2·r22 + m3·r32 + …) = (ω2/2)·dJ . В общем случае, когда на тело действует внешний вращающий момент М, изменение кинетической энергии должно быть приравнено сумме двух работ: работе внешнего вращающего момента M·dφ и работе внутренних сил (ω2/2)·dJ. При ускоренном вращении величины dWквр и M·dφ будут положительными, а работа внутренних сил dA будет отрицательна. Тогда получаем dWквр = M·dφ – (ω2/2)·dJ. Поскольку dWквр = d(J∙ω2/2), заменив dφ = ω·dt, находим, что M·ω·dt = J∙ω·dω + ω2·dJ. После сокращения получим M = d(J·ω)/dt. В векторной форме последнее уравнение записывается как  .Это и есть общий вид основного уравнения динамики для тел, вращающихся вокруг неподвижной оси. Закон применим и для деформирующихся тел. Заметим, что у деформирующегося тела изменение скорости вращения может происходить и при отсутствии внешнего вращающего момента. Она изменяется из-за вызванного внутренними силами изменения момента инерции. Произведение момента инерции на угловую скорость  называется моментом импульса (моментом количества движения). Момент импульса принято обозначать латинской буквой  . Произведение вращающего момента на время его действия  называется импульсом вращающего момента. Поскольку J – скаляр, а – вектор, то момент импульса  есть векторная величина, ориентированная по направлению вектора угловой скорости. Импульс вращающего момента также является вектором, ориентированным по направлению вектора . Пользуясь рассмотренными понятиями, основное уравнение динамики вращательного движения можно сформулировать следующим образом: импульс вращающего момента равен изменению момента импульса тела, к которому приложен этот вращающий момент: .Другая запись этого соотношения имеет вид  или  .1.4. Законы сохранения в системе взаимодействующих тел Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии Тела, образующие механическую систему, взаимодействуют между собой и с телами, не входящими в данную систему. Соответственно и силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Если внешние силы отсутствуют, то система называется замкнутой. Для замкнутых систем остаются неизменными три физические величины: импульс, момент импульса, энергия. Закон сохранения импульса можно доказать, воспользовавшись вторым законом Ньютона:  . Для замкнутой системы внешняя сила  , поэтому  , или  . ^ Закон сохранения момента импульса следует из основного уравнения динамики вращательного движения:  . Если внешний момент сил  , то  , или  . Момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.Механическая система называется консервативной, если все действующие на нее непотенциальные (неконсервативные) силы не совершают работу, а все внешние потенциальные силы не меняются во времени. Эксперименты показывают, что механическая энергия консервативной системы не изменяется во времени (закон сохранения энергии). ^ Законы сохранения позволяют успешно решать многие физические задачи. Классическим примером являются столкновения физических тел, происходящие за очень короткий промежуток времени. Наиболее простым является центральное соударение двух тел. В этом случае центры масс тел движутся по одной прямой. Система рассматривается как замкнутая, и ее суммарный импульс при столкновении не изменяется. Принято рассматривать два идеализированных случая: абсолютно упругое и абсолютно неупругое соударения. При абсолютно упругом соударении механическая энергия соударяющихся тел не изменяется. При абсолютно неупругом соударении часть механической энергии расходуется на деформацию тел и переходит в тепло. После абсолютно неупругого соударения тела начинают двигаться с одинаковой скоростью, как одно целое. Схематически центральное абсолютно упругое соударение двух тел представлено на рис. 6. Запишем для него законы сохранения. ^ : полный результирующий импульс системы не изменяется: m1·v1 + m2·v2 = m1·u1 + m2·u2 . Закон сохранения энергии: в момент соударения тел их потенциальная энергия не изменяется, поэтому в записанном соотношении присутствует только кинетическая энергия:  .Здесь m1 и m2 – массы тел, v1, v2, u1, u2 – скорости тел до и после соударения.  Р  ис. 6. Схема центрального абсолютно упругого соударения двух телОбъединив соотношения, записанные для законов сохранения, можно получить еще одну формулу, полезную при рассмотрении центрального абсолютно упругого соударения двух тел: v1 + u1 = v2 + u2 . Схематически центральное абсолютно неупругое соударение двух тел иллюстрирует рис. 7.  Рис. 7. Схема центрального абсолютно неупругого соударения двух тел Закон сохранения импульса для центрального абсолютно неупругого соударения двух тел имеет вид: m1·v1 + m2·v2 = (m1 + m2)·u . Закон сохранения энергии – в момент соударения тел их потенциальная энергия не изменяется, поэтому в записанном соотношении присутствует только кинетическая энергия:  .Здесь m1 и m2 – массы тел, v1, v2, u – скорости тел до и после соударения, Wдеф – энергия, затраченная на деформацию тел. ^
| ||||||||||||||||||
, 
, 
,
.
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 