Методические указания Издательство тпу томск 2010 icon

Методические указания Издательство тпу томск 2010



Смотрите также:
Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры Прикладной математики автф тпу...
Методические указания Томск 2007 удк 621. 38...
Методические указания к лабораторной работе Томск 2008...
Заполняется по конспекту лекций 2008 года Издательство тпу томск 2008...
Учебное пособие Издательство тпу томск 2007...
Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры общей физики...
Методические указания утверждаю директор игнд тпу а. К...
Учебное пособие Издательство тпу томск 2005...
Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу "Теоретические основы...
Методические указания к выполнению индивидуальных заданий для студентов дневного и заочного...
Учебное пособие Издательство тпу томск 2006...
Учебное пособие Издательство тпу томск 2007...



страницы:   1   2   3   4
скачать


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования


«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

_______________________________________________________________________


Б. В. Горячев, С. Б. Могильницкий




Механика. Молекулярная физика. Термодинамика

Методические указания




Издательство ТПУ

Томск 2010




Б 47



УДК 530

Б 47
^

Горячев Б.В., Могильницкий С.Б.


Часть 1. Методические указания. – Томск: Изд-во ТПУ, 2010. – 50 с.

В указаниях кратко изложены разделы 1 части курса общей физики; даны разъяснения основных законов, явлений и понятий физической механики, молекулярной физики, термодинамики. Указания соответствуют программе курса физики высших технических учебных заведений, предназначено для студентов инженерных специальностей, изучающих курс физики в течение трех семестров.


УДК 530


Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета

Рецензент




– доктор педагогических наук, профессор В.В.Ларионов


Ó Томский политехнический университет, 2010



ПРЕДИСЛОВИЕ


При изучении курса физики большое значение придается правильному применению получаемых теоретических знаний, что, в частности, проявляется в умении решать задачи. Этому и посвящено предлагаемое учебное пособие. Содержание и расположение материала в нем соответствует программе курса физики для технических университетов, но этот курс излагается кратко, местами – конспективно. Главная цель – сообщить сведения, важные при решении задач. Изложение материала ведется на основе Международной системы единиц (СИ). Формированию навыков работы с задачами способствует значительное число физических задач, снабженных решениями. После краткого рассмотрения теоретического материала в каждом разделе приводятся примеры решения типовых задач, а также снабженные ответами задачи для самостоятельного решения. Подобный замысел позволяет использовать пособие при проведении семинарских и практических занятий, а также для самостоятельной работы студентов в течение семестра и при подготовке к экзаменам. По каждой теме представлены задачи приблизительно одинаковой степени трудности, предназначенные для самостоятельного решения студентами во время аудиторных занятий. В ответах в основном используются кратные и дольные единицы, образованные от единиц СИ. Для удобства пользования в конце пособия приведены необходимые справочные данные.


^ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ


1. Вникнув в условие задачи, необходимо выполнить краткую запись ее условия, выразить все данные в СИ.

2. Всякую задачу, требующую вычислений, следует решать не только в числах, но и в общей алгебраической форме, заменяя данные и числовые величины буквенными знаками. Полученные в общем виде более сложные результаты следует по возможности подробно исследовать, выясняя влияние тех или других величин, входящих в условие задачи.

3. Для оценки получаемых результатов для многих числовых задач полезно предварительно попробовать дать приблизительный ответ, проверить правильность его размерности.

4. При числовых расчетах следует приобретать навык в различных приемах сокращенных вычислений.

5. Результаты решений следует проверять, для чего в различных задачах могут служить самые разнообразные приемы. В частности, при проверке числовых расчетов можно повторить вычисления с округленными числами.

6. При решении многих задач полезно по возможности правильно и тщательно делать соответствующие чертежи.

7. Как окончательные результаты решений, так и промежуточные расчеты желательно сохранять, чтобы пользоваться ими в случае надобности при решении других задач.

  1. МЕХАНИКА


1.1. Кинематика


Механика – это наука о машинах, механических движениях матери­аль­ных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними, а также об искусстве построения машин.

^ Механическое движение это изменение с течением времени взаим­ного положения тел в пространстве.

Классическая механика, в основе которой лежат законы Ньютона, изу­чает движение материальных тел, скорости которых значительно меньше скорости распространения света. Движение тел со скоростями, близкими скорости света, рассматривает релятивистская механика, другое ее название – специальная теории относительности. Скорость света принято обозначать латинской буквой с, в вакууме скорость света с ≈ 3·108 м/с. Рассмотрением движения элементарных частиц занимается квантовая механика.

Для описания движения материальных тел вводятся абстрактные поня­тия, отражающие те или иные реальные свойства тел:

1. Материальная точка – это имеющий массу объект, размерами кото­рого в условиях данной задачи можно пренебречь.

2. Абсолютно твердое тело – это тело, у которого расстояние между любыми его точками остается постоянным.

3. Абсолютно упругое тело – это тело, которое после прекращения на него внешнего механического воздействия, полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры.

4. Абсолютно неупругое тело – это тело, которое после прекращения на него внешнего воздействия остается в деформированном состоянии.

5. Пространство и время. Все тела существуют и движутся в простран­стве и во времени. Пространство выражает порядок сосуществования объек­тов, время – порядок смены явлений.

6. ^ Система отсчета в механике – это совокупность тел отсчета, свя­занных с ними системы координат и часов, по отношению к которым изуча­ется движение материальных точек или тел. В классической меха­нике свой­ства пространства описываются геометрией Евклида, а ход времени одинаков во всех системах отсчета.


^ Сведения о векторах


Векторными называются величины, характеризующиеся не только численным значением (модулем), но и направлением. На черте­жах векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков со стрел­кой на конце. Длина отрезка определяет модуль вектора, стрелка – его направление. В тексте векторы обозначают буквами жирного шрифта или над буквой ставится стрелка.

Сложение векторов осуществляется по следующей схеме: начало ка­ждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, ре­зульти­рующий вектор проводится из начала первого в конец послед­него. Эта опе­рация называется правилом многоугольника.

Умножение векторов производится на скалярную или вектор­ную ве­личину. Перемножение векторов может быть векторным или скалярным.

Векторным произведением векторов и называется вектор , опре­деляемый формулой

,

где и – модули перемножаемых векторов, α – угол между пере­множае­мыми векторами, единичный вектор (его модуль равен еди­нице), направ­ленный перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы-сомножи­тели. Направление вектора , а также и резуль­тирующего вектора можно найти по правилу правой руки. Захватив четырьмя сгибаемыми в кулак пальцами сначала умножаемый век­тор, а затем тот, на который умножают, по отогнутому боль­шому пальцу определяют направление результирующего вектора. На чертежах векторы, направленные к нам, обо­значают точкой (), а от нас – крестиком ().

Скалярное произведение двух векторов и дает скалярную вели­чину с и вычисляется по формуле

.

Радиус-вектором некоторой точки А называется вектор, прове­ден­ный из выбранного начала координат в данную точку (рис.1). Его проекции на координатные оси равны декартовым координатам данной точки x, y, z . Умножив их на единичные векторы , вектор можно представить в виде , а его модуль .



Рис. 1. Разложение радиус-вектора на составляющие вдоль

координат­ных осей

Линейные кинематические характеристики


Материальная точка при своем движении описывает пространственную кривую, называемую траекторией, иллюстрация движения материальной точки приведена на рис.2. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное или криволинейное дви­жение.



Рис. 2. Траектория и перемещение материальной точки


В момент времени t1 координаты точки могут быть определены радиус-вектором , в момент времени t2 – радиус-вектором . Прой­денное точкой за время t2t1 расстояние ΔS, отсчитанное вдоль траекто­рии, называется путь. Прямолинейный отрезок , соединяющий начальное и конечное поло­жение материальной точки, называют векто­ром перемещения, он равен

.

Заметим, что величина Δ^ S, строго говоря, не равна модулю. Только когда ΔS → 0 , Δr по модулю приближается к ΔS.

Средняя скорость движения точки равна

v ср = ΔS/(t2t1) = ΔSt .

Средняя скорость перемещения точки находится как

.

^ Скоростью точки в момент времени t называется вектор , рав­ный пер­вой производной по времени от вектора перемещения



^ Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сто­рону движения материальной точки. Вектор скорости можно представить через его проекции на координат­ные оси

.

или через производные по времени от проекций вектора на оси коор­динат

.

Следовательно,

vx = dx/dt, vy = dy/dt , vz = dz/dt ,

а модуль вектора скорости

.

При неравномерном движении скорость изменяется во времени. Изме­нение скорости в единицу времени называется ускорением. Мгно­венное ус­корение, т. е. ускорение в данной точке, равно первой про­изводной по вре­мени от скорости:

,

а модуль ускорения .

При криволинейном движении материальной точки вектор уско­рения удобно разложить на две составляющие. Одна из них – танген­циальное ус­корение, направленное по касательной к траектории движе­ния, а другая – нормальное или центростремительное ускорение, на­правленное перпендику­лярно к . Тангенциальное ускорение характе­ризует изменение скорости по величине, нормальное – по направлению. Модуль полного ускорения можно найти как . При этом модуль тангенциального ускорения равен , где v – скорость, R – радиус кривизны траектории в данной точке. Криволинейную траекторию любой формы можно представить себе как совокупность элементарных участков, каждый из которых рассмат­рива­ется как дуга окружности некоторого радиуса R.

^ Равнопеременное движение – это движение с постоянным ускоре­нием. Для равнопеременного поступательного движения, если начало отсчета ко­ординаты тела начинается от положения, в котором оно нахо­дилось в момент начала отсчета времени, справедливы следующие со­отношения между мо­дулями перемещения, скорости и ускорения:

a = const ; vt = v0 + at ; S = v0·t + at2/2 ; vt2v02 = 2aS .

Индексы «0» относятся к началу отсчета вре­мени, а индексы «t» – к моменту вре­мени t. В системе СИ размерности времени, перемещения, скорости и ус­корения соответственно – секунда (с), метр (м), м/с, м/с2.


^ Угловые кинематические характеристики


Всякое твердое тело можно представить в виде совокупности беско­нечно большого числа материальных точек. Если не учитывать деформации, то можно говорить об абсолютно твердом теле, т. е. о системе материаль­ных точек, расстояния между которыми не изменяются. При вращении абсо­лютно твердого тела вокруг непод­вижной оси все его точки описывают ок­ружности. Линейные скорости этих точек различны, но угловая скорость для всех одинакова и поэтому может характеризовать движение всего тела. Для простоты рассмотрим движение, происходящее в одной плоскости (напри­мер, в плоскости 0XY декартовой системы координат). Положение точки за­дается радиус-вектором , соединяющим ее с центром вращения, а также уг­лом поворота φ радиус-вектора по отношению к направлению оси Х. Центр вращения выбирается в качестве начала координат. Чтобы через изменение угла поворота Δφ задать не только изменение положе­ния, но и направление движения материальной точки, используется псевдовектор . Ему приписыва­ется направление, перпендикулярное плоскости, в которой лежит дуга ΔS, по которой движется точка. Для определения на­правления вектора углового перемещения служит правило буравчика (правого винта): враще­ние рукоятки буравчика должно совпадать с движением точки, тогда поступательное движение буравчика укажет направление вектора . Угло­вой скоростью называют вектор . Численно угловая ско­рость равна углу поворота радиус-вектора точки в единицу вре­мени, или углу по­ворота тела в единицу времени, если речь идет о вра­щении тела. Вектор уг­ловой скорости направлен вдоль оси вращения. Угловое ускорение – это бы­строта изменения угловой скорости. Его находят из соотношения . При ус­коренном движении направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости. При замед­ленном – противо­положное. Линейные и угловые кинематические характери­стики точки, движущейся по окружности, связаны между собой простыми соотноше­ниями. Для модулей рассматриваемых величин эти соотношения имеют вид

S = R·φ ; v = R·ω ; a = R·ε .

Угловое перемещение φ измеряется в радианах. Угол, измеренный в ра­диа­нах, находится через отношение стягивающей его дуги к ее радиусу. Радиан – безразмерная величина. Таким образом, размерность угловой скорости бу­дет с–1, а размерность углового ускорения – с–2.


1.2. Динамика материальной точки. Законы Ньютона


Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызвавших это дви­жение. Основой классической механики являются законы Ньютона, сформу­лированные в результате обобщения большого количества экс­перименталь­ных фактов.

Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии по­коя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Ускорение , если действующая на тело результирующая сила.

Второй закон Ньютона: скорость изменения результирующего им­пульса тела равна действующей на тело результирующей силе :

.

Это уравнение еще называют законом движения. Поскольку импульс тела , где – масса тела, а – скорость, для тела постоянной массы возмо­жен другой вариант записи второго закона Ньютона:

.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направ­лению:

.

^ Обратите внимание, что здесь речь идет о силах, приложенных к раз­личным телам.

Импульс силы позволяет вычислять величину сил реакции, возни­кающих при соударении. Импульс силы можно связать с измене­нием импульса тела, воспользовавшись вторым законом Ньютона и за­писав его следующим образом:

.


^ Инерциальные системы отсчета. Преобразования Галилея

Инерциальными называются системы отсчета, в которых вы­полня­ется первый закон Ньютона (закон инерции). Но и остальные законы Ньютона тоже сформулированы для инерциальных систем отсчета. Любая другая система отсчета, движущаяся ускоренно по от­ношению к иде­альной инерциальной системе отсчета, называется не­инерциальной. Инерци­альных систем отсчета бесконечное множество. Всякая другая система от­счета, движущаяся по отношению к инерци­альной прямолинейно и равно­мерно, также будет инерциальной. Для большинства задач система отсчета, связанная с Землей (лабораторная система отсчета), является хорошим приближением к инерциальной. Причиной ускорения лабораторной системы отсчета является вращение Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца. Ускоре­ния, соответствующие этим движениям, равны 3.4·10–2 м/с2 и 6·10–3 м/с2, т. е. много меньше ускорения свободного падения g ≈ 9,8 м/с2. Экспериментально установ­лено, что система отсчета, центр которой совместим с Солнцем, а оси направлены на звезды, выбранные соответствующим образом, является инерциальной. Такую систему называют гелиоцентрической. Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно отно­сительно этой системы, также будет инерциальной. Переход от одной инерциальной сис­темы отсчета к другой, движущейся относительно первой с постоянной ско­ростью v0, осуществляется с помощью преоб­разований Галилея. Пусть одна из систем отсчета, назовем её К, будет неподвижна, а другая К будет дви­гаться со скорость v0 относительно К в направлении, противоположном на­правлению оси x. Выберем коор­динатные оси x, y, z системы К и оси x, y, z системы К так, чтобы в начальный момент времени соответствующие оси обеих систем совпадали. Тогда связь между координатами любой точки в системе x, y, z и системе x, y, z определится следующими соотношениями:

x = x + v0·t ; y = y; z= z ; t' = t .

Совокупность записанных уравнений называют преобразованиями Га­лилея. Время в обеих системах отсчета течет одинаково. Найти связь между скоро­стями точки в системах К и К можно, продифференцировав уравнения Гали­лея по времени. Отсюда следует закон сложения скоро­стей: v = v + v0, где v и v – скорости точки в штрихованной и нештри­хованной системах отсчета. Продифференцировав по времени послед­нее соотношение, получим для ус­корений a = a. Ускорение тела во всех инерциальных системах отсчета будет одинаковым. Уравнение движения (второй закон Ньютона) не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. В этом состоит ограниченный принцип относительности.


^ Сила. Масса


Принято различать четыре вида взаимодействий, которые назы­вают фун­даментальными: гравитационное, электромагнитное, сильное или ядер­ное (объясняющее связь частиц в атомном ядре) и слабое (от­ветственное за распад элементарных частиц). В рамках классической механики имеют дело с силами, обусловленными первыми двумя взаи­модействиями, а также с уп­ругими силами и силами трения. Эти силы не являются фундаментальными, их происхождение объясняется элек­тромагнитными взаимодействиями.

Масса – это физическая величина, определяющая инерционные и грави­тационные свойства тела. Понятие инертной массы введено Нью­тоном в оп­ределение импульса и силы . В уравнении дви­жения масса служит мерой инертности тела. Чем больше масса, тем большая сила требуется для сообщения телу одного и того же ускорения. Ньютоном был сформулирован закон всемирного тяготения. Для двух точечных масс m1 и m2, находящихся друг от друга на расстоянии R, он записывается как

F = G·m1·m2/R2.

Здесь G = 6.673·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная, впервые экспе­риментально определенная английским физиком Генри Кавенди­шем. В гра­витационных взаимодействиях масса выступает как источник поля тяготе­ния или, другими словами, характеризует способность тела притягивать дру­гие тела. Эксперименты показывают, что инертная и гравита­ционная массы равны. Этот фундаментальный закон природы на­зывают принципом эквивалентности. В системе СИ единицей массы является килограмм (кг), а силы – ньютон (Н); 1Н = 1кг∙м/с2.


^ Центр масс


Механическую систему называют замкнутой, если на нее не дейст­вуют внешние силы или равнодействующая этих сил равна нулю. Дви­жение замк­нутой системы взаимодействующих частиц может оказаться достаточно сложным, но в такой системе обязательно имеется точка, движущаяся прямо­линейно и с постоянной скоростью. Эта точка назы­вается центром масс. По­ложение центра масс по отношению к непод­вижной лабораторной системе отсчета определяется радиус-вектором , проведенным из ее начала. Его можно найти из соотношения

.

Фактически центр масс – это некое среднее положение системы мате­риаль­ных точек, при определении которого их массы используются как весовые коэффициенты, – радиус-вектор i – й точки, проведенный из начала коорди­нат лабораторной системы отсчета. Если наблюдатель покоится по отноше­нию к центру масс, то говорят, что он находится в системе центра масс. Взяв производные по времени от обеих частей за­писанного выражения, по­лучим

.

Левая часть последнего равенства представляет собой скорость центра масс. Числитель правой части – это полный импульс, а знамена­тель – полная масса системы. Поскольку импульс и масса замкнутой системы не изменя­ются со временем, мы таким образом доказали по­стоянство скорости центра масс замкнутой системы по величине и на­правлению.

Если на механическую систему действуют внешние силы, центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммар­ной массе всей системы, а действующая сила равна гео­метрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.


^ Работа и механическая энергия


Энергия – это количественная мера различных форм движения ма­терии и соответствующих им взаимодействий. Для различных форм движения при­нято говорить о различных видах энергии: механической, внутренней, элек­тромагнитной, химической, ядерной. В механике имеют дело с механической энергией, являющейся мерой механиче­ского движения рассматриваемой сис­темы. Изменения механической энергии тела происходят в результате воз­действия на него других тел. Меру этого воздействия определяют соответст­вующие силы. Для коли­чественного описания процесса изменения энергии тела в механике вводится понятие, называемое работой силы. Элементарная работа dA силы , совершаемая над телом на малом перемещении , определя­ется скалярным произведением на :

;

где α – угол между направлением силы и вектором перемещения , – проекция вектора на направление . Работу, совершае­мую на конечном перемещении тела, можно найти, интегрируя запи­санное соот­ношение. Единицей измерения энергии и работы является джоуль (Дж); 1Дж – это работа, совершаемая силой в 1Н на пути в 1м (1Дж = 1Н∙м). Если зависимость силы F от перемещения r задана графиче­ски, работу на некото­ром участке перемещения можно найти как пло­щадь под графиком зависи­мости F от r. Сила , действующая на тело, называется консервативной (или потенциальной), если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения тела. Ра­бота консервативной силы не зависит от траектории движения тела. По замкнутой траектории работа консерва­тивной силы равна нулю. Все фундаментальные силы консервативны. Гра­витационные и элек­трические силы – это примеры консервативных сил.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, введено поня­тие мощности. Средняя мощность N – это физическая величина, равная от­ношению работы ΔА к промежутку времени Δt, за который она совершается: . Когда тело движется с постоянной скоростью ^ V под действием при­ложенной силы F, мощность N может быть найдена как . Мощность равна проекции силы на направление перемещения, умноженной на скорость тела. Если за одинаковые проме­жутки времени Δt совершается неодинаковая работа ΔА, говорят о мгновен­ной мощности, определяемой соотношением . Единица мощно­сти – ватт (Вт); 1Вт – это мощность, при которой за время 1с совер­шается работа в 1Дж (1Вт = 1Дж/с).


^ Кинетическая и потенциальная энергии

Кинетическая энергия тела – это мера энергии его механиче­ского дви­жения. Изменение кинетической энергии dWк тела с массой m под действием силы равно работе, совершаемой этой силой:

.

Сила , импульс тела . Отсюда следует, что кинетическая энер­гия тела, движущегося со скоростью , равна

.

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий отдельных тел, входящих в эту систему.

Потенциальной энергией механической системы называется ве­ли­чина, равная работе, которую совершают все действующие на сис­тему кон­сервативные (потенциальные) силы при переводе системы из рассматривае­мого состояния в состояние, где потенциальная энергия становится равной нулю. Это нулевое положение системы, для которого заданы координаты ее материальных точек, выбирается условно. Тогда работа, совершаемая кон­сервативными силами при переходе системы из некоторого положения в ну­левое, называется потенциальной энергией Wп системы в этом положении. Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а поэтому потенци­альная энергия системы при фик­сированном нулевом положении зависит только от координат матери­альных точек системы в рассматриваемом поло­жении. Иными словами, потенциальная энергия Wп системы является функ­цией только ее коор­динат. Иллюстрация этого приведена на рис. 3.

Если за нулевое принять положение 0, то в положении 1 система будет обладать потенциальной энергией Wп = A10. Эта энергия равна работе кон­сер­вативных сил при переходе системы из положения 1 в положение 0. В поло­жении 2 система будет обладать потенциальной энергией Wп = A20, равной работе консервативных сил при переходе системы из поло­жения 2 в положе­ние 0. Из определения потенциальной энергии сле­дует, что она зависит от выбора нулевого уровня (рис. 4). Если же за ну­левое принять положение 0', то потенциальная энергия в точке 1 примет другое значение – . При замене одного нулевого положения другим потенциальная энергия системы изменяется на постоянную величину. Если считать потенциальную энергию в нулевом положении равной не нулю, а некоторому значению, тогда вместо по­тенциальной энергии следует говорить о ее разности в двух состоя­ниях системы.




Рис. 3. Определение потенциальной энергии


Таким образом, определение потенциальная энергия производится с точностью до произвольной постоянной. Это не является проблемой, по­скольку на практике важна разность потенциальных энергий. Работа консер­вативных сил равна убыли потенциальной энер­гии. С другой стороны, при отсутствии потерь эта работа равна прира­щению кинетической энергии сис­темы. Сумма кинетической и потенци­альной энергий системы называется ее полной механической энергией. В системе с одними только консервативными силами полная механиче­ская энергия остается неизменной. Могут происхо­дить лишь превраще­ния потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это утверждение на­зывается за­коном сохранения механической энергии.



Рис. 4. Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого положения


Рассмотрим вычисление потенциальной энер­гии тела массой m, нахо­дящегося на высоте h над поверхностью Земли. Если за ноль принять потен­циальную энергию тела, лежащего на земле, то на высоте h она будет равна работе, которую нужно совершить для его перемещения туда с бесконечно малой скоростью. Такое перемещение производится под действием постоян­ной силы, равной силе тяжести mg и противоположной ей по направлению. Очевидно, что потенциальная энергия может быть найдена как Wп = m·g·h. Чем дальше от поверхности Земли находится тело, тем больше его потенци­альная энергия. Разумеется, такой подход к вычислению потенциальной энергии применим только в тех случаях, когда расстояние от поверхности Земли невелико.

Потенциальную энергию растянутой (или сжатой) пружины вычисляют по формуле

W = k·x2/2,

где x – деформация, k – жест­кость пружины. За нулевой уровень принимается потенциальная энергия недеформированной пружины.

Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух точеч­ных масс – m и M – определяется соотношением

W = – G·M·m/r,

где G = 6.67·10–11Н·м2/кг2 – гравитационная по­стоянная, r – расстояние между центрами точечных масс. Энергия взаимодействия масс, находящихся беско­нечно далеко друг от друга, принимается за ноль. Обратите внимание на знак «минус»: по мере сближения точечных масс потенциальная энергия убывает, возрастая при этом по абсолютной величине.


1.3. Движение абсолютно твердого тела


Момент инерции и энергия вращающегося тела


Для описания движения твердого тела используем две системы коор­динат. Одну – неподвижную инерциальную систему x,y,z, а другую – дви­жущуюся, x', y', z', жестко связанную с твердым телом (рис. 5). На­чало коор­динат движущейся системы координат удобно совместить с центром масс тела. Теперь положение движущейся системы координат определяет положе­ние тела в неподвижной системе координат. Радиус-вектор указывает поло­жение начала ^ 0 движущейся системы координат. Ориентация осей этой системы – x', y', z' – относительно непод­вижной определяется тремя независи­мыми углами. В итоге вместе с тремя компонентами вектора мы имеем шесть координат. Таким об­разом, всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы.




Рис. 5. Твердое тело и две системы координат,

определяющие его положение в пространстве







Рассмотрим бесконечно малое переме­щение твердого тела. Такое пе­ремещение можно представить в виде суммы двух составляющих. Одна из них – это бесконечно малый парал­лельный перенос тела, когда все его точки смещаются одинаково, центр масс (начало координат подвижной системы) переходит из начального положения в конечное. Ориентация осей подвиж­ной системы координат остается неизменной. Вторая составляющая движе­ния – бесконечно ма­лый поворот вокруг центра масс, в результате которого твердое тело пе­реходит в конечное положение. Очевидно, что порядок этих двух опе­раций не важен. Радиус-вектор произвольной точки твердого тела в подвижной системе координат обозначим , а радиус-вектор той же точки в неподвижной системе – . Тогда бесконечно малое смещение точки склады­вается из перемещения центра масс и перемещения тела относительно центра масс при повороте на бесконечно малый угол вокруг точки 0:

.

Разделив это равенство на интервал времени dt, в течение которого про­изошло перемещение, и обозначив скорости

, , ,

получим соотношение между ними

.

Вектор – это скорость движения центра масс твердого тела. Ее назы­вают также скоростью поступательного движения твердого тела. Век­тор называ­ется угловой скоростью вращения твердого тела. Его на­правление и направление вектора углового перемещения совпадают с направлением оси вращения в данный момент времени. Таким обра­зом, скорость любой точки тела (относительно неподвижной системы координат) может быть вы­ражена через поступательную скорость тела и угловую скорость его враще­ния .

В неподвижной лабораторной системе отсчета полная кинетиче­ская энергия механической системы равна сумме кинетической энергии, измерен­ной в системе центра масс, и кинетической энергии центра масс, определяе­мой из соотношения

.

Здесь m – полная масса системы, а – скорость ее центра масс в лабора­торной системе отсчета. В системе центра масс твердое тело мо­жет обладать лишь вращательной кинетической энергией.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки с массами mi описывают окружности различных радиусов ri, обладая при этом различными линейными скоростями vi. Однако угло­вая скорость ω у всех этих точек одинакова. Кинетическую энергию вращающегося тела можно найти как сумму энергий его элементарных составных частей:

Wквр. = (m1·v12/2)+ (m2·v22/2)+ (m3·v32/2)+…..

Поскольку vi = ri·ω, то оказывается, что

Wквр. = (ω2/2)·[(m1·r12) + (m2·r22) + (m3·r32) +…..] .

Сумма произведений масс элементарных частей тела на квадраты их рас­стояний до определенной оси называется моментом инерции тела относи­тельно этой оси:

J = (m1·r12) + (m2·r22) + (m3·r32)+….

Момент инерции является скалярной величиной и измеряется в кг·м2. Бо­лее точно следует записать, что J = ∫r2·dm. Интегрирование производится по всему объему тела. Теперь выражение для кинетической энергии приобре­тает вид

Wквр. = J·ω2/2 .

Момент инерции тела зависит от распределения массы, размеров и формы тела. Для тел правильной геометрической формы момент инер­ции от­носительно осей симметрии легко вычисляется по формулам, ко­торые при­водятся ниже.

^ Момент инерции материальной точки массой m, расположенной на расстоянии r от оси, определяется соотношением

J = m·r2 .

Момент инерции кольца (тонкого обруча, тонкостен­ного цилиндра) мас­сой m относительно оси симметрии, проходящей че­рез центр масс пер­пендикулярно плоскости кольца, определяется соот­ношением

J = m·R2 ,

где R – радиус кольца.

Момент инерции сплошного диска (однородного сплошного цилин­дра) массой m относительно оси симметрии, проходящей перпендикулярно плос­кости диска через центр масс, определяется соотноше­нием

J = m·R2/2,

где R – радиус диска.

Момент инерции однородного шара массой m относительно оси, прохо­дящей через его центр, определяется соотношением

J = (2/5)·m·R2,

где R – радиус шара.

Момент инерции однородного стержня массой m относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине,

J = m·l2/12,

где l – длина стержня.

Часто при решении задач требуется знать момент инерции относи­тельно оси, не проходящей через центр масс тела. В ряде случаев его нахож­дение не представляет серьезных трудностей. Для однород­ного тела массой m, если известен момент инерции J0 относительно оси, проходящей через центр масс, но необходимо найти момент инерции J относительно парал­лельной ей оси, расположенной на расстоянии d, можно воспользоваться тео­ремой Гюйгенса – Штейнера:

J = J0 + m·d2 .


Момент силы


Для изменения скорости вращения тела необходимо внешнее воз­дейст­вие. Из приложенных к телу внешних сил необходимо выделить составляю­щие, вызывающие вращение. Вращение может быть вызвано только силой F, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси враще­ния и направленной по касательной к окружности, которую описывает точка приложения силы. Та­кую силу можно назвать вращающей.

Заметим, что составляющие сил, параллельные оси вращения, не совер­шают работы, поскольку точки приложения сил пе­ремещаются перпендику­лярно их направлениям. Найдем работу, со­вершаемую постоянной по вели­чине вращающей силой, когда точка приложения силы смещается по окруж­ности радиуса r на расстояние Δl = r·Δφ. Угловое пе­ремещение Δφ в этом случае измеряется в радианах. Поскольку величина вра­щающей силы F не меняется, то совершаемая работа будет равна ΔA = F·Δl = F·r·Δφ. Произведе­ние вращающей силы F на радиус r назы­вают моментом вращающей силы, или вращающим моментом, дейст­вующим на данное тело. Момент силы принято обозначать латинской буквой М. Моментом данной силы относи­тельно какой-либо оси назы­вается произведение этой силы на ее плечо, т. е. на длину перпендику­ляра, проведенного от указанной оси до направления действия силы. Следовательно, совершаемая вращающим моментом М ра­бота равна произведению этого момента на угловое перемещение Δφ: ΔA = M·Δφ . Момент вращающей силы представляется в виде вектора, совпадаю­щего с осью вращения. Положительным считается вектор, в котором бы пе­ремещался буравчик (правый винт), вращаемый этим моментом. Вра­щающий момент , приложенный к телу, сообщает ему угловое уско­рение . Век­торы и ориентированы по оси вращения в одну и ту же сторону. Для уста­новления связи между величиной вращающего мо­мента и сообщаемым телу угловым ускорением можно воспользо­ваться тем, что работа вращаю­щей силы должна быть равна изменению кинетической энергии вращения: dA = dWквр. Таким образом, для вра­щающегося тела имеем

M·dφ = d(Jω2/2) = J·ω·dω.

Мы полагаем, что момент инерции J при вращении тела не изме­няется. Раз­делив полученное уравнение на dt и сократив на ω = dφ/dt, найдем

M = J · dφ/dt ; M = J · ε .

Записанное соотношение выражает основной закон динамики враща­тельного движения твердых тел, для которых J = const. Приобре­таемое те­лом угловое ускорение прямо пропорционально вращающему моменту и об­ратно пропорционально моменту инерции тела относи­тельно оси вращения: ε = M/J. В векторной форме этот закон записыва­ется в виде соотношения

.

Вращающий момент и угловое ускорение являются векторными величи­нами, момент инерции J – скалярная величина.

Если тело при вращении деформируется, то его момент инерции будет меняться. Это означает, что даже при постоянной угловой скоро­сти враще­ния тела меняется его кинетическая энергия. Из формулы для изменения ки­нетической энергии dWквр = d(Jω2/2), полагая момент инерции J переменной величиной, находим

dWквр = J·ω·dω + ω2·dJ/2.

Первое слагаемое характеризует изменение кинетической энергии, обу­слов­ленное изменением скорости вращения, а второе – изменением мо­мента инерции. При изменении расстояния ri от точечного тела до оси вращения внутренние силы, связывающие это тело с осью вращения, будут совершать работу. Эта работа dA будет отрицательная, если тело удаляется, и положи­тельная, если приближаются к оси вращения. Ра­боту можно найти, полагая силу, связывающую частицу массой mi с осью вращения, равной центростре­мительной силе:

dAi = Fцс·dri = mi·ω2·ri·dri = (ω2/2)·d(mi·ri2).

Для тела, состоящего из множества частиц с массами mi, получим:

dA = (ω2/2)·d(m1·r12 + m2·r22 + m3·r32 + …) = (ω2/2)·dJ .

В общем случае, когда на тело действует внешний вращающий момент М, изменение кинетической энергии должно быть приравнено сумме двух работ: работе внешнего вращающего момента M·dφ и работе внут­ренних сил (ω2/2)·dJ. При ускоренном вращении величины dWквр и M·dφ будут положительными, а работа внутренних сил dA будет отрица­тельна. Тогда получаем

dWквр = M·dφ – (ω2/2)·dJ.

Поскольку dWквр = d(J∙ω2/2), заменив dφ = ω·dt, находим, что

M·ω·dt = J∙ω·dω + ω2·dJ.

После сокращения получим

M = d(J·ω)/dt.

В векторной форме последнее уравнение записывается как

.

Это и есть общий вид основного уравнения динамики для тел, вращающихся вокруг неподвижной оси. Закон применим и для деформирующихся тел. Заметим, что у деформирующегося тела изменение скорости вра­щения может происходить и при отсутствии внешнего вращающего мо­мента. Она изменяется из-за вызванного внутренними силами измене­ния момента инерции.

Произведение момента инерции на угловую скорость называ­ется моментом импульса (моментом количества движения). Момент импульса принято обозначать латинской буквой . Произве­дение вращающего момента на время его действия называется им­пульсом вращающего момента. Поскольку J – скаляр, а  – вектор, то момент импульса есть векторная величина, ориентированная по направлению вектора угловой скорости. Импульс вращающего момента также является вектором, ориентированным по направлению век­тора . Пользуясь рассмотренными понятиями, основное уравнение динамики вращательного движения можно сформулировать следующим образом: импульс вращающего момента равен изменению момента им­пульса тела, к которому приложен этот вращающий момент:

.

Другая запись этого соотношения имеет вид или .


1.4. Законы сохранения в системе взаимодействующих тел


Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии


Тела, образующие механическую систему, взаимодействуют ме­жду собой и с телами, не входящими в данную систему. Соответственно и силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Если внешние силы отсутствуют, то система называется замк­нутой. Для замкнутых систем остаются неизменными три физические величины: импульс, момент импульса, энергия.

Закон сохранения импульса можно доказать, воспользовавшись вторым законом Ньютона: . Для замкнутой системы внешняя сила , поэтому , или . ^ Импульс замкнутой системы с течением времени не изменяется.

Закон сохранения момента импульса следует из основного уравнения динамики вращательного движения: . Если внешний момент сил , то , или . Момент импульса замкну­той системы с течением времени не изменяется.

Механическая система называется консервативной, если все дей­ствующие на нее непотенциальные (неконсервативные) силы не совер­шают работу, а все внешние потенциальные силы не меняются во вре­мени. Эксперименты показывают, что механическая энергия консерва­тивной системы не изменяется во времени (закон сохранения энергии).


^ Абсолютно упругие и неупругие соударения


Законы сохранения позволяют успешно решать многие физиче­ские задачи. Классическим примером являются столкно­вения физических тел, происходящие за очень короткий промежуток времени. Наиболее простым является центральное соударение двух тел. В этом случае центры масс тел движутся по одной прямой. Система рассматривается как замкнутая, и ее суммарный импульс при столкно­вении не изменяется. Принято рас­сматривать два идеализированных случая: абсолютно упругое и абсо­лютно неупругое соударения. При абсолютно упругом соударении ме­ханическая энергия соударяющихся тел не изменяется. При абсолютно неупругом соударении часть механической энергии расходуется на деформацию тел и переходит в тепло. После аб­солютно неупругого соударения тела начинают дви­гаться с одинаковой скоростью, как одно целое.

Схематически центральное абсолютно упругое соударение двух тел представлено на рис. 6. Запишем для него законы сохране­ния.

^ Закон сохранения импульса: полный результирующий импульс системы не изменяется: m1·v1 + m2·v2 = m1·u1 + m2·u2 .

Закон сохранения энергии: в момент соударения тел их потенци­альная энергия не изменяется, поэтому в записанном соотношении при­сутствует только кинетическая энергия:

.

Здесь m1 и m2 – массы тел, v1, v2, u1, u2 – скорости тел до и после соуда­рения.



Рис. 6. Схема центрального абсолютно упругого соударения двух тел


Объединив соотношения, записанные для законов сохранения, можно получить еще одну формулу, полезную при рассмотрении цен­трального абсолютно упругого соударения двух тел:

v1 + u1 = v2 + u2 .

Схематически центральное абсолютно неупругое соударение двух тел иллюстрирует рис. 7.



Рис. 7. Схема центрального абсолютно неупругого соударения двух тел


Закон сохранения импульса для центрального абсолютно неупру­гого соударения двух тел имеет вид:

m1·v1 + m2·v2 = (m1 + m2u .

Закон сохранения энергии – в момент соударения тел их потенци­альная энергия не изменяется, поэтому в записанном соотношении при­сутствует только кинетическая энергия:

.

Здесь m1 и m2 – массы тел, v1, v2, u – скорости тел до и после соударения, Wдеф – энергия, затраченная на деформацию тел.


^ Основные расчетные формулы





Скачать 0,99 Mb.
оставить комментарий
страница1/4
Дата27.09.2011
Размер0,99 Mb.
ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх