Рабочая учебная программа по дисциплине «Числовые системы» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование», профиль «Математика» по циклу Б. 3 профессиональный цикл, вариативная часть

Екатеринбург 2011

1. 
   ^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
   

Понятие числа является одним из основных понятий в математике. Формирование этого понятия происходило на протяжении всей истории развития математики. Теперь понятие числа кажется довольно простым, а арифметические действия и их свойства представляются вполне очевидными. В алгебре, геометрии и в других математических дисциплинах без доказательства используются основные свойства операций над числами, такие как коммутативность, ассоциативность сложения и умножения чисел, дистрибутивность умножения относительно сложения. В середине XIX века развитие аксиоматического метода и критический пересмотр основ математического анализа привели к необходимости обоснования понятия натурального числа. В работах Г. Кантора на основе понятия множества было предложено определение натурального числа. В работах Дж. Пеано понятие натурального числа вводилось на основе отношения порядка, которое затем аксиоматизировалось. На этой основе в дальнейшем были получены аксиоматические построения систем натуральных, целых и рациональных чисел.

1. 
   Цели и задачи дисциплины
   

• 
  сформировать у студентов правильное представление о необходимости аксиоматического построения числовых систем;
  
• 
  познакомить студентов с существующими способами аксиоматического построения систем натуральных, целых и рациональных чисел;
  
• 
  сформировать у студентов четкое представление о сущности аксиоматического метода в математике.
  

• 
  научить студентов пользоваться формальным методом при выводе свойств арифметических операций;
  
• 
  научить студентов применять различные формы метода математической индукции;
  
• 
  сформировать у студентов навыки построения сложных математических структур с помощью понятия конгруэнции;
  
• 
  сформировать представление о важности теории числовых систем для осуществления будущей профессиональной деятельности.
  

2. ^

   УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

3. 
   ^ СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
   
   1. 
      Структурированное содержание дисциплины
      

2. 
   Перечень тем лекционных занятий
   

3. 
   Перечень тем практических занятий
   

4. 
   Перечень тем лабораторных работ
   

1. 
   Вопросы для контроля и самоконтроля
   

1. 
   Определение системы натуральных чисел.
   
2. 
   Аксиомы Пеано. Следствия из аксиом Пеано.
   
3. 
   Простейшие свойства натуральных чисел.
   
4. 
   Сложение натуральных чисел.
   
5. 
   Свойства операции сложения.
   
6. 
   Существование операции сложения.
   
7. 
   Единственность операции сложения.
   
8. 
   Умножение натуральных чисел.
   
9. 
   Свойства операции умножения.
   
10. 
    Существование операции умножения.
    
11. 
    Единственность операции умножения.
    
12. 
    Отношение > для натуральных чисел и его свойства.
    
13. 
    Аксиома Архимеда.
    
14. 
    Дискретность множества натуральных чисел.
    
15. 
    Теорема о минимальном элементе.
    
16. 
    Различные формы принципа математической индукции.
    
17. 
    Понятие конгруэнции.
    
18. 
    Свойства конгруэнций.
    
19. 
    Упорядоченные кольца.
    
20. 
    Признак упорядоченности кольца.
    
21. 
    Свойства упорядоченных колец.
    
22. 
    Построение кольца целых чисел.
    
23. 
    Упорядоченность кольца целых чисел.
    
24. 
    Вложение алгебры натуральных чисел в кольцо Z.
    
25. 
    Стандартная форма записи целых чисел.
    
26. 
    Архимедовская упорядоченность кольца целых чисел.
    
27. 
    Построение поля рациональных чисел.
    
28. 
    Упорядоченность поля рациональных чисел.
    
29. 
    Стандартная форма записи рациональных чисел.
    
30. 
    Архимедовская упорядоченность поля рациональных чисел.
    

1. 
   Сумма и произведение нескольких натуральных чисел.
   
2. 
   Разность и частное натуральных чисел.
   

1. 
   Натуральные числа.
   
2. 
   Упорядоченные кольца.
   

1. 
   История формирования представлений о числе.
   
2. 
   Тело кватернионов.
   
3. 
   Кватернионы, октавы, алгебры с делением.
   
4. 
   Решетки подалгебр алгебры кватернионов и алгебры октав.
   
5. 
   Ассоциативные алгебры с делением.
   
6. 
   Метод математической индукции.
   
7. 
   Аксиоматический метод в математике.
   
8. 
   Исследовательские задачи по теме «Натуральные числа».
   
9. 
   Исследовательские задачи по теме «Целые числа».
   
10. 
    Исследовательские задачи по теме «Рациональные и иррациональные числа».
    
11. 
    Организация проектно-исследовательской деятельности учащихся по теме «Аксиомы арифметики».
    
12. 
    Организация проектно-исследовательской деятельности учащихся по теме «Метод математической индукции».
    
13. 
    Организация проектно-исследовательской деятельности учащихся по теме «Алгебры с делением».
    

1. 
   Аксиомы Пеано.
   
2. 
   Простейшие свойства натуральных чисел.
   
3. 
   Сложение натуральных чисел.
   
4. 
   Свойства операции сложения.
   
5. 
   Существование операции сложения на множестве N.
   
6. 
   Единственность операции сложения на множестве N.
   
7. 
   Умножение натуральных чисел.
   
8. 
   Свойства операции умножения.
   
9. 
   Существование операции умножения на множестве N.
   
10. 
    Единственность операции умножения на множестве N.
    
11. 
    Отношение сравнимости на множестве натуральных чисел.
    
12. 
    Свойства отношения сравнимости на N.
    
13. 
    Теорема о минимальном элементе.
    
14. 
    Различные формы принципа математической индукции.
    
15. 
    Построение кольца целых чисел.
    
16. 
    Упорядоченные кольца.
    
17. 
    Свойства упорядоченных колец.
    
18. 
    Упорядоченность кольца целых чисел.
    
19. 
    Вложение алгебры натуральных чисел в кольцо Z.
    
20. 
    Стандартная форма записи целых чисел.
    
21. 
    Архимедовская упорядоченность кольца целых чисел.
    
22. 
    Построение поля рациональных чисел.
    
23. 
    Упорядоченность поля рациональных чисел.
    
24. 
    Стандартная форма записи рациональных чисел.
    
25. 
    Архимедовская упорядоченность поля рациональных чисел.
    

1. 
   Решить задачу, применяя определение и свойства арифметических операций в системе натуральных чисел.
   
2. 
   Решить задачу, применяя метод математической индукции.
   
3. 
   Решить задачу, применяя свойства системы аксиом Пеано.
   
4. 
   Решить задачу, применяя определение и свойства упорядоченных колец.
   
5. 
   Решить задачу, применяя определение и свойства кольца целых чисел.
   
6. 
   Решить задачу, применяя определение и свойства поля рациональных чисел.
   
7. 
   Оцените правильность и рациональность предложенного решения задачи.
   
8. 
   Сравните заданные математические объекты. Выделите свойства, присущие всем указанным объектам. Сформулируйте свойства, присущие только некоторым (не всем) объектам. Укажите свойства, которыми не обладает ни один из указанных объектов.
   
9. 
   Составьте несколько задач по указанным данным и опишите способы их решения.
   
10. 
    Приведите примеры и контрпримеры для заданного определения.
    

1. 
   Демидов Т.И. Основания арифметики. Учеб.пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Учпедгиз, 1963. – 159 с.
   
2. 
   Ершова Т.И. Числовые системы. Метод. разработка для практических занятий. Свердл. пед. ин-т. – Свердловск, 1981. – 81 с.
   
3. 
   Ершова Т.И. Построение систем целых и рациональных чисел. Метод. разработка для практических занятий. Свердл. пед. ин-т. – Свердловск, 1988. –
   
4. 
   Ильиных А.П. Числовые системы. Учебное пособие. Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2003. – 92 c.
   

1. 
   Ларин С.В. Числовые системы. Учеб. пособие для спец. «032100 – Математика». М.: Академия, 2001. – 160 с.
   
2. 
   Ляпин Е.С., А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел: в 2-х ч. Ч.1: Числа. Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1974. – 383 с.
   
3. 
   Нечаев В.И. Числовые системы. Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М., Просвещение, 1975. – 199 с.
   
4. 
   Феферман С. Числовые системы. – М.: Наука, 1971. –
   

1. 
   Электронные варианты учебных пособий:
   
   1. 
      Ершова Т.И. Числовые системы. Метод. разработка для практических занятий. 2010, электрон. опт. диск (CD-ROM).
      
   2. 
      Ильиных А.П. Числовые системы. Учебное пособие. 2003, электрон. опт. диск (CD-ROM).
      
2. 
   Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет
   
   1. 
      www.exponenta.ru;
      
   2. 
      www.school.edu.ru),
      
   3. 
      http://e-lib.uspu.ru.