Отчет о научно-исследовательской работе «топологические, гомологические и комбинаторные методы в исследовании функциональных пространств» icon

Отчет о научно-исследовательской работе «топологические, гомологические и комбинаторные методы в исследовании функциональных пространств»



Смотрите также:
Исследование направлено на изучение свойств функциональных пространств различной природы...
Отчёт о научно-исследовательской работе за 2009 год...
Отчет о научно-исследовательской работе...
Отчет о научно-исследовательской работе...
Отчет по научно-исследовательской работе студенческого кружка "Гармония"...
Концепция Москва 2008 Цель программы Магистерская программа «Математика» направлена на...
Задачи: повысить уровень подготовки школьников в области научно-исследовательской работы...
Отчёт о научно-исследовательской работе. Nгос регистрации 01 80 005757 инв. N02. 90 002391...
Отчёт по научно-исследовательской работе за 2009 год...
Отчет о научно-исследовательской работе фгоу впо «Кемеровский гсхи» за 2008год...
Отчет о научно-исследовательской работе...
Отчет о работе академика рао романцева Геннадия Михайловича за 2010 год краткая характеристика...



скачать
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ


УДК 515.1

№ госрегистрации

Инв. №


УТВЕРЖДАЮ

Проректор ГУ ВШЭ

_________ С.В. Шишкин


ОТЧЕТ

О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ


«ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ, ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ И КОМБИНАТОРНЫЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ функциональных пространств»№ 09-08-0008.

(итоговый)


Руководитель темы,

д.ф.-м.н., профессор кафедры

дискретной математики

факультета математики ГУ ВШЭ ___________________ С.К.Ландо

подпись, дата


Москва, 2010

^ СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ


Руководитель темы:







д.ф.-м.н., зав. кафедрой

дискретной математики

факультета математики ГУ ВШЭ


______________

(дата, подпись)

С.К.Ландо

^ Исполнители темы:







д.ф.-м.н., профессор кафедры

дискретной математики

факультета математики ГУ ВШЭ


______________

(дата, подпись)

И.В.Артамкин

к.ф.-м.н., доцент кафедры

геометрии и топологии

факультета математики ГУ ВШЭ


______________

(дата, подпись)

Ю.М.Бурман

д.ф.-м.н., академик РАН, зав. кафедрой

геометрии и топологии

факультета математики ГУ ВШЭ


______________

(дата, подпись)

В.А.Васильев

к.ф.-м.н., профессор кафедры алгебры

факультета математики ГУ ВШЭ



______________

(дата, подпись)

А.Л.Городенцев

к.ф.-м.н., доцент кафедры алгебры

факультета математики ГУ ВШЭ



______________

(дата, подпись)

С.М.Львовский

д.ф.-м.н., зав. кафедрой алгебры

факультета математики ГУ ВШЭ



______________

(дата, подпись)

А.Н.Рудаков

к.ф.-м.н., профессор кафедры геометрии и топологии

факультета математики ГУ ВШЭ


______________

(дата, подпись)

Б.Л.Фейгин

д.ф.-м.н., профессор кафедры алгебры

факультета математики ГУ ВШЭ



______________

(дата, подпись)

М.В.Финкельберг

д.ф.-м.н., профессор кафедры

геометрии и топологии

факультета математики ГУ ВШЭ


______________

(дата, подпись)

О.В.Шварцман



Реферат


Ключевые слова: ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПРОСТРАНСТВО МОДУЛЕЙ, УЗЕЛ, ЗАЦЕПЛЕНИЕ, ГРУППА, ПОРОЖДЕННАЯ ОТРАЖЕНИЯМИ, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ.


Исследование пространств отображений кривых в многообразия различных размерностей – как в вещественном, так и в комплексном случае – находится на переднем крае современной математики. Эти пространства находят разнообразные применения при изучении топологии целевых пространств и при построении моделей физических теорий. Проект посвящен изучению функциональных пространств разнообразными методами. Среди применяемых методов преобладают комбинаторные – ранее разработанные участниками проекта.


Результаты исследования отражены в публикациях:

^ 1. Артамкин И.В.; Левицкая Ю.А.; Шабат Г.Б.; Примеры семейств штребелевых дифференциалов на гиперэллиптических кривых, Функц. анализ и его прил., 2009, т.43, вып. 2, 73-75

2. Артамкин И.В. Раскрашенные графы и матричные интегралы, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 2009, т. 264, 8-24

3. Yu.M.Burman, D.Zvonkine, Cycle factorizations and 1-faced graph embeddings, European Journal of Combinatorics, 2010. Т. 31. № 1. C. 129—144

^ 4. B. Feigin, M. Lashkevich, Form factors of descendant operators: Free field construction and reflection relations, J.Phys.A42:304014, 2009
5. B. Feigin, E. Frenkel, L. Rybnikov, On the Endomorphisms of Weyl Modules over Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level, Letters in Mathematical Physics, vol.88 (1-3), 163-173 (2009).
6. B. Feigin, E. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa and E. Mukhin, Fermionic Formulas for Eigenfunctions of the Difference Toda Hamiltonian, Letters in Mathematical Physics, vol.88 (1-3), 39-77  (2009).

7. M.V.Finkelberg (with V.Ginzburg and R.Travkin), Mirabolic affine Grassmannian and character sheaves, Selecta Mathematica (New Series), volume 14 (2009), 607--628.
8. M.V.Finkelberg (with R.Bezrukavnikov and V.Ostrik), On tensor categories attached to cells in affine Weyl groups. III. Israel Journal of Mathematics, volume 170 (2009), 207—234.

9. S.A.Grishanov, V.A.Vassiliev, Fiedler Type Combinatorial Formulas for Fiedler Type Knot Invariants in $M^2 \times R^1$, Topology and its Applications, 156 (2009),  2307-2316.

10. S.A.Grishanov, V.Meshkov, V.A.Vassiliev, Recognizing textile structures by finite type knot invariants, Journal of knot theory and its ramifications, 2009. vol.. 18. № 2. pp. 209—235

11. М.Э.Казарян, С.К.Ландо, Алгебро-геометрическое доказательство гипотезы Виттена, Приложение к книге А.К.Звонкин, С.К.Ландо, Графы на поверхностях и их приложения, М., МЦНМО, 2010

12. A.N.Rudakov, Morphisms of Verma modules over exceptional Lie superalgebra E(5,10), preprint 12 pp, (2009)

13. О.В.Шварцман, Кручение в абелизации группы Торелли T как SP(Z2)-модуль, Математические заметки, т. 86, вып. 3, с. 478-480 (2009)

14. О.В.Шварцман, Гиперболические группы Шевалле в C2, Функциональный анализ и его приложения, т. 43, вып. 2, 64-72 (2009)


Среди соавторов участников гранта представлены исследователи из Японии (Jimbo, Miwa), США (Bezrukavnikov, Frenkel, Ginzburg, Mukhin, Ostrik, Travkin), Великобритании (Grishanov).

Диссертация «Теоремы типа Шевалле для дискретных групп комплексных отражений» на соискание ученой степени доктора физико-математических наук защищена О.В.Шварцманом в Диссертационном совете механико-математического факультета МГУ в октябре 2009 г.

Результаты исследования представлены и обсуждены на конференциях и семинарах:

М.В.Финкельберг


1. Yangians and cohomology rings of Giesecker moduli spaces, часовой приглашенный доклад на конференции Geometric Representation Theory в Математическом Институте в Обервольвахе, Германия, март;

2. Affine Gelfand-Tsetlin bases, часовой приглашенный доклад на конференции Algebraic Lie structures в Математическом Институте имени Ньютона в Кембридже, Англия, март;

3. Integrable modules from double affine Grassmannians, часовой приглашенный доклад на конференции Instantons, quiver varieties and Donaldson-Thomas invariants в Международном математическом центре в Люмини, Франция, в сентябре;

4. Quiver approach to Laumon moduli spaces, часовой приглашенный доклад на математическом семинаре Сиднейского университета, Австралия, в ноябре.


В.А.Васильев

5. Приглашенный пленарный доклад на съезде Китайского Математического Общества, "Solved and Unsolved Problems of Geometry and Monodromy Theory Arising from Newton's "Principia", April 2009.


6. Пленарный доклад на международной геометрической конференции памяти Г.Ф.Лаптева, Август 2009, МГУ.


А.Л.Городенцев


7. 2nd Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics "Einstein at SISSA 2009" (Trieste,SISSA, July 13-18, 2009)


8. Third International Conference on Geometry and Quantization "GEOQUANT" (University of Luxemburg, September 7-11, 2009)


Б.Л.Фейгин.


9. Международная конференция  "New Trends in Quantum Integrable Systems" , Киото, Япония, июль 2009. Приглашенный доклад "Представления торроидных алгебр."


С.К.Ландо


10. INTERNATIONAL CONFERENCE "DISCRETE MATHEMATICS, ALGEBRA AND THEIR APPLICATIONS" (October 19-22, 2009, Minsk, Belarus) с докладом «Graph invariants producing knot invariants»

11. International Workshop on Integrable Systems and Their New Developments (Chern Institute of Mathematics, Tianjin, China, November 9-12, 2009) с докладом «Hurwitz numbers and integrable hierarchies»


12. Institute of Theoretical Physics, Chinese Academy of Sciences (Beijing, China, November 16, 2009), выступление «Enumeration of triangulations»


О.В.Шварцман

13. Свободные алгебры автоморфных форм для фуксовых групп рода нуль, доклад на заседании Санкт-Петербургского математического общества, апрель

^ I. Геометрия и комбинаторика пространств отображений вещественных кривых


С топологической точки зрения вещественные кривые устроены очень просто. Каждая такая компактная кривая представляет собой несвязное объединение (конечного числа) окружностей. Пространства гладких невырожденных отображений таких кривых в многообразия больших размерностей используются для анализа топологии целевых многообразий. В качестве целевых многообразий чаще всего используются

- трехмерные многообразия (в этом случае речь идет о топологии узлов и зацеплений в трехмерных пространствах);

- двумерные поверхности (и тогда мы говорим о кривых или орнаментах на поверхностях).

Две упомянутые выше теории тесно связаны между собой, поскольку каждому орнаменту на двумерной поверхности можно сопоставить зацепление в сферизации касательного расслоения к этой поверхности. А именно, мы определяем поднятие точки кривой на двумерной поверхности как единичный касательный вектор к кривой в этой точке. В результате кривая (или, более общим образом, орнамент) поднимается в узел (или, более общим образом, зацепление) в трехмерном многообразии — сферизации касательного расслоения.

Основным инструментом изучения геометрии пространств отображений вещественных кривых в трехмерные и двумерные пространства являются инварианты общих отображений. Пространства инвариантов представляют собой нульмерные когомологии соответствующих функциональных пространств. Старшие когомологии также являются важной характеристикой функциональных пространств, однако их вычисление сопряжено с принципиальными трудностями, до сих пор не нашедшими разрешения. Если размерности целевых многообразий выше трех, то пространства инвариантов тривиальны и нужно обращаться к высшим когомологиям, что делает задачу изучения соответствующих функциональных пространств практически недоступной современным инструментам.

Около 1990 г. В.А.Васильев заложил основы теории инвариантов конечного порядка (и высших когомологий конечного порядка). Инварианты конечного порядка играют в полной системе инвариантов ту же роль, какую многочлены играют по отношению к пространству всех гладких функций. Предложенный Васильевым подход стал доминирующим в мировой исследовательской литературе. Важным свойством инвариантов конечного порядка является их принципиальная выразимость в комбинаторных терминах — в частности, на языке плоских диаграмм узлов и зацеплений. Тем самым, несмотря на то, что функциональные пространства бесконечномерны, их наиболее интересные свойства допускают описание на комбинаторном языке.

В процессе реализации настоящего проекта его участниками были получены следующие результаты об инвариантах конечного порядка:


1. Найдены комбинаторные формулы типа Фидлера-Поляка-Виро для основной серии инвариантов узлов в утолщенной поверхности. Подобные формулы играют принципиальную роль в анализе узлов в трехмерных многообразиях, имеющих нетривиальную фундаментальную группу, тогда как обычно удается лишь построить явные комбинаторные выражения для узлов в гомологических сферах, устроенных подобно стандартной трехмерной сфере.

2. Построены аналогичные инварианты для многокомпонентных зацеплений и
найдены их комбинаторные реализации.

Полученные результаты находят важные приложения в доказательстве нерасщепимости текстильных структур — нити, образующие периодическую текстильную структуру, допускают описание в виде зацепления в утолщенной поверхности.


Одним из простейших и наиболее важных инвариантов конечного порядка общей кривой на сфере является ее индекс Уитни (число вращения). Формула ХасслераУитни (1937 г.) выражает число вращения через подходящим образом введенные знаки точек самопересечения кривой. Понятие числа вращения допускает обобщение на поверхности произвольного рода, однако аналог формулы Уитни до последнего времени оставался неизвестным. В процессе реализации проекта был построен аналог формулы Уитни для кривых на произвольных поверхностях.

3. Пусть на ориентируемой поверхности (без края, но, как правило, некомпактной) заданы векторное поле без нулей и гладкая кривая с отмеченной точкой, все особенности которой — простые трансверсальные самопересечения. Тогда сумма знаков точек самопересечения кривой равна сумме ее индекса Уитни, индекса пересечения кривой с положительной полутраекторией поля, проведенной через отмеченную точку, и индекса пересечения кривой с сепаратрисами поля.

4. Доказана более точная версия приведенной выше теоремы, где отдельно рассматриваются точки самопересечения, в которых отрезок кривой между двумя прохождениями этой точки образует петлю заданного гомотопического класса.


^ II. Геометрия и комбинаторика пространств отображений комплексных кривых


Пространства голоморфных отображений комплексных кривых в комплексные многообразия служат одной из возможных комплексификаций пространств отображений вещественных кривых. У таких отображений имеются свойства, делающие их отличие от вещественного случая весьма существенным. Во-первых, на поверхностях положительного рода структуру комплексной кривой можно ввести многими различными способами. Более того, если мы фиксируем набор точек на кривой, то пространство комплексных структур с выбранным набором точек приобретает положительную размерность уже на кривых рода 0. Во-вторых, в комплексном случае нетривиальную топологию имеет уже пространство отображений кривых данного рода в заданную кривую — т.е., здесь осмысленно рассматривать случай одномерного целевого многообразия. Еще одним важным отличием комплексного случая от вещественного — на этот раз приводящим к упрощению изучаемого объекта — является конечномерность пространств отображений (при фиксации когомологического класса образа кривой).

Пространства голоморфных отображений комплексных кривых в проективную прямую (т.е. пространства мероморфных функций) служат основным примером пространств отображений с одномерным целевым многообразием. Подобно вещественному случаю, геометрия пространств мероморфных функций также допускает описание в комбинаторных терминах. При этом в качестве комбинаторных объектов могут выступать

- числа Гурвица, перечисляющие функции с предписанными типами ветвлений накрытий;

- тесно связанные с числами Гурвица наборы элементов в группах перестановок, описывающих монодромию накрытий;

- сопоставляемые мероморфным функциям графы, вложенные в поверхности;

- модулярные графы, описывающие стратификацию пространств отображений.

Пространства модулей комплексных кривых и мероморфных функций на них — классический математический объект, получивший в последние десятилетия развитие и нашедший многочисленные применения в работах Делиня, Мамфорда, Виттена, Концевича, Окунькова и многих других. Значительный вклад в изучение этих пространств внесен руководителем настоящего проекта.


При реализации проекта получены следующие результаты:


1. Получена формула для производящей функции Гурвица циклических
перестановок: Производящая функция Гурвица циклических перестановок рода g равна произведению суммы деревьев на однородный член степени 2g ряда sh(t/2)/(t/2), примененного к матрице Кирхгоффа.


2. В качестве следствия предыдущего результата получена формула для количества одногранных вложений произвольного графа: Количество
одногранных вложений графа, деленное на общее число вложений графа,
равно сумме весов всех его декораций.


3. Явно построены семейства штребелевых дифференциалов на однопараметрических семействах гиперэллиптических кривых четных родов. Дано описание сепаратрис этих квадратичных дифференциалов. Сепаратрисы образуют граф, вложенный в соответствующую поверхность и характеризующий представленный ею страт в комбинаторном пространстве модулей комплексных кривых.


4. В терминах производящих функций для раскрашенных графов найдено асимптотическое разложение матричного интеграла, описывающего объединение открытых клеток в комбинаторном пространстве модулей комплексных кривых. Доказывается, что полученное разложение является измельчением разложения Концевича, которое получается суммированием по классам изоморфных ленточных графов, что, в частности, дает независимое от техники фейнмановских диаграмм доказательство результатов Концевича.


5. Построены новые, ранее неизвестные, соотношения на универсальные классы, характеризующие геометрию пространств модулей мероморфных функций.

^ III. Группы, порожденные отражениями, их представления и действия на пространствах модулей


Геометрические характеристики функциональных пространств имеют глубокую и разнообразную алгебраическую интерпретацию. Так, производящие функции для численных характеристик являются решениями интегрируемых иерархий типа Кадомцева-Петвиашвили и Тоды. Инварианты алгебраических групп, порожденных отражениями, представляют собой вырожденный случай пространств мероморфных функций на комплексных кривых. Их изучение характеризует предельные свойства функциональных пространств.


В ходе выполнения проекта получены следующие результаты, имеющие алгебраическую природу:


1. Категорная асимптотическая алгебра Ивахори-Гекке отождествлена с моноидальной категорией пучков на конечном множестве, эквивариантных относительно конечной группы Люстига (т.е. доказана гипотеза Люстига 1987 года). Соответствующая клетка характер-пучков отождествлена с Дринфельдовским центром категорной асимптотической алгебры Ивахори-Гекке. В частности, неприводимые характер-пучки в этой клетке параметризуются неприводимыми представлениями дубля Дринфельда конечной группы Люстига. Тем самым дано концептуальное доказательство классификации Люстига, полученной в 1986 году разбором всевозможных случаев.


2. Определены мираболические характер-пучки на полной линейной группе.
Соответствующие функции "След Фробениуса" вычислены в терминах двойных многочленов Костки-Шоджи. Они образуют базис в пространстве
мираболически-инвариантных функций на полной линейной группе над конечным полем. Явно вычислено двусторонее действие алгебры Грина-Зелевинского в этом базисе.

3. Построено и исследовано однопараметрическое семейство канонических инвариантов групп Коксетера: для общих значений параметра деформации квазигармонические инварианты степеней, равных показателям группы, являются системой образующих кольца инвариантов группы.


4. Над полем характеристики нуль построена функториальная относительно отображений конечных множеств M -> N строгая гомотопическая ретракция между цепным комплексом C(M) комбинаторного симплекса с множеством вершин M и цепным комплексом C(B(M)) его барицентрического разбиения. Доказано,что такая ретракция единственна с точностью до умножения сечения C(M) -> C(B(M)) и проекции C(B(M)) -> C(M) на обратные друг другу константы. Доказано, что на цепном комплексе C(M) существует единственная с точностью до постоянного множителя структура A-бесконечность-коалгебры, функториальная относительно отображений конечных множеств и индуцирующая сама себя при функториальной барицентрической ретракции. Для одномерного симплекса (двухэлементного множества M) эта барицентрически инвариантная функториальная A-бесконечность-структура вычислена явно — производящей функцией для старших копроизведений оказывается ряд Тодда.


5. Группа Торелли двумерной поверхности представляет собой подгруппу группы классов отображений, тривиально действующую на гомологиях поверхности. Кручение в факторгруппе этой группы по ее коммутанту — конечномерное векторное пространство над полем из двух элементов, и на нем действует симплектическая группа над тем же полем. Дано прямое построение ряда Жордана-Гельдера модулярного представления этой симплектической группы.


6. Доказано существование фермионных формул для собственных функцый разностного гамильтониана Тоды. С помощью комбинаторных свойств фермионных формул выведены тождества на коэффициенты этих функций.


7. Доказано, что алгебра эндоморфизмов модуля Вейля на критическом уровне изоморфна алгебре функций на пространстве безмонодромных оперов на диске с регулярной особенностью и вычетом, равным старшему весу модуля Вейля.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ


В ходе реализации проекта «ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ, ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ И КОМБИНАТОРНЫЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ функциональных пространств»№ 09-08-0008 был получен целый ряд важных результатов об этих пространствах. Эти результаты опубликованы в российских и мировых рецензируемых математических журналах; ряд результатов подготовлен к публикации в 2010 и 2011 гг. Проект продемонстрировал эффективность комбинаторных подходов к изучению функциональных пространств, ранее разработанных участниками проекта. В процессе исследования произошло формирование 2-3 небольших исследовательских групп, усилия которых концентрируются на различных, хотя и близких, направлениях. Можно предполагать, что в недалеком будущем каждая из этих групп возьмется за реализацию собственного проекта.




Скачать 130,95 Kb.
оставить комментарий
Дата13.10.2011
Размер130,95 Kb.
ТипОтчет, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх