скачать
Утверждаю
зав. кафедрой алгебры
___________________
«___»_________2009г.
Брянский государственный университет им. Академика И.Г. Петровского
Учебная программа
По курсу «Геометрия и алгебра», для студентов ФМФ (2 курс 1 семестр, 2009-2010 учебный год).
Общий объем курса 100 часов, из них 50 часов лекций, 50 часов практических занятий.
Программу разработал Чиспияков Сергей Валентинович.
Лекция 1.
|
Множество. Операции над множествами. Подмножества. Пустое множество. Универсальное множество. Метод встречных включений.
|
Практическое занятие 1.
|
Множества. Метод встречных включений. [2] 1.5, 1.7 (1,3,5), 1.10 (1,3), 1.11 (1,3,5,7,9,1), [5] 1 (1,3,5,7,9). Д/з. [2] 1.7 (2,4), 1.10 (2), 1.11 (2,4,6,8), [5] 1 (2,4,6,8,10).
|
|
Лекция 2.
|
Свойства операций над множествами. Мощность множеств. Метод включения и исключения.
|
Практическое занятие 2.
|
Свойства операций над множествами. Метод включения и исключения. [2] 1.12 (1,3,5), 1.13 (1,3), 1.14 (1,3,5), [5] 3 (21, 23, 25, 27, 29).
Д/з. [2] 1.12 (2,4), 1.13 (2,4), 1.13 (2,4), [5] 3 (22, 24, 26, 28, 30).
|
|
Лекция 3.
|
Прямое произведение множеств. N-арное отношение. Бинарное отношение. Свойства бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Отношение порядка. Композиция бинарных отношений. Инверсное отношение.
|
Практическое занятие 3.
|
Бинарное отношение. Свойства бинарных отношений. Отношение порядка. [2] 1.34 (1), 1.35 (1,3,5), 1.36 (1,3), 1.40 (1,3,5), [5] 8 (71, 73, 75, 77, 79).
Д/з. [2] 1.34 (2), 1.35 (2,4), 1.36 (2,2), 1.40 (2,4,6), [5] 8 (72, 74, 76, 78,80).
|
|
Лекция 4.
|
Функциональное отношение. Область определения и область значения. Свойства функциональных отношений. Тождественное отношение. Свойства тождественного отношения.
|
Практическое занятие 4.
|
Отношение эквивалентности. Композиция бинарных отношений. Инверсное отношение. [2] 1.40 (1,3,7), 1.57 (1,3), [5] 9 (81, 83, 85, 87)
д/з [2] 1.42 (12), 1.50, 1.51, 1.57 (2), [5] 9 (82,84,86,88,90).
|
Самостоят.
|
Лекция 5.
|
Композиция функциональных отношений. Обратная функция. Теорема об обратной функции.
|
Практическое занятие 5.
|
Функциональное отношение. Свойства функциональных отношений. Композиция функциональных отношений. [2] 1.52 (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13).
д/з . [2] 1.52 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14).
|
|
Лекция 6.
|
Аксиомы Пеано. Метод математической индукции. Множество натуральных чисел
|
Практическое занятие 6.
|
Обратная функция.
|
Самостоят.
|
Лекция 7.
|
Бинарные алгебраические операции. Свойства бинарных алгебраических операций. Алгебры. N-арные алгебраические операции.
|
Практическое занятие 7.
|
Бинарные алгебраические операции. Свойства бинарных алгебраических операций. [2] 2.1 (1,2,3,4,5,6), 8.2, 8.3 (1,3,5,7), 8.4 (1,3), 8.5 (3,5,7).
д/з [2] 2.1 (7,8,9), 8.3 (2,4,6), 8.5 (4,6,8).
|
|
Лекция 8.
|
Группа. Подгруппа. Критерий подгруппы. Простейшие свойства группы.
|
Практическое занятие 8.
|
Группа. Подгруппа. Критерий подгруппы.
[2] 8.12, 8.14 (6,7,8), 8.15 (1,3,5), 8.16 (1,2).
д/з 8.14 (2,9), 8.15 (2,4), 8.16 (3,4).
|
|
Лекция 9.
|
Гомоморфизмы, эпиморфизмы, изоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма групп.
|
Практическое занятие 9.
|
Гомоморфизмы, изоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма групп. [2] 8.70 (1,3,5,7,9).
д/з [2] 8.70 (2,4,6,8).
|
Самостоят.
|
Лекция 10.
|
Кольцо. Подкольцо. Критерий подкольца. Простейшие свойства колец. Гомоморфизмы колец.
|
Практическое занятие 10.
|
Кольцо. Подкольцо. Критерий подкольца.
[2] 9.1 (5,7,9,11), 9.2 (5,7).
д/з [2] 9.1 (6,8,10,12), 9.2 (6,8).
|
|
Лекция 11.
|
Поле. Подполе. Критерий подполя. Простейшие свойства полей.
|
Практическое занятие 11.
|
Область целостности. Поле. Подполе. Критерий подполя. [2] 9.16, 9.17 (1,3,5), 9.18 (1,3,5), 9.29 (1,3,5).
д/з [2] 9.17 (2,4,6), 9.18 (2,4,6), 9.29 (2,4,6).
|
|
Лекция 12.
|
Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных чисел. Комплексная плоскость.
|
Практическое занятие 12.
|
Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексных чисел. [2] 2.4 (1,3,5,7), 2.15 (1,3,5), 2.16 (1,3,5), 2.26 (1,3,5).
д/з [2] 2.4 (2,4), 2.15 (2,4), 2.16 (2,4), 2.26 (2,4).
|
|
Лекция 13.
|
Тригонометрическая форма комплексных чисел. Формула Муавра. Экспоненциальная форма комплексных чисел.
|
Практическое занятие 13.
|
Контрольная работа № 1.
|
|
Лекция 14.
|
Векторное пространство. Подпространство. Критерий подпространства. Простейшие свойства векторных пространств. Линейно зависимая, линейно не зависимая система векторов. Базис векторных пространств. Координаты вектора в базисе. Гомоморфизмы векторных пространств.
|
Практическое занятие 14.
|
Векторное пространство. Подпространство. Критерий подпространства. Базис векторных пространств. Координаты вектора в базисе.
[2] 4.7 (1,3,5), 4.14 (1,3), 4.22 (1,3,5)
д/з [2] 4.7 (2,4), 4.14 (2), 4.22 (2,4)
|
|
Лекция 15.
|
Системы линейных уравнений. Совместная, несовместная система уравнений. Определенная, неопределенная система уравнений. Теорема о количестве корней однородной системы уравнений.
|
Практическое занятие 15.
|
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
[2] 4.18 (1,3,5,7,9,11)
д/з [2] 4.18 (2,4,6,8,10)
|
|
Лекция 16.
|
Векторные пространства со скалярным умножением. Нулевое скалярное умножение. Существование ненулевого скалярного умножения векторов. Стандартное скалярное умножение векторов.
|
Практическое занятие 16.
|
Скалярное произведение векторов. [2] 4.78 (1,3,5), 4.79 (1), 4.85 (1,3).
д/з [2] 4.78 (2,4), 4.79 (2), 4.85 (2).
|
Самостоят.
|
Лекция 17.
|
Ортогональный базис. Дополнение ортогональной системы векторов до ортогонального базиса.
|
Практическое занятие 17.
|
Ортогональный базис. Процесс ортогонализации. [2] 4.92 (1).
д/з [2] 4.92 (2).
|
|
Лекция 18.
|
Евклидово векторное пространство. Теорема Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Ортонормированный базис в Евклидовом пространстве.
|
Практическое занятие 18.
|
Ортонормированный базис в Евклидовом пространстве. Процесс ортонормирования
[2] 4.94 (1), 4.97 (1).
д/з [2] 4.94 (2), 4.97 (2).
|
|
Лекция 19.
|
Скалярное умножение в евклидовых пространствах с ортонормированным базисом. Изоморфизм евклидовых векторных пространств одной размерности.
|
Практическое занятие 19.
|
Дополнение ортогональной системы векторов до ортогонального базиса. [2] 4.93 (1).
д/з [2] 4.93 (2).
|
Самостоят.
|
Лекция 20.
|
Ортогональное дополнение векторного пространства со скалярным умножением. Обратимые операторы.
|
Практическое занятие 20.
|
Операции над матрицами. Обратная матрица.
[2] 3.2 (1), 3.3 (1,3,5), 3.4 (1,3), 3.38 (3,5).
д/з [2] 3.2 (2), 3.3 (2,4,6), 3.4 (2), 3.38 (4,6).
|
|
Лекция 21.
|
Матрица. Операции над матрицами. Вырожденная матрица. Невырожденные элементарные преобразования строк матрицы. Условие невырожденности матрицы.
|
Практическое занятие 21.
|
Матричные уравнения.
[2] 3.16 (1,3), 3.40 (1,3,5).
д/з [2] 3.16 (2), 3.40 (2,4).
|
Самостоят.
|
Лекция 22.
|
Обратная матрица. Условие обратимости матрицы.
|
Практическое занятие 22.
|
Вычисление определителей. [2] 3.30 (1,3,5,7), 3.33 (1,3), 3.34 (1)
д/з [2] 3.30 (2,4,6), 3.33 (2,4), 3.34 (2)
|
|
Лекция 23.
|
Перестановка. Теорема о четности перестановки. Определитель n-го порядка. Разложение определителя по строке, столбцу матрицы.
|
Практическое занятие 23.
|
Правило Крамера. Формула обратной матрицы.
[2] 3.55 (1,3,5,7)
д/з [2] 3.55 (2,4,6).
|
|
Лекция 24.
|
Алгебраическое дополнение. Минор. Теорема о связи минора и алгебраического дополнения матрицы. Свойства определителей. Правило Крамера. Формула обратной матрицы.
|
Практическое занятие 24.
|
Контрольная работа № 2.
|
|
Лекция 25.
|
Правило Крамера. Формула обратной матрицы. Матричные уравнения. Теорема о ранге матрицы.
|
|
|
|
Рекомендованная литература:
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. -559 с.
Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высшая школа, 1982. -223 с.
Фадеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. СПб.: Изд. «Лань», 2005. -288с.
Анищенко А.Г. Методические рекомендации для студентов заочников 4 курса физико-математического факультета. Брянск 1989 г.
Горбачев В.И., Иноземцева Т.М. Методические рекомендации для студентов заочников 1 курса ФМФ. Брянск 1991.
Горбачев В.И. Методические рекомендации для студентов заочников 3 курса ФМФ. Брянск 1988.
Добавить документ в свой блог или на сайт
|
