Задачи: проанализировать литературу по данной теме; исследовать различные методы решений уравнений в целых числах icon

Задачи: проанализировать литературу по данной теме; исследовать различные методы решений уравнений в целых числах



Смотрите также:
«Уравнения с двумя неизвестными в целых числах»...
Программа по курсу «Математика»...
Программа элективного курса по алгебре «Методы решения рациональных уравнений и систем...
Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной...
Методы решения игровых задач...
Методические указания для выполнения рефератов...
Методические указания по их выполнению 1 Тематика контрольных работ...
Задачи : Проанализировать педагогическую и методическую литературу по данной теме...
Настоящий практикум составлен для того...
Задачи: Исследовать литературу содержащую, необходимую информацию для проекта...
Вопросы к экзамену Методы решений задач математической физики...
Тему курса математики VII-XI классов «системы уравнений» можно назвать значительной, т к...



скачать


Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»


Решение уравнений в целых числах

математика


Скворцова Дарья Андреевна, 15 лет

Научный руководитель:

Дударь Галина Аркадьевна

МОУ «Брянский городской лицей №2»


Брянск 2011

Содержание

Введение

Огромное количество задач различной направленности подразумевают получение ответа в целых или натуральных числах. Наверняка, и вам попадались такие, где в ответе нужно указать количество людей или же других «неделимых» предметов. Они решаются с помощью уравнений, относящихся в математике к отдельной группе уравнений в целых числах (их еще называют диофантовыми), т.к. способы их решений отличаются от привычных .

Однажды, при подготовке к олимпиаде, я столкнулась с такой задачей: ^ Найдите целое число, которое при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 – остаток 3, а при делении на 7 – остаток 2. (Задача из древнего китайского сборника, встречающаяся с теми же числовыми данными почти через тысячелетие в «Книге абака» Леонардо Пизанского.) Она заинтересовала меня, т.к. была непохожа на те задачи, которые мы решали на уроках, и я поставила себе цель – научиться решать задачи такого типа, что послужило главной мотивацией к написанию работы по данной теме. Кроме того, задания на решение уравнений в целых числах часто встречаются в олимпиадах и в текстах Единого Государственного Экзамена (задание С6 ), и вызывают сложности у учащихся. Я решила разобраться в этой теме .

Целью работы является исследование методов решения диофантовых уравнений и задач, требующих ответа в целых числах.

Задачи:

- проанализировать литературу по данной теме;

- исследовать различные методы решений уравнений в целых числах;

- применить полученные знания при решении заданий:

Объектом исследования являются уравнения в целых числах.

Методы исследования;

- изучение литературы по данному вопросу;

- анализ материала;

- выбор наиболее эффективных и доступных способов решений;

- применение их для решения выбранных заданий;

- синтез полученных данных.


^ Основная часть

1.Немного истории

Необычайный расцвет греческой науки в 4 - 3 вв. до н.э. сменился к началу новой эры постепенным спадом в связи с завоеванием Греции Римом, а потом и начавшимся разложением Римской империи. Но на фоне этого угасания еще вспыхивает яркий факел. В 3 веке уже новой эры появляется сочинение александрийского математика Диофанта «Арифметика».

О жизни самого Диофанта нам известно только из стихотворения, содержащегося в «Палатинской антологии». В этой антологии содержалось 48 задач в стихах, собранных греческим поэтом и математиком 5 века Метродором. Среди них были задачи о бассейне, о короне Герона, о жизненном пути Диофанта. Последняя оформлена в виде эпитафии – надгробной надписи.

^ Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

^ Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его

прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Тут и увидел предел жизни печальной своей.


Трактат «Арифметика» занимает особое место в античной математике не только по времени своего появления, но и по содержанию. Большую его часть составляют разнообразные задачи по теории чисел и их решения. Но, главное, автор использует не геометрический подход, как это было принято у древних греков, - решения Диофанта предвосхищают алгебраические и теоретико-числовые методы.

К сожалению, из 13 книг, составлявших «Арифметику», до нас дошли лишь первые 6, а остальные погибли в перипетиях тогдашнего бурного времени. Достаточно сказать, что через 100 лет после смерти Диофанта была сожжена знаменитая александрийская библиотека, содержавшая бесценные сокровища древнегреческой науки.

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами.


2. Методы решения

Итак, ^ Диофантово уравнение — это уравнение вида P(x1, … , xm) = 0,

где P — целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные xi принимают целые значения.

Рассмотрим несколько задач, решения которых сводится к решению уравнений в целых числах.


^ Метод разложения на множители

Преобразование уравнения путём представления многочлена в виде произведения двух и более множителей.

(Заочный тур третьей брянской корпоративной региональной олимпиады учащейся молодежи по математике (9 класс))

^ Решите уравнение в целых числах .

xy + x + y = 2010

x(y + 1) + y = 2010

x(y + 1) + (y + 1) = 2011

(x + 1)(y + 1) = 2011

2011 – простое число, значит представить в виде двух целых множителей его можно только четырьмя способами: 1*2010, 2010*1, -1*(-2010), -2010*(-1). Подставляя эти числа для x и y, получаем четыре пары решений: (0;2010), (2010;0), (-2;-2012), (-2012;-2).

Ответ: (0;2010), (2010;0), (-2;-2012), (-2012;-2).


^ Метод выделения целой части

Для решения уравнений в целых числах таким способом нужно применить правила по выделению целой части из многочлена.

(Интеллектуальный марафон-2010 (10 класс))

Учащимся школы раздали тетради так, что учащиеся одного класса получили равные количества тетрадей, а учащиеся разных классов – разные. Известно, что 7 девятиклассников и 10 пятиклассников получили вместе 140 тетрадей. Сколько тетрадей получил каждый из этих учащихся?

Обозначим количество тетрадей, полученных каждым девятиклассником за x, а пятиклассником – за y. Составим уравнение:

7x + 10y = 140

7x = - 10y + 140

x = (- 10y + 140)/7

x = - y + 20 – 3y/7

Отсюда следует, что 3y должно быть кратно 7, следовательно, y – натуральное число, кратное 7.

Если y = 7, то 3y = 21, x = 10.

Если y = 14, то 3y = 42, x = 0, что не соответствует смыслу задачи. При дальнейшем увеличении значения y, x будет уменьшаться.

Ответ: 10 тетрадей получил каждый девятиклассник, 7 тетрадей получил каждый пятиклассник.


^ Метод остатков

При решении уравнения методом остатков в одной части оставляют одночлен, кратный какому-либо числу, а другая часть проверяется на делимость на данное число. При этом переменная в левой части заменяется одночленом, константа которого равна константе одночлена в первой части.

Разберем этот способ на примере предыдущей задачи.

7x = - 10y + 140

Отсюда следует, что (- 10y + 140) должно быть кратно 7.

Пусть y = 7m, где m – натуральное число, тогда

- 10y + 140 = - 70m + 140 = 70(2 – m) – число, кратное 7.

y = 7m, тогда x = 10(2 – m).

y = 7m, т.к. m – натуральное число, то y принадлежит множеству натуральных чисел.

x по смыслу задачи также натуральное число, следовательно

2 – m > 0

m < 2

m = 1.

Отсюда y = 7 и x = 10.

Ответ: 10;7.


Метод перебора

Это один из наиболее простых способов, в котором после составления уравнения проводят подборку результатов путем перебора всех возможных решений и выбирая только соответствующие условию задачи.

(Задача из ИМ-2010 (11 класс))

К животноводческой ферме нужно проложить водопровод длиной 191 м. Ферма располагает трубами одинакового диаметра в 5 м и 7 м. Сколько нужно тех и других труб, чтобы сделать наименьшее число соединений? Трубы разрезать не рекомендуется.

Обозначим число труб длиной 5 м через x, а число труб длиной 7 через y. Условие задачи будет выражено уравнением 5x + 7y = 191. Число 191 не кратно ни 5, ни 7, поэтому ограничиться трубами одного из двух заданных размеров нельзя. Запишем уравнения в виде 5x = 191 – 7y. Так как x и y – натуральные числа, то 191 – 7y > 0. Отсюда y ≤ 27. Перебирая значения y и учитывая, что 191 – 7y кратно 5, получаем пары чисел (6;23), (13;18), (20;13), (27;8), (34;3). Далее выбираем ответ, при котором количество соединений будет наименьшим.

Ответ: 6 труб длиной 5 м, 23 трубы длиной 7 м.


^ Использование отношения делимости

Данный способ основывается на анализе уравнения относительно признаков делимости чисел.

Покажем его использование на примере предыдущей задачи.

5x + 7y = 191

5x + 5y + 2y = 5*38 + 1

2y – 1 = 5(38 – x – y)

Отсюда следует, что 2y – 1 кратно 5.

Если 2y – 1 = 5, y = 3, x = 34.

Если 2y – 1 = 10, тогда y = 5.5, y не является натуральным числом.

Если 2y – 1 = 15, y = 8, x = 27.

Если 2y – 1 = 20, тогда y = 10.5, y не является натуральным числом.

Дальше будем рассматривать числа кратные 5, увеличивая их на 10, начиная с 25, т.к. при 2y – 1 = 10, 20, 30 и т.д. y не является натуральным числом.

Если 2y – 1 = 25, y = 13, x = 20.

Если 2y – 1 = 35, y = 18, x = 13.

Если 2y – 1 = 45, y = 23, x = 6.

Если 2y – 1 = 55, y = 28, x = -1, следовательно, больше вариантов ответа нет. Далее выбираем ответ, при котором количество соединений будет наименьшим.

Ответ: 6;23.


Применение разных методов при решении заданий ЕГЭ

  • Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3n – 2m = 1.

Пусть n– четное число, n = 2k . Тогда 2m = 32k – 1 = (3k – 1)(3k + 1) . Правая часть – произведение двух последовательных четных чисел, каждое из которых является степенью числа 2. Значит, 3k – 1 = 2 и 3k + 1 = 4, откуда k = 1 и n = 2. При этом 2m = 8, следовательно, m = 3

Пусть теперь n – нечетное число. Все нечетные степени тройки (3, 27, 243,…) делятся на 4 с остатком 3. Значит, 3n - 1 делится на 4 с остатком 2. Из равенства 2m = 3n - 1 получаем, что в этом случае m = 1 (если m ≥ 2, то 2m делится на 4 без остатка). При этом 3n – 1 = 2, откуда n = 1.

Ответ: m = 3, n = 2 или m = n = 1.

  • Решите в натуральных числах уравнение: 1/m + 1/n = 1/25, где m>n.

1/m + 1/n = 1/25

(n + m)/mn = 1/25

25n + 25m = mn

m(25 – n) = - 25n

Мы можем выразить m т.к., при n = 25 25n + 25m = mn принимает вид:

625 + 25m = 25m

625 = 0 – неверно, значит, 25 не является корнем уравнения.

m = 25n/(n – 25) = (25n – 625 + 625)/(n – 25) = 25 + 625/(n – 25)

Отсюда следует, что m является натуральным числом при n > 25 лишь в случаях:

  1. n – 25 = 1, n = 26

  2. n – 25 = 5, n = 30

  3. n – 25 = 52 , n = 50

  4. n – 25 = 53 , n = 150

  5. n – 25 = 54 , n = 650

Если n = 26, то m = 650; 650 > 26 – верно.

Если n = 30, то m = 150; 150 > 30 – верно.

Если n = 50, то m = 50; 50 > 50 – неверно, значит существует только две пары решений, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: (650;26), (150;30).


3. Задача из древнего китайского сборника

Найдите целое число, которое при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 – остаток 3, а при делении на 7 – остаток 2.

Обозначим за x – искомое число и выразим его из каждого условия. Получим: x = 3n + 2; x = 5m + 3; x = 7p + 2. Приравняем два первых выражения и решим полученное уравнение в целых числах.

3n + 2 = 5m + 3

3n – 5m = 1

3(n – m) - 2m = 1

Пусть n – m = u (1), получим:

3u – 2m = 1

2(u – m) + u = 1

Пусть u – m = e, получим:

2e + u = 1

e + u + e = 1

Пусть e + u = z, e = 1 – z, получим:

z + e = 1

1 – z + u = z

u = 2z – 1

2z – 1 – m = 1 – z

3z – 2 = m

n – (3z – 2) = u

Из (1): n = m + u

n = 5z – 3

m = 3z – 2

Если z = 1, то m = 1, n = 2, тогда x = 5*1 + 3 = 8, 8=7р+2, р=6/7, р не является натуральным числом.

Если z = 2, то m = 4, n = 7; тогда x = 23, x = 7p + 2, 23 = 7p + 2; 21 = 7p; p = 3.

Ответ: 23.

* Мы решили эту задачу методом спуска, последовательно уменьшая коэффициенты выражения по модулю путём замены переменной до тех пор, пока не стало возможным выражение переменной из уравнения без использования дробной черты.

А вот какое решение этой задачи предлагает китайский математик

Сунь – цза (III или IV в.) : « При делении на 3 остаток есть 2, поэтому возьмем 140. При делении на 5 остаток есть 3, поэтому возьмем 63. При делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмем 30. Сложив их вместе, получим 233. Из этого вычтем 210 и получим ответ».

4. Неразрешимость уравнений

Уравнение вида ax + by = c, где a, b, c – целые числа, не всегда имеет решения. Если коэффициенты при неизвестных неопределенного уравнения имеют общий множитель, которого не имеет свободный член, то уравнение не может иметь целых решений.

^ Докажите, что уравнение

6x + 20y = 11 не имеет решений в натуральных числах.

В самом деле, коэффициенты a и b – числа 6 и 20 – имеют общий делитель 2, а коэффициент c – число 11 – на него не делится. Поэтому, какие бы числа мы ни подставляли вместо x и y, слева всегда будет число, кратное 2, а справа – нет. Так что равенство невозможно.


^ Докажите, что уравнение х!+у!=10z+9 не имеет решений в натуральных числах.

Решение: т.к. правая часть уравнения – нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или х, или y меньше двух. Пусть для определенности, х = 1, то есть y!=10z+8. Правая часть последнего равенства не делится на 5, а потому y<=4, но не одно из натуральных чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения. Итак, данное уравнение не имеет решений в натуральных числах.


Заключение

Таким образом, я рассмотрела различные методы решения уравнений в целых числах и применила полученные знания на практике. В дальнейшем можно продолжить исследование по этой теме, т.к. существуют и другие способы решения: использование формул, использование конечных цепных дробей, алгоритм Евклида, Пифагоровы тройки и т.д.

Результаты проведенного исследования могут применяться при подготовке к олимпиадам, при проведении факультативов по математике.

Также, решение уравнений в целых числах развивает интерес школьников к предмету, способствует знакомству с новыми идеями и методами решений, расширяет представления об изучаемом в основном курсе материале.

Я надеюсь, что вы получили удовольствие от моей работы, и открыли для себя еще одну страничку интереснейшего и полного загадок мира математики.


Литература

  1. Н.Я.Виленкин, Л.П.Шибасов, З.Ф.Шибасова «За страницами учебника математики» - Москва «Просвещение», 1996.

  2. Пробные варианты ЕГЭ по математике для 11 класса. Вариант 103 – МИОО, 2009.

  3. Тексты третьей брянской корпоративной региональной олимпиады учащейся молодежи по математике (9 класс).

  4. Тексты Интеллектуального Марафона – 2010.

  5. И.В.Ященко, С.А.Шестаков, П.И.Захаров «Подготовка к ЕГЭ по математике 2010 г» - Издательство МЦНМО, 2009.

6. www.alexlarin.narod.ru





Скачать 114,17 Kb.
оставить комментарий
Дата27.09.2011
Размер114,17 Kb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

хорошо
  2
отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх