Концепция Москва 2008 Цель программы Магистерская программа «Математика» направлена на подготовку исследователей в области современной геометрии и топологии с упором на изучение топологии различных функциональных пространств

Министерство экономического развития и торговли РФ

Цель программы

• 
  формулировать проблему, цель и задачи исследования;
  
• 
  выбирать адекватные задачам методы исследования;
  
• 
  вести информационно-аналитическую и информационно-библиографическую работу с привлечением современных технологий;
  
• 
  анализировать собранную информацию и объяснять полученные результаты;
  
• 
  представлять итоги проделанной работы в виде отчетов, рефератов, статей, оформленных в соответствии с современными требованиями.
  

• 
  ориентируемость и ориентация;
  
• 
  эйлерова характеристика и классификация двумерных поверхностей; скручивания Дена;
  
• 
  примеры трехмерных многообразий; различные способы задания трехмерных многообразий; представление трехмерных многообразий с помощью оснащенных зацеплений и оснащенных узлов в сфере;
  
• 
  исчисление Кирби; трехмерные многообразия как границы четырехмерных;
  
• 
  параллелизуемость ориентируемых трехмерных многообразий;
  
• 
  инварианты трехмерных многообразий; первый и второй классы Штифеля-Уитни;
  
• 
  форма пересечений на четырехмерных многообразиях; сигнатура; теорема Уайтхеда;
  
• 
  алгоритмические аспекты классификации.
  

• 
  линейная симплектическая структура и группа симплектических преобразований;
  
• 
  симплектическая структура и симплектические многообразия; примеры; теорема Дарбу и канонические координаты;
  
• 
  симплектическая структура на орбитах коприсоединенного представления алгебры Ли;
  
• 
  отображение моментов;
  
• 
  изотропные и лагранжевы подмногообразия, лагранжевы расслоения;
  
• 
  скобка Пуассона и пуассоновы структуры;
  
• 
  контактная геометрия;
  
• 
  лагранжевы и лежандровы особенности.
  

• 
  пространства деформаций изолированных особенностей и пространства орбит групп, порожденных отражениями; пространства Эйленберга-Маклейна;
  
• 
  двойственность Александера;
  
• 
  пространства узлов в сфере, трехмерных и многомерных многообразиях;
  
• 
  пространства функций без сложных особенностей;
  
• 
  принцип Смейла-Хирша; h-принцип;
  
• 
  гомологии графовых комплексов;
  
• 
  узлы старших размерностей;
  
• 
  пространства мероморфных функций на алгебраических кривых;
  
• 
  универсальные многочлены и характеристические классы особенностей.
  

• 
  векторные расслоения и классифицирующие пространства; спектральная последовательность в когомологиях расслоения; препятствия;
  
• 
  характеристические классы Черна и теория пересечений; принцип расщепления и формулы Уитни; теорема Гротендика-Римана-Роха;
  
• 
  исчисление Шуберта, циклы вырождений;
  
• 
  применение классов Штифеля-Уитни к изучению топологии многообразий: квадраты Стинрода, формула У, соотношения в вещественных кобордизмах;
  
• 
  формальная группа и операции Ландвебера-Новикова в комплексных кобордизмах;
  
• 
  глобальная теория особенностей и многочлены Тома-Казаряна; сосуществование особенностей;
  
• 
  применение универсальных многочленов от характеристических классов к решению перечислительных задач алгебраической геометрии.
  

• 
  симплектические многообразия и интегрируемые гамильтоновы системы;
  
• 
  грассманианы и уравнения Плюккера;
  
• 
  бесконечномерные грассманианы и уравнения Кадомцева-Петвиашвили;
  
• 
  специализации уравнений КП — уравнения Кортевега-Де Фриза и их высшие аналоги;
  
• 
  комбинаторные методы построения решений интегрируемых иерархий; многочлены Шура и характеры представлений симметрических групп;
  
• 
  построение решений интегрируемых иерархий по алгебраическим кривым;
  
• 
  интегрируемые системы и топология пространств модулей алгебраических кривых.
  

• 
  симплициальные множества и симплициальные объекты;
  
• 
  комплексы: гомологии, цепная гомотопия, конус;
  
• 
  категории, функторы, пределы и копределы;
  
• 
  категория модулей: функтор Hom и тензорное произведение, проективные, инъективные и плоские модули, резольвенты, инъективная оболочка;
  
• 
  классические производные функторы, Tor и Ext, применения к когомологиям групп и когомологиям алгебр Ли;
  
• 
  спектральные последовательности;
  
• 
  абелевы категории; производная категория абелевой категории;
  
• 
  триангулированные категории;
  
• 
  комплекс Кошуля и S-Λ двойственность.
  

• 
  Простые идеалы и спектр коммутативного кольца.
  
• 
  Локализация.
  
• 
  Тензорные произведения и их применения.
  
• 
  Структура проективных и плоских модулей.
  
• 
  Неприводимые компоненты и минимальные простые идеалы.
  
• 
  Ассоциированные простые идеалы.
  
• 
  Примарное разложение.
  
• 
  Целая зависимость; теоремы Нётер о нормализации и Гильберта о нулях;
  
• 
  Проективные многообразия;
  
• 
  Дискретные нормирования, дедекиндовы кольца, нормальность.
  
• 
  Пополнение;
  
• 
  Размерность коммутативного кольца. Теоремы о размерности.
  

• 
  регулярные последовательности и их связь с комплексом Кошуля;
  
• 
  глубина локального кольца;
  
• 
  кольца Коэна-Маколея;
  
• 
  критерий нормальности по Серру;
  
• 
  минимальные резольвенты и формула Ауслендера-Буксбаума;
  
• 
  идеалы Фиттинга;
  
• 
  кольца Горенштейна в нульмерном и общем случаях;
  
• 
  дуализирующий модуль и двойственность.
  

• 
  определение схемы; конструкция схем Spec и Proj;
  
• 
  определение алгебраического многообразия;
  
• 
  отделимые и собственные морфизмы;
  
• 
  плоские морфизмы и теорема о замене базы;
  
• 
  дивизоры и формализм линейных систем;
  
• 
  дифференциальные формы, присоединение и канонический класс;
  
• 
  адели на гладких кривых и теорема Римана-Роха;
  
• 
  теория пересечений на поверхностях;
  
• 
  теорема Римана-Роха для поверхностей;
  
• 
  регулярность по Мамфорду;
  
• 
  уплощающие разбиения и конструкция схемы Гильберта.
  

• 
  алгебры Ли, простые алгебры Ли, sl_2 и алгебра Вирасоро;
  
• 
  подалгебра Картана и корни, корневое разложение для sl_n и Вирасоро;
  
• 
  построение бесконечномерной алгебры Ли по обобщенной матрице Картана;
  
• 
  инвариантная билинейная форма и оператор Казимира;
  
• 
  представления, весовое разложение, старший вес;
  
• 
  интегрируемые представления, группа Вейля;
  
• 
  классические простые алгебры Ли, алгебры Каца-Муди;
  
• 
  евклидовы системы корней, группы порожденные отражениями;
  
• 
  системы корней алгебр Каца-Муди.