Программа и дидактическое обеспечение элективного курса для обучающихся 9 класса основной школы. Тип курса: предметно-ориентированный

скачать Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №33 г. Томска «ЭТОТ ПРОСТОЙ, СЛОЖНЫЙ ПАРАМЕТР» Программа и дидактическое обеспечение элективного курса для обучающихся 9 класса основной школы. Тип курса: предметно-ориентированный. Количество часов: 17 Методическая разработка Исполнитель: Ерилова Галина Федоровна, учитель математики г. Томск, 2010 Содержание Пояснительная записка ____________________________________________________ 3 Цели и задачи, формы проведения занятий, методыобучения_____________________4 Ожидаемые результаты, формы подведения итогов_____________________________5 Учебно-тематический план курса____________________________________________6 Содержание курса _________________________________________________________7 Модуль I. 6. Знакомство с параметром. Уравнения, содержащие параметр_____________________7 7. Задания с параметром, встречающиеся в школьном учебнике «Алгебра 7,8,9»_______8 Задания с параметром из экзаменационного сборника для 9 класса________________10 Задания с параметром, предлагаемые на областном тестировании и на экзамене по новой форме в 9 классе__________________________________________________10 Основные типы задач с параметром__________________________________________11 Основные способы (методы) решения задач с параметром_______________________12 Модуль II. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным, с параметром________12 Дополнительные задания для самостоятельного решения или осуществления контроля знаний обучающихся ______________________________________________________16 Модуль III. 13. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, с параметром_____17 14. Дополнительные задания для самостоятельного решения или осуществления контроля знаний обучающихся _____________________________________________________20 15. Задачи на решение уравнений с параметрами, связанные с определением расположения корней квадратного трехчлена ax2 + bx + c на действительной оси___21 Модуль IV. 16. Дробные рациональные уравнения с параметром______________________________22 17. Дополнительные задания для самостоятельного решения или осуществления контроля знаний обучающихся _____________________________________________________28 Модуль V. 18. Графический способ решения уравнений с параметром_________________________28 19. Дополнительные задания для самостоятельного решения или осуществления контроля знаний обучающихся _____________________________________________________34 20. Система контроля________________________________________________________41 21. Диагностическая карта результатов обучения учащихся на данном курсе__________42 22. Методические рекомендации_______________________________________________43 23. Заключение _____________________________________________________________43 24. Литература_____________________________________________________________ 43 Пояснительная записка Элективные курсы призваны помочь школьнику реализовать свой интерес к предмету, уточнить свою готовность и способность к изучению предмета на повышенном уровне. Поэтому назначение данного предпрофильного курса по математике состоит в развитии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой, зарождении интереса к математике на первичном уровне, поддерживании его до познавательного уровня и тем самым создании основы для выбора профиля. ^ Актуальность и научная обоснованность курса: Известно, что в программах по математике для неспециализированных школ задачам с параметром отводится незначительное место. Так, с параметрами мы встречаемся: - при введении некоторых понятий (например, при введении понятий функции прямая пропорциональность y = kx (x и y – переменные, k – параметр, k ≠ 0); линейной функция y = kx + b (x и y – переменные, k и b – параметры); линейного уравнения ax + b = 0, где x – переменная, a и b – параметры; квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b, c – параметры, a ≠ 0); - при поиске решений линейных и квадратных уравнений в общем виде; - при исследовании количества их корней в зависимости от значений параметров (например, решая относительно x уравнение ax2 + bx +c , мы фактически решаем не одно, а множество уравнений относительно x, при каждом наборе значений параметров a, b, c получается определенное уравнение относительно x). Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Трудности решения задач с параметром вызваны прежде всего тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений, содержащих параметры, как мы видим, приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений с учетом области определения выражений, входящих в уравнение, а также учитывать выполнимость производимых операций. Однако школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения таких задач, хотя практика единого государственного экзамена показывает, что такие задачи стали традиционными, и совершенно очевидно, что к «встрече» с ними надо специально готовиться. Поэтому необходимо знакомить учащихся с параметром и начать это знакомство можно в 9-ом классе. Изучение курса предполагает углубленное изучение предмета по данной теме, но предлагаемый материал дополняет стандартную программу школьного курса математики, что, безусловно, будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических умений, предусмотренных программой. Материал представленного курса является интересным, доступным и способствующим развитию интереса к математике, мыслительных и творческих способностей школьников. Уровень его сложности таков, что к изучению данного курса можно привлечь значительное число учащихся, а не только наиболее способных, что, возможно, позволит школьникам, не проявляющих интереса к предмету, заинтересоваться математикой. Кроме того, данная методическая разработка будет полезна учителям, осуществляющим предпрофильную подготовку обучающихся по математике, так как в ней представлена не только программа элективного курса, но и дано полное дидактическое обеспечение, позволяющее проводить занятия курса и осуществлять контроль знаний обучающихся. Содержание данного курса предполагает решение заданий с параметром, встречающихся в школьных учебниках алгебры 7 - 9 классов, заданий с параметром из экзаменационного сборника, тестовых заданий, в том числе предлагаемых на экзамене по новой форме в 9 классе; рассмотрение решений линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений с одной неизвестной и одним параметром и рассмотрение основных методов и приемов их решения, в том числе и графического метода, чтобы в дальнейшем, обучаясь в старших классах, ребята смогли применить полученные навыки для решения более сложных задач с параметрами. ^ Цели курса: - расширение и углубление знаний по предмету через изучение курса с учетом интересов и склонностей учащихся; - создание основы для выбора профиля; - расширение кругозора учащихся; - развитие математического мышления; - формирование активного познавательного интереса к предмету; - развитие исследовательской и проектной деятельности обучающихся; - воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углубления изучения математики; - улучшение подготовки к экзаменам. Задачи: - познакомить учащихся с основными теоретическими сведениями о линейных, квадратных, дробно – рациональных уравнениях с параметром; - изучить основные типы задач с параметром; - создать у ребят систему знаний по решению линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений с параметром; - научить решать задачи с параметром, в которых фигурирует квадратичная функция; - сформировать умения решать уравнения с параметром аналитическим и графическим способом; - начать подготовку к заключительной аттестации за курс средней школы, к вступительным экзаменам в вузы. Формы проведения занятий: Лекции и минилекции. Семинарские занятия с элементами лекций. Практические занятия по выработке умений и навыков решения задач. Уроки – сообщения. Собеседования. Самостоятельные работы. 7. Защита проектов. Методы обучения: Методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности: - По источнику передачи и восприятия учебной информации: 1. Словесные (рассказ, беседа, лекции); 2. Наглядные (иллюстрации, демонстрации); 3. Практические ( упражнения). - По логике передачи и восприятия учебной информации: 1. Индуктивные; 2. Дедуктивные; 3. Аналитические. - По степени самостоятельного мышления: 1. Репродуктивные; 2. Поисковые, частично-поисковые, исследовательские. - По степени управления учебной работой: 1. Работа под руководством учителя; 2. Самостоятельная работа учащихся. Методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности: - Стимулирование интереса к учению: 1. Познавательные игры; 2. Учебные дискуссии; 3. Эмоционально-нравственные переживания; 4. Занимательность; 5. Ситуация познавательной новизны. - Стимулирование долга и ответственности к учению: 1. Убеждение в значимости учения; 2. Предъявление требований; 3. Упражнения в выполнении требований; 4. Поощрения в учении; Методы контроля и самоконтроля в обучении: - Устный контроль: 1. Индивидуальный опрос; 2. Фронтальный опрос; 3. Программированный опрос. - Письменный контроль: 1. Самостоятельные и контрольные письменные работы; 2. Письменные зачеты; 3. Тестирование. Ожидаемые результаты: По окончании изучения данного курса учащиеся имеют представление: - о параметре; - о задачах с параметром; - о типах задач с параметром; - о линейных, квадратных, дробно–рациональных уравнениях с параметром; - о методах решения уравнений с параметром; и умеют: - решать линейные, квадратные, дробно–рациональные уравнения с параметром; - применять аналитический и графический методы решения уравнений с параметром. ^ Формы подведения итогов: Формой подведения итогов может стать самостоятельная или контрольная работа, собеседование или защита собственного проекта учащегося по данной теме, создание банка заданий по данному курсу. Если формой подведения итогов предполагается реферат, то можно предложить следующие темы для рефератов: - «Методы решения уравнений с параметром»; - «Решение неравенств с параметром»; - «Решение экзаменационных заданий с параметром»; - «Решение линейных уравнений с параметром»; - «Решение квадратных уравнений с параметром»; - «Решение дробных рациональных уравнений с параметром»; - «Графический способ решения уравнений с параметром». Основные этапы подготовки реферата: 1. Собеседование с учащимися по обсуждению предлагаемых тем; 2. Выбор темы учащимися; 3. Базовые и текущие консультации; 4. Поиск и работа с информационными источниками; 5. Оформление материалов исследования; 6. Предзащита на занятии курса, обсуждение и получение отзывов; 7. Выступление на конференции: школьной, городской; 8. Использование полученных в результате исследования материалов. Правила оформления реферата: Титульный лист, который включает: - наименование образовательного учреждения; - тема реферата; - исполнитель; - руководитель; - название населенного пункта; - год разработки реферата. 2. Пояснительная записка, в которой необходимо отразить проблему, актуальность работы. 3. Цели и задачи реферата. 4. Содержание. 5. Введение. 6. Само содержание реферата. 7. Заключение. 8. Литература. Предполагаемой формой документа, фиксирующего усвоение курса, может быть сертификат, выданный администрацией школы. Учебно–тематический план курса «Этот простой, сложный параметр» № п/п Название тем Количество часов Теория Практика Вид занятия 1 Модуль 1: Знакомство с параметром. 2 1 1 Лекция 2 Модуль 2: Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным, с параметром. 2 1 1 Семинар с элементами лекции 3 Модуль 3: Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным. 3 1 2 Практикум, работа в группах 4 Модуль 4: Дробные рациональные уравнения с параметром. 4 1 3 Минилекция и практикум 5 Модуль 5: Графический способ решения уравнений с параметром. 4 1 3 Урок- сообщение (слайдовая презентация), уроки-практикумы 6 Обобщающее занятие курса. 2 2 Урок защиты проектов Итого 17 5 12 ^ Содержание курса МОДУЛЬ I Знакомство с параметром. Уравнения, содержащие параметр. Рассмотрим уравнения вида f (a, b, c, ..., k, x) = g (a, b, c, ..., k, x), где a, b, c, ..., k, x – переменные величины. Любая система значений переменных a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0, x = x0, при которой обе части уравнения имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, ..., k, x. Пусть A – множество допустимых значений a, B – множество допустимых значений b, ..., X – множество допустимых значений x. Если из каждого множества A, B, C, ..., K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, ..., k и подставить их в уравнение, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одной переменной. Переменные a, b, c, ..., k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, x – действительной переменной величиной, а само уравнение называется уравнением с одним неизвестным, содержащим параметры. Условимся в дальнейшем параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, ..., k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z. Так, в уравнении m и n – параметры, а x – неизвестное. Допустимой является любая система значений m, n, x, удовлетворяющая условию m ≠ 3, n ≠ - 1, x ≠ 0. При m = 4, n = 1 получим уравнение При m = 5, n = 3 получим уравнение и т. д. Решить уравнение с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. В процессе решения уравнений существенную роль играют теоремы о равносильности. ^ Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если: а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. Пример1. При каких a уравнения x2 – a = 0 и - a = 0 равносильны? Решение. Очевидно, что при a > 0 первое уравнение имеет два различных корня x = ±, а второе – только один корень x = a2, и в этом случае о равносильности речь идти не может. Так же ясно, что при a = 0 решения уравнений совпадают (x = 0), а при a < 0 ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. Однако, как известно, такие уравнения считаются равносильными. ^ Ответ. a ≤ 0. Пример 2. При каких a уравнение ax = a2 равносильно неравенству |x – 3 | ≥ a ? Решение. При a ≠ 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство – бесконечно много. Если a = 0, то решением как уравнения, так и неравенства является все множество действительных чисел. Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только a = 0. Ответ. a = 0. Задания с параметром, встречающиеся в школьном учебнике «Алгебра 7,8,9 кл.» 7 класс 1. Найдите все целые значения a, при которых корень уравнения ax = 6 является целым числом. 2. При каком значении a точка A(a; -1,4) принадлежит графику прямой пропорциональности y = 3,5x? 3. Известно, что точка P(-4; b) принадлежит графику функции, заданной формулой y = x2. Найдите значение b. Принадлежит ли графику этой функции точка Q(4; b)? 4. Найдите значение коэффициента a в уравнении ax + 2y = 8, если известно, что пара x = 2, y = 1 является решением этого уравнения. 5. Известно, что: а) пара значений переменных x = 5, y = 7 является решением уравнения ax – 2y = 1. Найдите коэффициент a; б) пара значений переменных x = -3, y = 8 является решением уравнения 5x + by = 17. Найдите коэффициент b. 6. В линейном уравнении ax – y = 4 подберите коэффициент a так, чтобы график этого уравнения проходил через точку M(3; 5). 7. Постройте прямую, которая является графиком уравнения y – 2,5x = c, если известно, что она проходит через точку K(2; -3). 8. Напишите уравнение вида y = kx + b, график которого проходит через точки M(-1; 1) и P(4; 4). 8 класс 1. Известно, что график функции y = k/x проходит через точку A(10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку: а) B(1; 24); б) C(-0,2; -120)? 2. В уравнении x2 + px – 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p. 3. Один из корней уравнения x2 – 13x +q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q. 4. Один из корней уравнения 5x2 + bx + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b. 5. Один из корней уравнения 10x2 – 33x + c = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент c. 6. Разность корней квадратного уравнения x2 – 12x + q = 0 равна 2. Найдите q. 7. При каком значении a один из корней уравнения ax2 – 3x – 5 = 0 равен 1? 8. Докажите, что один из корней уравнения ax2 – (a + c)x + c = 0 равен 1. ( Необходимо применить т. Виета). 9. Найдите, при каких значениях a уравнение имеет положительный корень: а) 3x = 9a; б) x + 2 = a; в) x – 8 = 3a + 1; г) 2x – 3 = a + 4. 10. Найдите, при каких значениях b уравнение имеет отрицательный корень: а) 10x = 3b; б) x – 4 = b; в) 3x – 1 = b + 2; г) 3x – 3 = 5b – 2. 9 класс 1. При каких значениях b и c вершиной параболы y = x2 + bx + c является точка (6; -12)? Решение: применим формулу для вычисления абсциссы вершины параболы m = - b/2a. Получим: 6 = - b/2, b = - 12. Координаты точки (6; -12) удовлетворяют уравнению y = x2 + bx + c. Подставим их и найденное значение b в данное уравнение. Получим: -12 = 36 – 72 + c, c = 24. 2. При каком значении a осью симметрии параболы y = ax2 – 16x + 1 является прямая x = 4? Решение: абсциссой вершины параболы является m = 4. Применим формулу для вычисления абсциссы вершины параболы: m = - b/2a. Получим: 4 = 8/a, a = 2. 3. Найдите значения a и b, при которых график функции y = ax2 + bx – 18 проходит через точки M(1; 2) и N(2; 10). (Примечание: решить систему уравнений a + b – 18 = 2, 4a + 2b – 18 = 10). 4. Функция задана формулой y = x2 + px + q. Найдите значения p и q, если известно, что: а) нули функции – числа 3 и 4; б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0); в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при x = 6. Решение: а) Нули функции 3 и 4 являются корнями уравнения x2 + px + q = 0. По т. Виета p = -(3 + 4) = 7, q = 3 ∙ 4 = 12; б) Решим систему уравнений q = 6, 4 + 2p + q = 0. Получим, что p = - 5, q = 6. в) Коэффициент при x2 положителен, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, наименьшее значение функции равно ординате вершины параболы, а абсцисса вершины параболы равна 6. Имеем: 6 = - p/2, p = -12, тогда n = y(m) = 24. Подставим данные и найденные значения в уравнение y = x2 + px + q, получим: 24 = 36 – 12 ∙ 6 + q, q = 60. 5. Если умножить квадратный трехчлен ax2 – 2x + b на квадратный трехчлен x2 + ax – 1, то получится многочлен четвертой степени, в котором коэффициенты при x2 и x соответственно равны 8 и – 2. Найдите a и b. Решение: Перемножим данные квадратные трехчлены и сгруппируем члены полученного многочлена относительно степеней переменной x. Получим многочлен: ax4 + (a2 – 2)x3 + (b – 3a)x2 + (ab + 2)x – b, у которого коэффициенты при x2 и x соответственно равны 8 и – 2. Следовательно, найти a и b можно, решив систему уравнений: b – 3a = 8, ab + 2 = - 2. Получим, что a = - 2/3, b = 6 или a = - 2, b = 2. Как видим, набор упражнений с параметром невелик, и задания достаточно просты. Теперь обратимся к экзаменационному сборнику и посмотрим задания, предлагаемые в сборнике. Скачать 0,54 Mb. оставить комментарий страница 1/4 Ерилова Галина Федоровна Дата 27.09.2011 Размер 0,54 Mb. Тип Программа, Образовательные материалы