Рассмотрим один из способов решения иррациональных алгебраических уравнений в области действительных чисел, считая в этой области все корни арифметическими icon

Рассмотрим один из способов решения иррациональных алгебраических уравнений в области действительных чисел, считая в этой области все корни арифметическими


1 чел. помогло.
Смотрите также:
План-конспект урока «Основные типы иррациональных уравнений»...
Конспект урока «Методы решения иррациональных уравнений»...
Тема урока: иррациональные уравнения...
Рабочая программа учебной дисциплины «Теория функций комплексной переменной» Специальность...
Тема урока Кол-во часов...
Смножество пар упорядоченных действительных чисел...
Α Множество всех подмножеств данного множества называется булеаном данного множества...
Методические указания к выполнению лабораторной работе «решение систем линейных алгебраических...
Программа элективного курса по математике для учащихся 9-11 классов общеобразовательных школ...
«О некоторых применениях алгебры матриц»...
Учебная программа Дисциплины б9 «Методы математического моделирования» по специальности 090302...
Учебная программа Дисциплины б9 «Вычислительные методы» по направлению 010300 «Фундаментальная...



Загрузка...
скачать

Оглавление


1.Введение


Рассмотрим один из способов решения иррациональных алгебраических уравнений в области действительных чисел, считая в этой области все корни арифметическими.

Иногда удается посредством некоторой подстановки, переходя к новому неизвестному, привести иррациональное выражение к рациональному виду. В таком случае мы будем говорить, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное выражение, и назвать ее рационализирующей.

Идея применения таких подстановок для рационализации иррациональных выражений (а следовательно, для решения иррациональных уравнений, неравенств, вычисления иррациональных выражений и т.д.) заимствована из интегрального исчисления, где аналогичные подстановки применяются при интегрировании иррациональных функций (см., например: Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, М., изд. «Наука», 1966).

Способ решения иррациональных уравнений (или неравенств), основанный на применении рационализирующих подстановок, назовем способом рационализации.

Применяя рационализирующую подстановку, необходимо следить за тем, чтобы область определения нового рационального уравнения, получаемого в результате этой подстановки, соответствовала области определения данного иррационального уравнения. Только при этом условии рационализирующая подстановка приведет рассматриваемое иррациональное уравнение к рациональному уравнению, которое всюду в области его определения эквивалентно данному.

Например, вводя в уравнении



Вместо новое неизвестное с помощью подстановки (или , где функция - обратная функции ), получим эквивалентное исходному, уравнение

,

(где ), областью определения которого Т будет множество значений функции для всех .

Рассмотрим рационализацию некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.

Для обозначения рациональной функции двух аргументов, т.е. такой функции, которая представима в виде отношения произвольных многочленов от двух аргументов, будем использовать в дальнейшем символ .

^

2.Рационализация выражения


Выражение вида

, (1)

где R означает рациональную функцию, а и b – постоянные, а n – любое целое положительное число, рационализируется подстановкой

. (2)

Действительно, возводя обе части равенства (2) в n-ю степень, получим , откуда , причём функция рациональна. Следовательно,

Поскольку рациональная функция от рациональной функции представляет собой также рациональную функцию, то выражение, стоящее в правой части последнего равенства, является рациональным.

Пример №1. Решить уравнение (ЕГЭ)

.

Решение. Область определения рассматриваемого уравнения . Рационализирующей подстановкой это уравнение приводится к эквивалентной ему смешанной системе




Или (сокращая дробь на ) системе



Решением последней будет Воспользовавшись подстановкой, получим

Ответ: 9.

^

3.Рационализация дробно-линейных иррациональностей


Аналогично предыдущему доказывается, что функция вида

, (3)

где: – некоторые постоянные, а – любое целое положительное число (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии приведена к рациональному виду подстановкой

. (4)

Иррациональная функция

(5)

Рационализируется при помощи подстановки

(6)

где: r – наименьшее общее кратное показателей радикалов n, m,… .

Пример 2 (МГУ, Мехмат).

Решить уравнение



Решение. Будем искать корни данного уравнения в области (очевидно, что числа и не являются его корнями). Разделим обе части уравнения на :

.

Полученное уравнение в рассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки



Сводится к смешанной системе



Эквивалентной ему в этой области. Определив решения этой системы и и воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.

Ответ: , .

^

4.Рационализация биномиальных выражений


Можно доказать, что выражение

, (7)

где: и – постоянные, а показатели степеней - некоторые рациональные числа, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях, когда оказывается целым одно из чисел или .

В этих случаях рационализирующими подстановками будут соответственно

, и

, (8)

где: r – наименьшее общее кратное знаменателей чисел и , - знаменатель числа .

Существование указанных трех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения к рациональному виду уравнений в первом случае и во втором и третьем случаях.

Пример 3. (ЕГЭ)

Решить уравнение

.

Решение. Область определения уравнения . Преобразуем его следующим образом:



( - не корень).

Имеет место третий случай рационализации

( ; - целое число). Следовательно, с помощью подстановки

.

Иррациональное уравнение приводится к рациональному , или . Определив корни этого уравнения , , и воспользовавшись подстановкой, находим , , .

Ответ: 0,2; 0,5; 0,8.

^

5.Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера


Квадратичной иррациональностью назовём функцию вида

, (9)

где: , и с – некоторые постоянные. Покажем, что это выражение всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера. При этом мы, конечно, будем считать, что квадратный трехчлен неотрицателен и не имеет равных корней (в противном случае корень можно заменить рациональным выражением).

а) Сначала рассмотрим случай, когда дискриминант . В этом случае знак квадратного трехчлена совпадает со знаком , и поскольку этот трехчлен положителен (в силу условия равенство трехчлена нулю невозможно), то .

Таким образом, мы можем сделать следующую подстановку:



(или ). (10)

Подстановку (10) иногда называют первой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализирует функцию (9) в рассматриваемом случае. Возводя в квадрат обе части равенства



(заметим, что ), получим , так что

,

,

где функции и рациональные. Таким образом,

.

В правой части полученного равенства стоит рациональная функция.

б) Рассмотрим теперь случай, когда дискриминант, т.е. квадратный трехчлен имеет (различные) действительные корни и . Следовательно,

.

Аналогично предыдущему доказывается, что в этом случае функция (9) рационализируется посредством подстановки

, (11)

Называемой часто второй подстановкой Эйлера.

Замечание 1. Рационализирующая подстановка (11) справедлива при условии . Следовательно, применяя эту подстановку при решении иррационального уравнения, необходимо проверить, не является ли значение корнем данного уравнения (иначе возможна потеря этого корня).

Замечание 2. Если , то в этом случае можно положить



(или ). (12)

Случаи и приводится один к другому подстановкой . Поэтому всегда можно избежать пользования указанной в данном замечании подстановкой (12).


Пример 4. (^ МГУ Мехмат)

Решить уравнение

.

Решение. Область определения уравнения . Применим первую рационализирующую подстановку Эйлера

.

Для определения нового неизвестного получаем уравнение

,

Корни которого , и . Воспользовавшись подстановкой, находим и .

Ответ. , .

Для рационализации выражения

(13)

Применяется дробно-рациональная подстановка

. (14)

Коэффициенты и выбираются такими, чтобы в обоих трёхчленах одновременно исчезли члены в первой степени. При этом преобразованное выражение принимает вид



и рационализируется с помощью подстановок рассмотренных выше.

Мы рассмотрели только некоторые, наиболее распространенные рационализирующие подстановки.

Следует отметить, что, как правило, одно и то же иррациональное уравнение может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению с помощью нескольких различных рационализирующих подстановок. От выбора этих подстановок зависит вид получаемого рационального уравнения.

Пример 5. (^ ЕГЭ)

Решить уравнение



Решение. Область определения уравнения . Здесь оказывается эффективной рационализирующая подстановка

(),

Применяя которую получаем для определения нового неизвестного смешанную систему



Откуда . Затем, воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.

Ответ: -1; 1.

^

6.Рационализация с помощью тригонометрических подстановок


Рассмотрим функцию

. (15)

Применим рационализирующую подстановку

. (16)

При этом . Мы считаем, что изменяется между и , а - между и . Поэтому . С помощью данной подстановки рассматриваемая функция приводится к следующему виду:

.

Функция (15) может быть рационализирована также с помощью подстановки

, (17)

причем , т.е. .

Аналогично, функция

(18)

подстановкой

(19)

приводится к виду , так как .

Для рационализации функции

(20)

можно применять подстановку

. (21)

Выполняя рационализацию выражения



с помощью тригонометрических подстановок, необходимо предварительно это выражение привести к одному из рассмотренных выше видов (15), (18) или (20).

Пример 6. (МГУ ВМИК)

Решить уравнение

.

Решение. Область определения уравнения: . Применяя подстановку , получаем уравнение

,

Симметрическое, относительно функций и .



приводится к эквивалентной ему смешанной системе

,

которая, имеет решение .

Откуда , т.е. .

Ответ: -1.

^

7.Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений


Пример №7

Решите уравнение:



Решение.

(1)

Умножим обе части уравнения (1) на выражение ,
тогда получим:

,

,

,

,

x = 0 или ; (2)

Сложив уравнения (1) и (2) почленно получим:

.

x = 0 – посторонний корень.

Ответ: 4.


Пример №8

Решить уравнение .

Решение.

Умножив обе части данного уравнения на выражение , получим:







x = 0 или

Cкладывая уравнение с исходным уравнением, получим:





x = 0 – посторонний корень.

Ответ: 1.


Приведенные примеры не исчерпывают всего многообразия тригонометрических подстановок, применяемых для рационализации иррациональных выражений. Например, функция , где , рационализируется введением новой неизвестной с помощью подстановки

;

функция рационализируется подстановкой и т.д.

В заключении отметим, что способ рационализации успешно может быть применен также для рационализации иррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональных выражений и т.д.

Знакомство школьников с различными рационализирующими подстановками безусловно будет способствовать более успешной сдаче ЕГЭ, а так же будет способствовать успешному изучению в вузе методов интегрирования иррациональных функций.

8.Приложение


Решите уравнение:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. .

  8. .

  9. .

  10. .

  11. .

  12. 1.

  13. .

  14. .

  15. .

  16. Сколько корней на отрезке имеет уравнение .

  17. .

  18. .

  19. .



9.Литература


  1. Г.М. Фихтенгольц « Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. II, М., изд. «Наука», 1966.

  2. И. Ф. Шарыгин «Математика для поступающих в вузы» М. «Дрофа», 2000г.

  3. М.И. Сканави «Сборник задач по математике, для поступающих во втузы» М.Высшая школа, 1988г.

  4. М Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич «Сборник задач по алгебре» М. «Просвещение» 2006г.

  5. С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко «Уравнения и неравенства». М. Экзамен 1998г.

  6. А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд «Алгебра и начала анализа» М. «Просвещение»,2000

  7. ЕГЭ «Математика Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся» М. «Интеллект – Центр».2007 и 2008

  8. А .М.Титаренко,.А. Н.Роганин «Математика 500 тестов и задач» М. «Эксмо» 2007.

  9. А. Г.Цыпкин, А. И. Пинский «Справочник по методам решения задач по математике для средней школы».М. «Наука»1989

  10. А. А. Рывкин, А.З. Рывкин М. «Эксмо» 2009.





Скачать 100,3 Kb.
оставить комментарий
Дата25.09.2011
Размер100,3 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх