«Показательные и логарифмические неравенства» icon

«Показательные и логарифмические неравенства»


Смотрите также:
Задачи урока : Проконтролировать знания учащихся по методам решения сложных логарифмических...
Задачи урока : Проконтролировать знания учащихся по методам решения сложных логарифмических...
Тема урока: «Логарифмические неравенства»...
Методическая разработка по теме «Логарифмические уравнения и неравенства. Подготовка к егэ»...
Программа дополнительного математического образования детей...
Методическая разработка семинара «Показательные и логарифмические уравнения»...
Элективный курс по математике для учащихся 9 класса тема: «уравнения и неравенства...
Поурочное планирование (5 часов в неделю, всего 170 часов) Тема...
Истоки социального неравенства перед лицом смерти в России...
Лекция Социальная дифференциация и неравенство Вопрос Понятие социальной дифференциации и...
Лекция Социальная дифференциация и неравенство Вопрос Понятие социальной дифференциации и...
Выпускная



Загрузка...
скачать


МОУ «Средняя общеобразовательная школа №55»


Исследовательская работа

Тема:

«Показательные и логарифмические неравенства»


Выполнил:

ученик 11 В класса

Данилов Юрий


Руководитель:

Данилова Зоя Ивановна


г. Чебоксары

2006


Содержание

1. Введение

2. Показательные неравенства

3. Логарифмические неравенства

4. Заключение

5. Литература

Введение.

Неравенства играют важную роль в курсе математики средней школы. Это сравнительно новая тема, которая ранее не входила в школьный курс математики и, на данном этапе, недостаточно разработана.

Современные школьники начинают знакомиться с неравенствами еще в начальной школе. Далее содержание темы «Неравенства» постепенно углубляется и расширяется. В школьном курсе алгебры изучаемы классы неравенств можно разбить на группы.


Первая группа получает достаточное развитие, вплоть до формирования прочных навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы.

Остальные же группы неравенств в этом курсе только начинают изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и началах анализа 10-11 классов. Задача этой работы: обеспечить более полное раскрытие методов решения показательных и логарифмических неравенст.


^ Показательные неравенства.

Пусть а – фиксированное число, такое, что а > 0 и . Рассмотрим неравенства

(1)

(2)

Область допустимых значений этих неравенств совпадает со всей числовой прямой, функция положительна и строго монотонна, следовательно, при неравенство (1) выполняется при любом х из области допустимых значений, а неравенство (2) не имеет решений. При приходится рассмотреть два случая: а > 1 и 1 > a > 0.

Пусть а > 1, тогда на всей числовой прямой функция является возрастающей (рис.1). Значение, равное b, она принимает в единственной точке , и поэтому решением неравенства (1) является все , а решением неравенства (2) – все .

Пусть , тогда на всей числовой прямой функция является убывающей (рис.2), и поэтому решением неравенства (1) являются все , а решением неравенства (2) – все , где .



Изобразим изложенное выше в виде следующей наглядной схемы








Пример 1.

Для каждого значения а решить неравенство

.

Решение.

Запишем неравенство в виде:





Ответ: при ; при ,

Таким образом, различные типы показательных неравенств сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим неравенство вида:

.

Решение.

Обозначив , получим . Пусть решение последнего неравенства имеет вид:



где и .

Тогда простейшее неравенство не имеет решений, а неравенство решается по схеме 1. Сразу выпишем в этом случае ответ.

Ответ: при , ;

при ,

Сформулируем в виде краткой схемы решение трех аналогичных показательных неравенств.


Заметим, что в предложенных выше схемах при решении неравенств многократно использовалось свойство положительности функции .

Пример.

Решить неравенство .

Решение.

Преобразуем неравенство . В обозначениях , неравенство примет вид:

.

Найдем корни соответствующего уравнения

,

, .

Причем



Значит неравенство равносильно совокупности



Ответ: .

Рассмотрим следующий тип неравенств: .

Решение.



Аналогично решается и неравенство вида .



Пример.

Решить неравенство

Решение.

По данной схеме неравенство равносильно совокупности двух систем:



Ответ:

Кроме предложенных выше видов неравенств, предлагается решить графически неравенства, которые нельзя решить аналитически.

Пример.

а)

б)


Решение.

а)



  1. Построим графики функций и .

  2. Найдем точки пересечения графиков функций .

  3. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из которых график функции лежит ниже графика .

Ответ:

б)



  1. Построим график функций .

  2. Найдем точки пересечения графиков функций.

  3. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из которых график функции лежит ниже графика .

Ответ: .

Приведем примеры решения аналогичного неравенства с дополнительным заданием.

Пример.

Найдите наибольшее целое решение неравенства.

.

Анализ неравенства показывает, что в левой его чести записана показательная функция, а в правой – многочлен первой степени. Из этого следует, что решение можно проводить функционально-графическим методом.

Наличие только одной точки пересечения графиков функций и следует из того, что первая функция убывает, а вторая возрастает на .

Решение.

Схематично изобразим графики функций и .



Из рисунка видно, что является корнем уравнения , так как . График показательной функции расположен выше графика линейной функции при . Наибольшим целым решением неравенства является число –1.

Ответ: –1.

Пример.

При каких значениях а значение выражения больше значения выражения при всех допустимых значениях х?

Решение.

  1. Перейдем к одинаковому основанию степени в обоих выражениях:





  1. Введем новую переменную . Ее наибольшее значение равно нулю, а при стремлении х к 1 эта переменная стремится к . В силу непрерывности функции получаем, что .

  2. Относительно t получаем неравенство , или .

  3. Абсцисса вершины параболы положительна, ветви направлены вверх. Значит, это неравенство верно при всех положительных t в том и только том случае, когда свободный коэффициент положителен. Следовательно,

Ответ: (-2; 2).

В следующем примере решение показательного неравенства является составляющей более сложной задачи, а именно, нахождения области определения логарифмической функции.

Пример.

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции лежат числа 20, 50, 70, но не лежат числа 2, 5, 7.

Решение.

. При область определения пуста. Рассмотрим два случая.

1) . Тогда .

Так как , то . Значит, . Но в этом промежутке лежат все положительные числа и, в частности, числа 2, 5, 7. Поэтому такие значения не удовлетворяют условию.

2) . Тогда . Так как , то . Значит, .

В этом промежутке лежат числа 20, 50, 70, только если его левый конец меньше 20. А для того, чтобы в нем не было чисел 2, 5, 7, нужно, чтобы левый конец был не меньше 7. Получается двойное неравенство на параметр .

.

Ответ: .

Рассмотрим следующий пример. В нем исследуется композиция (результат последовательного выполнения) трех базовых функций: показательной с основанием 3, затем с обратно пропорциональной зависимостью и, наконец, показательной с основанием 2.

Пример.

Найдите множество значений функции



Решение.

Функция определена при . Рассмотрим случай . По свойствам показательной функции с основанием 3, при неограниченном возрастании х величина также неограниченно возрастает от нуля к . Так как числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает, оставаясь положительными, то сама дробь убывает от к нулю, оставаясь положительной. Так как показательная функция с основанием 2 сохраняет характер монотонности, то получаем, что при таком изменении аргумента х функция у убывает от до . Значит, при положительных х данная функция принимает все значения от 1 до .

Аналогичным образом при убывании отрицательного аргумента х от нуля к величина убывает от нуля к –1, а значит, величина возрастает от к –1, оставаясь меньше –1. Так как показательная функция с основанием 2 сохраняет характер монотонности, то при таком изменении аргумента х функция у монотонно и непрерывно возрастает от 0 к . Значит, при отрицательных х данная функция принимает все значения от 0 до 0,5. Остается объединить ответы.

Ответ: .

Приведенное решение максимально точно соответствует характеру задания функции. Уж раз сама исследуемая функция есть результат последовательного выполнения трех различных элементарных композиций, то и множество ее значений следует искать последовательно на каждом поле выполняя необходимые вычисления.

В основу решения некоторых неравенств удается положить следующее простое наблюдение: если известно что, например, функция монотонно возрастает на своей области определения Е и , то множеством решений неравенства является множество . Докажем это утверждение.

Если и , то , то есть в точке неравенство не выполняется. Если же , то . То есть неравенство выполняется на множестве и только на нем. Что и требовалось доказать.

В случае неравенств с показательной функцией рассмотренное утверждение применяется, например, в следующей ситуации:

Решить неравенство

,

выполняется одна из двух систем условий:

1) или 2)

Решение

Приведем неравенство к виду:



Заменив , рассмотрим функцию

. Тогда .

Кроме того, оба основания

или ,

поэтому функция монотонно убывает в первом случае и монотонно возрастает в случае (2), как сумма двух функций монотонно убывает или монотонно возрастает для .

Согласно доказанному выше утверждению, искомое неравенство сводится теперь к одному из неравенств .

Пример.

Числа а и b являются длинами катетов, а число с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Определить знак числа для всех значений переменной х.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства . По теореме Пифагора, выполняется система условий:



Значит, функция убывает, и . Тогда при и при , чему соответствует следующий

Ответ:

Таким образом, в этом параграфе рассматривались различные примеры решений показательных неравенств с использованием свойств показательной функции.

^ Логарифмические неравенства.

Пусть а – фиксированное число такое, что и .

Рассмотрим неравенства

(1)

(2)

Областью допустимых значений этих неравенств является положительная полуось. Поскольку свойства логарифмической функции различны при основаниях, меньших и больших единицы, то рассмотрим случаи и .

Схема сравнения логарифмических неравенств.




Пример.

Найти все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех х.

Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:



Система 1) не может выполняться ни при одном х, так как



Ответ: .

При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться.

Пример.

Решить неравенство

.

Решение.

Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.



Выяснить, что область определения неравенства состоит только из двух точек.

Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству.

При неравенство принимает вид - истинно.

При неравенство принимает вид

- ложно.

Ответ: .

Пример.

Какое из двух чисел больше или ?

Решение.

Упростим запись каждого из двух чисел:

.

,

Так как , и функция монотонно возрастает на , получим, что первое число меньше 1, а второе число больше 1.

Ответ: < .

Рассмотрим неравенства вида





Пример.

Решить неравенство



Решение.

Согласно схеме (I), заменим данное неравенство равносильной совокупностью:



Ответ: , .

Пример.

Решить неравенство



Решение.

Функция монотонно возрастает для , как сумма двух монотонно возрастающих функций, . Поэтому .

Ответ:

При решении неравенства воспользовались следующим утверждением:

Пусть функция монотонно возрастает на промежутке ^ Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство примет вид:




Следствие:



Покажем, как используются логарифмические неравенства для решения более сложных задач. Например, для нахождения области определения функции или множества значений данной функции.

Для нахождения области определения логарифмической функции необходимо найти множество значений , при которых выполняется условие . Решение заданий с дополнительными требованиями «указать длину промежутка, на котором функция определена», «при каком целом значении х функция определена» сводится к двум этапам:

I этап – находят все значения х, при которых ;

II этап – делают выборку значений х из полученного промежутка согласно дополнительному требованию.

Пример.

Укажите длину промежутка области определения функции

.

Решение.

  1. Найдем значения х, при которых ,



  1. Найдем область определения функции

,

.

Далее по схеме 1, так как основание логарифма , то





  1. Объединяя полученные промежутки, получаем .

Таким образом, длина промежутка области определения данной функции равна 1.

Ответ: 1.

При нахождении области значений функции необходимо прежде всего найти множество значений функции , а затем на основании свойства логарифмической функции указать область значений . Если в задании есть дополнительные требования, то решение будет состоять из трех этапов:

I этап – находим область значений ;

II этап – находим область значений ;

III этап – выполняем дополнительные требования.

Пример.

Укажите наименьшее значение функции



Решение.

  1. Определим множество значений функции: . Выделив полный квадрат, получим



.

Так как для всех действительных х, то .

  1. Таким образом, поскольку , а - возрастающая функция, то

,

.

  1. Область значений функции представляет собой луч .

  2. Наименьшее значение на этом луче равно 3.

Ответ: 3.

Покажем на примерах применение свойств логарифмической функции к решению неравенств.

Пример.

Решить .

Решение.

Для наглядности решения построим график функции .

t





1

2

4

8

y

-2

-1

0

1

2

3



Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения при .

Далее, учитывая область определения функции , получим:



Ответ: .

Изменяя знак неравенства, проследим за изменением получаемого результата.

Пример.





неравенство не имеет решений.

Логарифмические неравенства в общем виде решаются по схеме



При замене на нестрогое логарифмическое неравенство нужно в совокупности систем первые неравенства менять на нестрогие, а остальные оставлять строгими.

Если попытки применить стандартные приемы не приводят к цели, то можно воспользоваться следующим утверждением:

Чтобы доказать, что на подмножестве своей области определения неравенство не имеет решений, достаточно, например, найти такую константу А, что для всех справедлива система неравенств

(*)

Наоборот, если на множестве Е выполняется система неравенств (*), то все точки этого множества удовлетворяют неравенству .

Поясним смысл названия «отделяющая константа А». Прямая разделяет координатную плоскость на две непересекающиеся полуплоскости.

В приведенной схеме полуплоскости и , и система неравенств (*) означает, что расположенные над точками множества Е участки графиков функций и находятся в этих двух различных полуплоскостях, что позволяет сразу сделать вывод о взаимном расположении точек графиков друг над другом, то есть ответить на вопрос задачи. В этом смысле число А «отделяет» графики функций, то есть является «отделяющей» константой.

Пример.

Решить неравенство

.

Решение.

Найдем область определения неравенства из системы условий.

.

Если , то неравенство можно записать в виде:

.

Функция монотонно возрастает при всех , функция монотонно возрастает на множестве , и .

  1. Для имеем:

и .

Поэтому при всех верно , то есть - отделяющая константа, и неравенство на этом интервале не имеет решений.

  1. Для выполняются неравенства:

и .

Поэтому весь интервал является решением неравенства, где - отделяющая константа.

Если , то неравенство перепишем в виде .

Очевидно, что при всех всегда.

Отсюда ясно:

  1. Если , то и исходное неравенство не выполняется ().

  2. Если , то одной константой обойтись не удается. Поэтому представим (0; 2) в виде объединения промежутков .

4а) и . Исходное неравенство не выполняется ().

4б) и .

Докажем, что . Поэтому исходное неравенство не имеет решений для , где .

Ответ: .

Рассмотрим задачи на отыскание геометрических точек, координаты которых задаются неравенствами с использованием логарифмических функций.

^ Пример.

Изобразить на плоскости (х; у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству .

Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

.

Сделаем рисунки, отвечающие системам 1) и 2).




Ответ:



Пример.

При каких значениях а сумма и будет больше единицы при всех х?

Решение.

  1. Выделим целые части в выражениях, стоящих под знаком логарифма: .

  2. Оба логарифмических выражения определены при всех х. Их сумма равна

, где .

Функция четная, убывает, стремясь к нулю, при неограниченном возрастании , а ее наибольшее значение равно 1. Значит,

  1. При логарифмическая функция с основанием а возрастает. Значит, получаем . Парабола симметрична относительно прямой и возрастает на .

Значит, для того, чтобы функция принимала положительные значения на этом промежутке, нужно, чтобы было неотрицательное значение в левом конные промежутка , т.е.



  1. При получаем неравенство при всех . Для того, чтобы функция принимала отрицательные значения на этом промежутке данной квадратичной функции, нужна ее отрицательность в правом конце , т.е. ; , что противоречит неравенству .

Ответ: .

Таким образом в этом параграфе были рассмотрены различные примеры на решение логарифмических неравенств на основе свойств логарифмической функции.

Для того чтобы научиться решать неравенства, следует хорошо разбираться во всех вопросах, связанных с решением уравнений. Логическая сторона решения неравенств более содержательна по сравнению с уравнениями. Отметим, что многие преобразования, которые лишь расширяют область допустимых значений неравенства и приобретению посторонних корней (например, отбрасывание знаменателя, возведение в квадрат, неумение учитывать свойств функции и т.п.) могут повлечь за собой потерю решения, а то и вообще принципиально неверный ответ.

Пример.

Решить неравенство:



Многие сочил возможным обратить дробь в обеих частях неравенства, поменяв его знак и получив неравенство



При этом возникает сомнение в правомерности такого заключения в случае, когда левая часть неравенства отрицательна. Благодаря такому преобразованию были потеряны два интервала решений, при которых





Ответ: .

То есть при решении неравенств учащиеся забывают о свойствах функций, входящих в состав неравенство, что приводит к неверному решению.

Заключение.

Дорогие выпускники! Всем вам предстоит сдавать выпускной экзамен на аттестат зрелости. Каждый вариант экзаменационных материалов ЕГЭ по математике содержит показательные и логарифмические неравенства. При решении таких неравенств только одного знания теоретического материала бывает недостаточным. Здесь требуется определенный опыт решения задач, эрудиция. Я рассмотрел решения различных типов показательных и логарифмических неравенств. Набор таких неравенств многочислен и разнообразен: стандартные – совершенствующие технику решения и способствующие более глубокому постижению теории, а также нестандартные – и по содержанию, и по решению. Неравенства, рассмотренные в моей исследовательской работе, систематизированы по видам и методам решений. Они могут быть полезны выпускникам школ при подготовке к ЕГЭ.

Литература.

  1. М.А.Алилов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа» Пробный учебник для 10-11 кл. средней школы. М.: «Просвещение» 2002 г.

  2. В.А.Гусев, А.Г.Мордович «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение» 1990 г.

  3. С.В.Кравцов, Б.Н.Макаров и др. «Методы решения задач по алгебре» Экзамен «Оникс 21 век» М.: 2001 г.

  4. Под.ред. Г.С.Ковалевой «ЕГЭ Математика» Контрольные измерительные материалы. М.: «Просвещение» 2003 г.

  5. Клово А.Т., Калашников В.Ю. и др

  6. И.И.Мельников, И.Н. Сергеев «Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах», М.: Издательство МТУ, 1990 г.

  7. М.И.Сканави «Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы». Ташкент «Учитавчи» 1992 г.

  8. О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. «Математика. Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы». М.: АСТ-ПРЕСС ШКОЛА.

  9. Вольфсон. Б.И. «Готовимся к экзамену по математике». Ростов н/Д: Феникс, 2005.

  10. И Кушнир. «Неравенства». ООО «Астарта» г. Киев. 1996.






Скачать 203,66 Kb.
оставить комментарий
Данилов Юрий
Дата24.09.2011
Размер203,66 Kb.
ТипИсследовательская работа, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх